重积分的计算法第二次

f(x,y)dxdyf(co ,ssin )dd
D
D
从直角坐标到极坐标，要做哪些改变？
将直角坐标中的二重积分转化为极坐标系的二重积
分，只要将x,y分别变为 co , ssin ，并把dxdy变
为dd即可。
注意：现在仅仅是将直角坐标中的二重积分转化为 极坐标中的二重积分，为了计算极坐标系中的二重 积分还要进一步转为二次积分。怎么转化？
(3) 积分区域D:
()
02,0()
D
θ
f(co , ssin )dd o
A
0 D 2 d 0 ()f(c o ,ss i) n d
注 一般,在极坐标系下计算:
先对 再对 积分
极坐标系下区域的面积 dd
2()
D
()
1()
D
D
O
A
O
A
dd d 2()d
1()
D
1 2(2 2()12()d )
例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程
分别为 x2y2 R2及 x2z2R2z.求所围成的
立体的体积. 曲z 顶 R 2x2
解 V1f(x,y)d
D
R2x2d
o y
D
Rdx
R2x2 R2x2dy
00
2 R3 3
V
8V1
16R3 3
xy
y R2 x2
D
o Rx
0xR,0y Rx2
二、利用极坐标系计算二重积分
D1
O
R 2R x
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxdy
D1
S
D2
ex2y2dxdy (1ea2 ) D:x2y2a2
D
I2 ex2y2dxdy
D2
D 2 { x , y ) ( |x 2 y 2 2 R 2 , x 0 , y 0 }
(1e2R2)
4
y
D2
1 2 x x 2
2 2 x
0 d x 0 f(x ,y ) d y 1 d x 0 f(x ,y ) d y
解 积分区域: 0y1,
?x?
y 2xx2
y
y2x
(x1)21y2
y 2xx2
x1 1y2
O
2x
x1 1y2
原式=
1
dy
2 y
f(x,y)dx
0
1 1y2
立体顶 x2z部 2R2立体x底 2y部 2R2
D2
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R }
D
D 2 { x , y ) ( |x 2 y 2 2 R 2 , x 0 , y 0 }
1
显然有 D 1SD 2
O
ex2y2 0
S
R 2R x
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxdy
D1
S
D1
O
R 2R x
I( Rex2dx)2, 0
I1II2
I1
4(1eR2),I2
(1e2R2)
4
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d x ) 2 ( 1 e 2 R 2 )
4
0
4
当 R时 ,I1
4
,
I2
4
夹逼定理
故R 当 时 ,I , 即 ( ex2dx)2
第二节 二重积分的计算法
利用直角坐标系计算二重积分 利用极坐标系计算二重积分
一、利用直角坐标系计算二重积分
积分区域D为：axb, 1 (x )y2 (x ).
y y2(x)
D
y
y2(x)
D
y1(x)
y1(x)
Oa
b xO a
bx
f(x,y)d bdx2(x)f(x,y)dy
D
a 1(x)
S
D2
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxdy
D1
S
D2
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R }
I ex2y2dxdy
S
y
RdxRex2y2dyRdxRex2ey2dy
00
00
D2
Rex2dx Rey2dy
0
0
S
D1
( Rex2dx)2 0
i
i上一点
i
(i
,i
)其直角坐标为
i
, i
,
O
A
则 i icois,i i sin i
i icois, i i sin i 得 iiii
n
lim
0 i1
f(i,i)i
n
lim 0f(xi ,1y)dxdyf(co ,ssin )dd
D
D
dd 极坐标系中的面积元素
积分区域D为： cyd,1(y)x2(y)
y
y
d
d
x1(y) D x2(y) x1(y) D x2(y)
c
c
O
x
O
x
f(x,y)d
d
dy
2(y)f(x,
y)dx
D
c
1(y)
计算二重积分时,恰当的选取积分次序
十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且 又是能否进行计算的问题.
例 交换积分次序：
根 现据在 i : 两二研iii 相重 究12( 邻(积 ，2 iiD 弧i分 在 f(半 的 极x ii,径)定坐iy )2) 平d 义标i均：系 x i值内 i l12d .， i0 i2上y m i n 1述fii(极 ii限,iD i的) 形i• 式i (ii,ii)
内取圆周
dd
dD ()d 0
1 2()d
2
例 计算 ex2y2dxdy,其中D是由中心在原点,
D
y
半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 若在直角坐标下计算
O ax
D: ax a ,
a 2 x 2ya 2 x 2
ex2y2dxdy
a
dx
a2x2
ex2ey2dy
a a2x2
D
无法计算！
例 计算 ex2y2dxdy,其中D是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
y
D: 0 ? 2 ?,,?0 ?a
ex2y2dxdy e 2dd
O ax
D
D
2 0
ae2
0
dd(1ea2)
例 求反常积分 ex2dx. 0
y
解 D 1 { x , y ) ( |x 2 y 2 R 2 , x 0 , y 0 }
(1) 积分区域D: , 1 () 2 ()
1()
2()
D
1()
2()
D
θ
θ
O
A
O
A
f(co ,ssin )dd
D
d 2()f(co,ssin )d
1()
(2)积分区域D(曲边扇形): ,0()
()
D
O
A
()
D
O
A
f(co ,ssin )dd
D
d 0 ()f(c o ,s s i) n d
O
R 2R x
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxdy
D1
S
D2
ex2y2dxdy (1ea2 ) D:x2y2a2
D
I1 ex2y2dxdy D 1 { x , y ) ( |x 2 y 2 R 2 , x 0 , y 0 }
D1
(1
eR2
)
对
y
D2
4
称
性
S
质