巧用数学方法处理物理极值问题

巧用数学方法处理物理极值问题
江苏省江阴市第一中学 傅永祝（中教二级，83984520）
内容提要： 本文旨在通过一些关于极值问题的典型例题，如求追赶问题中怎样的情况下相距最近？小球从斜面下来怎样可以使时间最短？拉着物体在水平面上匀速运动怎样施力可以使所加力最小？在电路中，怎样可以使电阻消耗的功率最大？在电场中，哪一点的电场强度最大？通过这些例题，展示一些数学方法在处理物理物理问题上的优越性，使学生认识到，扎实的数学功底对于学好物理这门课程有很大的意义。

关键词：极值问题 二次函数配方法 三角函数法 基本不等式法 极值问题在物理课程中是常见的一类问题，对于此类问题，如果能结合一些
数学上的判定方法，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。

（一）二次函数配方法
把二次函数y=ax 2
+bx+c 配方得a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，若a>0，则当
a b x 2-=时，y 有极小值：a
b a
c y 442
min -=；若a<0时，则当当a b x 2-=时，y 有
极大值：a
b a
c y 442
max
-=。

如果一个物理问题能建立y=ax 2+bx+c 的数学模型，就
可以用上述方法求出其极值。

例1． 一辆汽车从静止开始以1m/s 2的加速度前进，车后相距s 0=25m 处，与
车运动方向相同的某人同时开始以6m/s 的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？
解析 当经过时间t 后，汽车前进的位移为212
1
at x =
而人前进的位移为t x υ=2
此时人、车相距的距离为210x x s x -+=∆
代入相关数据可得7)6(2
1
2562122+-=+-=
∆t t t x 上述表达式中，x ∆是t 的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，x
∆不可能等于0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t=6s 时，人、车具有最短距离x ∆min =7m 。

（二）三角函数法
三角函数里有很多关系式，如：θθθcos sin 22sin ⋅=、1cos sin 22=+θθ、
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-等. 有时，处理物理极值问题时，这一类关系
式是很需要的。

例2． 给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？ 解析 如图，设从屋顶A 到屋檐B 的水平距离为L ，
且斜面AB 的倾角为θ。

当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为a=gsin θ,从A 到B 的距离为L/cos θ,设从A 到B 所用的时间为t ，则
2sin 2
1
cos t g L ⋅=θθ 得θ
θθ2sin 4cos sin 2g L
g L
t =
=
当2θ=90º，sin2θ有最大值：（sin2θ）max =1。

所以，当θ=45º时，t 有最小值：t min =g
L 2
例3． 重量为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作
用力使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
解析 木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使
作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件知： Fcos α-μN=0 Fsin α+N-G=0 解以上二式得 α
μαμsin cos +=
G
F
令 μϕ=tan ，则2
1sin μ
μ
ϕ+=
， 2
11cos μ
ϕ+=
)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμαϕαϕμαμα-+=++=+
可见，当α=μϕarctan =时，F 有最小值。

即2
min 1μ
μ+=G
F
（三）基本不等式法
若a>0、b>0，则有基本不等式ab b a ≥⎪⎭⎫
⎝⎛+2
2，且当a=b 时取等号，如果变
量a 与b 的积是个定值，则其和有极小值：ab b a 2)(min =+（定值）；如果变量
a 与
b 的和是个定值，则其积有极大值：2
max
2)(⎪⎭
⎫
⎝⎛+=b a ab （定值）。

例4． 在图示的电路中，电池的电动势E=5V ，内电阻r=10Ω，固定电阻R=90Ω，R 0是可变电阻，在R 0由零逐渐增加到400Ω的过程中，可变电阻R 0上消耗的热功率达最大时R 0为多大？最大值是多少？ 解析：令R+r=R ’ 电路中的电流强度为0
'R R E
I +=
可变电阻R 0上消耗的热功率为'
2''00
2202
002R R R R E R R
R E
R I P ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+== 由于2
002''R R R R =⋅（定值），故00
2'R R R +具有最小值，即
'
4'2'2200
22
R E R R R R E P =+⋅≤
当R ’=R 0，即R 0=100Ω时取等号。

就是说，当R 0=100Ω时，可变电阻R 0上消耗的热功率最大。

最大热功率为W W P 16
1
40025max ==
例5． 已知带等量同种电荷的两个点电荷A 、B 所带电量均为Q ，相距2a ，
则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？
解析 设在点电荷A 、B 的连线的中垂线上有一点P ，且AP 与中垂线夹角为θ，则
221)sin (θ
a kQ
E E =
= ① 又有θcos 21⋅=E E ②
由①②可得2
2cos sin 2a
kQ E θ
θ⋅⋅= ③ 将③式左右都平方，并整理成
θθθ222222cos )sin 21
()sin 21()2(4⋅⋅=a
kQ E
由于1cos sin 21
sin 21222=++θθθ（定值）
则θθθ222cos )sin 2
1
)(sin 21(⋅存在极大值。

即
223
2
22222)2(2743cos sin 21sin 21)2(4a kQ a kQ E =⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≤θθθ 所以2
934a kQ
E ≤
当θθ22cos sin 2
1
=，即2arctan =θ时取等号。

就是说，当2arctan =θ（差不多是55º）时，P 点的电场强度最大：
2
max 934a kQ
E =
从以上各例当中可以看出，扎实的数学功底在处理物理问题当中显得很重要，这要求同学们在平时的练习中需要经常地有意识地训练自己、提升自己运用数学知识的能力。

参考资料：无。