第九讲 概率及正态分布

概率的三个定理
• 1、互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之 和为1。当发生的概率为P,则不发生的概率为1-P。 全部基本事件之和为必然事件。 • 2、加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率
等于它们分别出现之和。例如，A1，A2，…..An为相互独立而 又互不相容的事件，其中任一事件出现的概率为各个事件概 n 率的总和，即 P Ai • P（A）= P（A1）+ P（A2）+…..+ P（An）=
2
特殊情况：标准正态分布X~N(0,1)，其分布函数 ( x) 可以查P32--P33页的附表。
0

x
• 正态分布的概率密度函数和概率分布函数
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
( x , 0）
( x ) 2 2 2
1 F ( x) 2

i 1
• 3、乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件
各自发生的概率的乘积，即P（A1A2…An） = P（A1） P（A2 n ）….P（An）=
P( A )
i i
随机变量和概率分布
• 每次试验用一个变量的结果可以X的数值来表示 ，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从 一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。 • 随机变量根据其取值的特征可分为离散型随机变 量和连续型随机变量。离散型随机变量试验结果 的可能值可以一一列举出来，即随机变量X可取 的值是间断的，可数的。连续型随机变量试验结 果的可能值不能一一列举出来，即随机变量X可 取得值是连续充满在一个区间的。
3 3 ) ( )
(3.0) (3.0) 0.9987 0.00135 0.9973(或99.73%）
• 则X落在µ±3σ 内和µ±3σ 外的概率为： • 1-0.9973=0.0027
• 随机变量X落在µ±3σ 内的概率为99.7%， 落在µ±3σ 外的概率为0.3%，可见，在具 有正态分布特征的试验中，其数据落在 µ±3σ 以外的概率是很小的，可视为小概 率事件，因此，试验中一旦出现µ±3σ 以 外的数据，根据3σ 规则，即可将其认为是 可疑数据而予以剔除。
导数关系
x

f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
正态分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
( x )2 2 2 1 f ( x) e 2
( x , 0）
则称X服从正态分布 N ( , 2 )
X ~ ( , )
随机变量的分布函数
分布函数的定义
设X为一随机变量（可能是离散型，也可以连 续型）,则对任意实数x，(X≤x)是一个随机事件， 称
F ( x) P( X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个 普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
• 例4：条件同上例，其抗压强度平均值m为多少时 ，才能使该混凝土的强度保证率达到95%？
解：P( R 25.0) 1 P( R 25.0) 0.95
. 得t ( 2550.0 m ) 1.645
m 25.0 1.645 5.0 33.2MPa
当标准差为3.0MPa时， 欲使混凝土的强度保 证率达到95%，m应为 多少？
P（X 50) F (50) 50 41.9 ( ) (2.28) 0.9887 3.56
• 例3：已知一批强度等级为C25的混凝土，其抽样试件的抗
压强度平均值为30.0MPa,标准差为5.0MPa，设该混凝土的抗 压强度R服从N(30.0,5.0)的正态分布，试计算抗压强度高于 25.0MPa的概率。（即求该混凝土的强度保证率）
P{a X b} f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数. 分布函数
F ( x) f (t )dt

x
密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率
P{x1 X x2 }
x2
x1
概率及正态分布
概率的定义及基本性质
• 观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定 条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件 ，称为必然事件（Ω ）；反之，每次都不发生的 事件，称为不可能事件（Φ ）；有时发生有时不 发生的事件，称为随机事件或偶然事件（A）。 • 比如：“导体通电时发热”，“抛一石块，下落 ”都是必然事件． “在常温下，铁能熔化”，“ 在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”，都 是不可能事件． “李强射击一次，不中靶”，“ 掷一枚硬币，出现反面”都是随机事件．
概率的基本性质与小概率原理
• 基本性质：
• （1）必然事件Ω 的概率等于1，即P(Ω )=1 • （2）不可能事件Φ 的概率等于0，即P(Φ )=0 • （3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤P(A)≤1.
• 小概率原理
• 当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量 的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件 。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中 出现的可能性很小，一般可以认为不会发生。
• 标准正态分布与与一般正态分布的关系：
F ( x) (
x

)
• 因此，对于任意正态分布N（µ，σ 2），当已知x,求 相应的F（x)时，均可通过下式变换：算得对应与x 的t值，再在标准正态分布函数数值上查得相应的概 率。
t
x

• 正态随机变量中的三个重要的概率值,分别 是： • P（µ-σ ﹤X≤ µ+σ )=0.6826 • P（µ-2σ ﹤X≤ µ+2σ )=0.9545 • P（µ-3σ ﹤X≤ µ+3σ )=0.9973
• 第三个概率值，对于正态随机变量来说，它落在区 间[µ-3σ , µ+3σ ]外地概率极小（0.0027），此即 为“3σ ”规则。 • 例1：已知随机变量X服从N（µ，σ 2）正态分布， 试分别计算X落在µ±3σ 内和µ±3σ 外的概率。
解：P（ 3 X 3 ) (
f ( x)dx
x1
x2
概率密度函数的性质 非负性
பைடு நூலகம்
f ( x) 0, x (, )
规范性
f ( x)



f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) f ( x)dx

x
F ( x) P{ X x}

x

e
dx
当已知μ和σ后，将不同的x值代入，即可求出对应 于的概率密度f(x)。以x为横轴，以f(x)为纵轴， 依次在座标系上绘出和f(x)所构成的座标点，可 见f(x)是一条对称的钟型曲线，它称为正态概率 密度曲线。 正态概率分布有以下重要特征： 正态分布是个对称分布，对称轴是x=μ。 – 当x=μ时，正态概率密度的最大。 – 正态分布的图型由μ和σ决定。 – 当σ为定值时，μ的变化引起正态概率密度曲 线在横轴平行移动。 – 当μ为定值时，σ的变化将引起正态概率密度 曲线的形状变得尖峭或偏平。
解：P( R 25.0) 1 P( R 25.0) 25.0 30.0 1 (t ) 1 ( ) 5.0 1 (1.0) 1 0.1587 0.8413
• 即该批混凝土的强度保证率为84.1%，由此可见，对于标准 差为5.0MPa的C25的混凝土，即使其抗压强度平均值为 30.0MPa，仍不能达到相关规范所规定的95%的强度保证率 。
• 随机事件的特点：在一次观测或试验中，它可能出 现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈 现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量 就是概率。 • 概率的统计定义：在相同条件下 进行n此重复试验 ，事件A发生了m次，称m为事件的频数，称 m 为 n m 稳定的趋向于某 事件的频率。当n足够大时，频率 n 一个常数P,此常数P称为事件A的概率，记为P（A） =P.
• 例2：假定一批混凝土试件的数据为正态分布，试 件的平均强度为41.9MPa,，标准差为3.56MPa， 求强度比30MPa、40MPa、50MPa低的概率。
P（X 40) F (40) 解：P（X 30) F (30) 40 41.9 30 41.9 ( ) (0.53) ( ) (3.34) 3.56 3.56 1 (3.34) 1 0.9996 0.0004 1 (0.53) 1 0.7019 0.2981