北师大高中数学必修二课后作业1 简单旋转体 含解析

课后作业(一)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．下列说法：
①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；
②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．
其中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
[解析]圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.
[答案] B
2．下列说法不正确的是()
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．
[答案] C
3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )
A ．10
B ．12
C ．20
D ．15
[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边
为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×
52－32＝
12，故选B.
[答案] B
4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r
＝l ，
即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.
[答案] C
5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截
面面积为()
A．8 B.8
π C.4
π D.
2
π
[解析]若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直
径为4
π，其轴截面的面积为8
π
；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时
圆柱的底面直径为2
π，其轴截面面积为8
π.
[答案] B
6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．
[解析]作轴截面如图，则
r 3＝
6－4
6
＝1
3
，
∴r＝1.
[答案] 1
7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．
[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.
[答案]2 2
8．有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；
②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
③球的直径是球面上任意两点间的连线；
④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确的序号是________．
[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．
[答案] ①②
9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径.
[解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得
⎩⎨⎧ 2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.
10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．
[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，
∴圆锥的底面圆的直径为12，
∴半径R ＝6，
∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝
122－62＝6 3.
应试能力等级练(时间25分钟)
11．下面说法正确的是( )
A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
[解析]平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.
[答案] C
12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()
[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．
[答案] C
13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．
[答案] B
14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.
[解析]如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.
由球的性质，OO1⊥CD.
在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，
所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·(O1C)2＝9π.
[答案]9π
15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一
个高为x cm 的内接圆柱．
(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x 为何值时，S 最大？
[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r
＝6－x 3，
∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．
(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，
∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。