递归方程求解

解递归方程

下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。

1、 递推法

例：Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：

()2(1) 1 2(1)1T n T n n T =-+≥⎧⎨=⎩

递推求解如下：

232122122()2(1)1

2(2(2)1)1

2(2)21

2(3)221

......

2(1)2 (221)

22 (221)

21

n n n n n T n T n T n T n T n T ----=-+=-++=-++=-++++=+++++=+++++=-

所以，Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性为：()(2)n T n O =

例：分治法实例。设n 表示问题的尺寸，n/b 表示将问题分成a 个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b 为常数。d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费。则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出： ()(/)() 2(1)1T n aT n b d n n T =+≥⎧⎨=⎩

递推求解如下：

22223233221

0()((/)(/))()

(/)(/)()

((/)(/))(/)()

(/)(/)(/)() ......

(/)(/)k k k

i i i T n a aT n b d n b d n a T n b ad n b d n a aT n b d n b ad n b d n a T n b a d n b ad n b d n a T n b a d n b -==++=++=+++=+++=+∑

设：k

n b =，则log b k n =，有： 1

0()(1)(/)k k

i i i T n a T a d n b -==+∑ 当()d n 为常数时，有：

log 10()() 1()(log ) 1 b a k k k i

i b O a O n a T n a c a O n a -=⎧=≠=+=⎨

=⎩∑ 当(),d n cn c =为常数时，有：

111000(/)(/)(/)k k k i i i i

i i i i a d n b a cn b cn a b ---=====∑∑∑

若：a b <，则：10(/)

()k i i cn a b O n -==∑

log ()()()b a T n n O n O n =+=

若：a b =，则：10(/)

log k i b i cn a b cnk cn n -===∑

log ()log (log )b a b b T n n cn n O n n =+=

若：a b >，则：1log log 0(/)1(/)()()()/1/1b b k k k

k n a i

k i a b a b cn a b cn c O a O a O n a b a b -=--=====--∑ log log log ()()()b b b a a a T n n O n O n =+=

综上所述：log () ()(log ) () b n O n a b T n O n n a b O n

a b ⎧<⎪==⎨⎪>⎩

2、公式解法

K 阶常系数齐次递推方程：12()(1)(2)...()0k T n a T n a T n a T n k -------= 0,,,1,...,k i a n k a i k ≠≥=是常数

则对应的特征方程为：1212...0k k k k x a x a x a ------=

特征方程有k 个根：12,,...,k q q q ，称为齐次方程的特征根。

若：k 个根中无重根，则齐次方程的通解为：1122()...n n n

k k T n c q c q c q =+++

其中的系数为待定系数，由方程的初始条件确定。

若：k 个根中有r 重根，12,,...,k q q q 中，11...i i i r q q q ++-===，则齐次方程的通解为：

1111111()...(...)...n n r n n n i i i i i r i i r i r k k T n c q c q c c n c n q c q c q ---++-++=+++++++++

例：求解递归方程

()(1)3(2)5(3)2(4)0 4(0)1,(1)0,(2)1,(3)2

T n T n T n T n T n n T T T T +-------=≥⎧⎨====⎩ 解：递归方程的特征方程为 432

3520x x x x +---=

其特征根为：-1，-1，-1，2

递归方程通解为：21234()()(1)2n n T n C C n C n C =++-+

由初始条件有： 1412341

234123412024413982

C C C C C C C C C C C C C C +=⎧⎪---+=⎪⎨+++=⎪⎪---+=⎩ 解得：1234712,,0,939

C C C C ==-== 因此递归方程的解为：712()(1)(1)2939

n n n T n n =---+⋅

K 阶常系数线性非齐次递推方程：12()(1)(2)...()()k T n a T n a T n a T n k f n -------= 0,()0,()()k a f n f n T n ≠≠与线性无关 方程通解为：()()*()T n T n T n =+ ，其中()T n 是对应的齐次方程的通解， *()T n 是一个特解。

当f(n)是n 的t 次多项式时，可设特解*()T n 也是n 的t 次多项式：

1121*()...t t t t T n Pn P n Pn P -+=++++，其中121,,...,t P

P P +是待定系数，将*()T n 代入原递推方程后即可求出。

例：求解递归方程的一个特解

2()5(1)6(2)3T n T n T n n +-+-=

解：设特解为2123*()T n P n

P n P =++，代入原递归方程有：222

1231231

235((1)(1))6((2)(2))P n P n P P n P n P P n P n P n +++-+-++-+-+= 化简有：2211212312(3412)(291712)3Pn P P n P P P n +-++-+=

比较两边的系数，有