微分方程的数值解法

yz z z Fbz 0 x y z
微分方程解题思路及主要解法
作变换
一阶方程
作 降 变 阶 换
分离变量法
全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法
积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
幂级数解法 数值解法
高阶方程
微分方程的幂级数解法（概述）
dy f ( x, y ) 例如求一阶微分方程： dx
有限元方法 Finite Elements Method
吴 晓
武汉纺织大学机电工程学院
主要参考书目




有限元分析的概念与应用；罗伯特.库克. 西安交通大学出版社. 有限单元法原理与应用；朱伯芳. 中国水利 水电出版社. 有限单元法及计算程序；王焕定，吴德伦等. 中国建筑工业出版社. 有限元方法（第5版）第1卷，基本原理；监 凯维奇. 清华大学出版社.
加权残值法思想
加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法， 其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的 近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即 存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值 法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵 一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。

制造和安装原因：包括材料有缺陷或者错用，制造工
艺不合理，零（部）件缺陷，焊材、焊接缺陷，热处理不 合理，组装错误

自然原因：包括环境腐蚀、
太阳辐射使结构强度和刚度 降低。
J7机翼前梁后段
重大工程灾变（预防或减少措施）


满足静强度要求 1、强度设计 2、刚度设计 3、稳定性设计 满足动力特性 安全寿命设计 安全寿命/损伤容限设计 耐久性/损伤容限设计 可靠性分析 改善服役环境 加强并提升结构的防护
0Baidu Nhomakorabea
满足初始条件 y x x y0 的特解，其中函数 f ( x, y) 是
( y y0 ) 和 ( x x0 ) 的多项式：
f ( x, y) a00 a10 ( x x0 ) a01 ( y y0 ) ... alm ( x x0 )l ( y y0 )m



有限元方法 边界元方法 加权残值方法 有限差分法 无网格法
有限差分法思想
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用 的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为 差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有 限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的 导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从 而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该 方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值 解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较 成熟的数值方法。
有限元法思想
其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称 为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的 变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都 容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构 的变形和应力。
边界元法思想
边界元法(Boudary element method)是在有限元法 之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 , 通常又称边界积分方程。该方法应用格林函数公式，通 过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换 成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解 变量与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分 方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的 未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的 被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问 题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算 机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是， 需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。
(1)
(2)
这时我们可以设所特解可展开为 x x0 的幂级数
y y0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 ... an ( x x0 )n ...
其中 a0 , a1 ,..., an ,... 是待定的系数 把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端
概述
• 重大工程的设计和灾变 • 结构设计及工程灾变分析中的微分方程 • 微分方程的主要解法
重大工程的设计（概述）
11 3
2
4 4
重大工程的灾变（概述）
Aloha航线上波音747事故
1995年阪神地震
重大工程灾变（原因）

设计原因：设计未满足标准或者安全使用的要求。包
括设计计算错误，结构、选型不合理，材料选用不当等
工程结构设计中的主要构件


梁、柱、杆 板、壳 三维实体
结构设计及工程灾变分析中控制微分方程
1、梁弯曲问题 d 4w EJ 4 q 0 dx 2、薄板弯曲问题
D4 w q( x, y)
D Eh3 /12(1 2 )
3、弹性力学三维问题 yx zx x Fbx 0 x y z xy y zy Fby 0 x y z
的( x x0 )同次幂的系数，就可定出常数 a0 , a1 ,..., an ,..., 以这些 常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足 初始条件 y x x y0 的特解。
0
微分方程的数值解法
在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方 法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称 为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值， 这类方法通常包括：
如有某一应用科学问题中的控制微分方程式及边界 条件分别为：
Fu f 0
v 域内
（1） （2）
(Gu g ) 0
i 1
m
s 边界面
为了解这个控制微分方程式，我们假设待定函数的一 个近似解，为试函数 u
加权残值法思想（续）
u CjN j
j 1 n
（3）
将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足， 于是分别出现了内部和边界残差： RI Fu f 0
R (Gu g ) 0