(数学分析)第十章

第十章 定积分的应用

(14学时)

§1 平面图形的面积

教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积.

教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和

极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算. 学时安排: 2学时 教学过程: 一、积分()b

a

f x dx

⎰的几何意义

我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b

a f x dx

⎰表示由连线曲线y=f(x)，

以及直线x=a,b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b

a f x dx

⎰<0时，定积分表示的是负面

积，即

()b a

f x dx

⎰

表示的是

f 在[a,b]上的正负面积代数和。例如

55222

00

2

sin (sin sin )sin 321

xdx xdx xdx xdx π

π

π

π

π

π

=+

+

=-=⎰

⎰⎰⎰。若计算sinx 在[0，5

2

π

]

上的面积，则变为5522

2

02

sin (sin sin )sin 325

x dx xdx xdx xdx ππ

π

π

π

π

=+

-

=+=⎰⎰⎰⎰。

二、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积

由几何意义得

()()[()()]b b

b a

a

a

S f x dx g x dx f x g x dx

=

-=

-⎰

⎰⎰

，该式当f(x)和g(x)可判

断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为

|()()|b a

S f x g x dx

=

-⎰

。

如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b]内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b

a

S f x g x d x =

-

=⎰

2

1

|()()|x x

f x

g x d x

-⎰。所以此时求f(x)和g(x)在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。

例1、求2

y x =，2

x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上

所围图形的面积。

例3、已知2y a x b x =+通过点(1,2)与2

2y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求

2y a x b x =+与2

2y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？

例4、求抛物线2

2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。

例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 三、参数方程形式下的面积公式

若所给的曲线方程为参数形式：()()x x t y y t =⎧⎨

=⎩ （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()

()x x t y y t =⎧⎨

=⎩，x 轴及直线x

＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公式为

||()S y dx t β

α=

⎰。（αβ

<）

例1、求旋轮线：(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩（a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。

例2、求椭圆cos sin x a t y b t =⎧⎨

=⎩（a>0，b>0）的面积S 。

四、极坐标下的面积公式

设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及θβ=所围的扇形面积S 等于

2

1

()2S r d β

α

θθ

=

⎰。

例1、求双纽线2

2

2cos 2r a θ=所围图形面积S 。 例2、求由

2

sin

3r θ

=，03θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。

例3、求三叶形成曲线sin 3r a θ=（a>0）所围图形面积。

§2 由平行截面面积求体积

教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积. 教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分. 学时安排: 2学时 教学过程:

一般体积公式：

设一几何体夹在x ＝a 和x ＝b （a

此几何体，设载面与X 轴交点为（x ，0），可得的截面面积为S （x ），如果S(x)是[a,b]上的（R ）可积函数，则该几何体的体积V 等于：()b

a V S x dx

=⎰。

例1、求底面积为S ，高为h 的斜柱体的体积V 。例2、求底面积为S ，高为h 的圆锥体的体积V 。

例3、求由椭球面2222

2

2

1

x

y z a

b

c

+

+

=所围的几何体体积。(a,b,c>0)

§3平面曲线的弧长与曲率

教学目的要求: 能熟练计算平面曲线的弧长.

教学重点难点: 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明. 学时安排: 2学时