剪切和扭转 第四章 过程设备机械设计基础 华理 课件
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• 从而有：
'
dx
• 剪应力互等定律：在单元体相互垂直的两个 面上，垂直于公共邻边剪应力数值相等，而 他们的方向或指向邻边或背离邻边。
2013-1-14 22
三) 剪切试验
M Mb Ms τ τ τ
b
s
υ
γ
• 剪切虎克定律：
G
G E 2(1 )
23
2013-1-14
3
49 .3MPa
2
m2 W 2
3
21 .2MPa
扭转变形：
1
m1 G I 1
m2 G I 2
180
4 4 8 10 0.1 0.04
1430 8 104 0.1 0.07 4
620
180
1.73
m
m
2
180
180
jy
jy F / A jy
jy
jy
jy
1.7 2.0
当接触面为平面时，该平面面积即为挤压面积； 当挤压面为曲面时，取该面的正投影面积。
2013-1-14 10
例1 已知m＝720N.m，D＝50mm，选择 平键，并校核所选平键的强度。
y
P
剪切面
M
D x
假设剪应力τ在截面上均匀分布， τ=Q/A 单位：MPa
强度条件： τ[τ]，其中： [τ]= τb/nb
对塑性材料：[τ]=(0.6～0.8)[σ] 对脆性材料：[τ]=(0.8～1.0)[σ]
2013-1-14 9
5.2.2 挤压应力的计算和强度条件
假设挤压应力 在截面上均匀分布， 强度条件为： 其中： 挤压面积的计算
2013-1-14
14
5.3 扭转变形的特点和强度计算
5.3.1 扭矩的概念和实例
概念 在力偶的作用下，轴 的各个横截面绕其轴 线做相对转动的现象。 主动力偶 阻力偶（被动力偶）
m m
2013-1-14
15
5.3.2 扭转变形的特点和强度计算
• 受力特点：在垂直于杆的轴线作用有一对力偶。
2013-1-14
7
5.1.5 挤压构件的受力和变形
• 概念： • 挤压：连接件与被连接件在接触面上 受到法向压力，产生弹塑性变形的过程； • 挤压面：产生挤压变形的表面； • 特点： • 大多数情况下，与剪切同时发生， • 作用在接触面上
2013-1-14 8
5.2剪切和挤压的计算及强度条件
5.2.1 剪应力计算及强度条件
h/2 b
L
挤压面
2013-1-14
11
• 1) 查机械零件手册，选出平键的宽度b=16mm,高度 h=10mm,长度L=45mm，[τ ]=110MPa,[σ jy]=250MPa
• 2)求外力
MO 0 M P D 2 0 P 2 720 50 10
3
28800 N
• 3)剪切强度校核：
2013-1-14 20
一) 薄壁筒扭转时的应力和变形
M
A rdA 0 t r d 2 r t
2 2
2
• 从而有
M 2 r t
2
• 剪应变： tg
2013-1-14
rd dx
r
l
21
二) 剪应力互等定律
• 力偶平衡条件：
t
'
dy
tdxdy tdydx
2013-1-14 25
5.5.2 圆轴扭转的剪应力
1 2 dρ
ρ γ A d υ A ’ 1 dx 2 γ ρ
d υ
2013-1-14
26
• 一) 变形几何方程
d dx
y
Tn
τ
max
• 二) 物理方程
G G
• 三) 静力平衡关系
x
T
n
A
T W
n
s b
, ns nb
}
塑性材料[τ]=(0.6~0.8)[ σ] 脆性材料[τ]=(0.8~1.0)[ σ]
• 对于圆轴：
2013-1-14
W
D
16
3
D3
16 Tn
31
• 刚度条件：
max
max
T . 180 GI
简介 Introduction
• • • • • • • • • • 郝俊文 上海 华东理工大学
机械与动力工程学院
Hao Junwen ECUST, Shanghai
School of Mechanical and Power Engineering
机械设计及表面科学研究室 Mechanical Design and Surface Science Lab 实验17楼413室 Room 413, No.17th Building 办公电话：64253231, 1302313**** Email： haodongonly@163.com 座右铭：自强不息，厚德载物（德才齐备，肩负社会） Self-discipline and Social Commitment
m1
2013-1-14
36
解：
m11 9.55
N1 n N3 n
9.55
13 200 30 200
0.62kN.m
m2 2 9.55
m
9.55
1.43kN.m
x
0.62KN.m 1.43KN.m
2013-1-14 37
剪应力：
1
m1 W 1
620 0.2 0.04 1430 0.2 0.07
a. 实心圆轴
I A dA 0
2 D/2
2d
2
32 D
4
b. 空心圆轴：
I
A
2
dA
4
D/2 d /2 4
2
2d
2013-1-14
(D d 32
)
30
5.6 圆轴扭转时的强度和刚度条件
• 强度条件：
max
min{
5.5 实心圆轴扭转时的应力与变形
1 2
m
m
1 dx
2
2013-1-14
24
5.5.1 圆轴扭转变形特点
变形特点 所有圆周线的形状、大小和相互距离保 持不变，只是绕轴线转了不同的角度； 所有纵向线都倾斜了同一角度，使得原 来的小矩形变成平行四边形。
刚性平面假设：变形前为圆形截面，变 形后仍保持为同样大小的圆形平面且半 径仍为直线。
dA GdA G
A
A
dA
2
• 定义： A dA圆截面对中心的极惯性矩 I
2
2013-1-14 27
• 因此可得到
• •
T 扭转角 dx GI T 剪应力： I
n
d
G I • 称为抗扭刚度
n
• 最大剪应力：
2013-1-14
2013-1-14
4
5.1.2 剪切过程分析
2013-1-14
5
5.1.3剪切构件的受力和变形特点
剪切的概念 作用于构件上的外力使得构件发生错动 的现象； 特点 受力特点：合力大小相等、方向相反、 作用线距离很小。 变形特点：两相邻截面间发生错动。
2013-1-14 6
5.1.4 挤压构件的实例
max
T W
n
W
I
max
为抗扭截面模量
28
• 讨论：
• 最小剪应力在截面圆心处(ρ=0)，值为0；
• 剪应力沿横截面半径呈线性分布；
• 最大剪应力在圆轴表面(ρ=R) 。
2013-1-14
max
T W
n
W
max 为抗扭截面模量
I
29
5.5.3 极惯矩和抗扭截面模量的计算
0.44
经校核：该轴所有截面的剪应力均小于许用剪应 力，以及所有截面的扭转变形均小于许用值，因 此该轴的强度和刚度均满足使用要求。
2013-1-14 38
今 日 作 业
2013-1-14
复习: 例题
思考: 1，3，6 习题: 5-2, 3，6，8，9
预习: 第六章
39
泊松比的讨论
• 思考：分析杆件在拉伸或压缩时的体积变化与泊 松比的关Leabharlann Baidu。 • 解：以圆形等截面杆为例。在拉力作用下，长度 由L0变为L1，增加ΔL，半径由R0变为R1，减少ΔR， 使得体积由V0变为V1，变化量为ΔV，泊松比为μ， 径向应变为 εr ，轴向应变εz。
B C A D
1
2
3
mB 1
mc 2
mD 3
mD
2013-1-14
33
• 1 求扭矩： A T
•
N 9.55
n
A
9.55
400 300
12.74 KN .m
同理： B TC 3.82 KN .m TD 5.10 KN .m T • 2 求内力
m11 3.82 KN .m, m22 7.64 KN .m m33 5.10 KN .m
955
N.m
(d)
图 5-9
2013-1-14
18
5.4 纯剪切
t a b
γ a b υ c d
t
c
d
m
dx
dx
2013-1-14
19
• 变形特点： • 1.周向线各自绕圆筒轴线转过一定角度，转 过角度不同，圆筒大小形状不变。 • 2. 纵向线成螺旋状，微体变成平行四边形。
• 剪应变(γ)：由于错动而产生的转动角。 • 扭角(υ )：两截面发生相对转动的角度。 • 剪应力(τ):
2013-1-14 1
自强不息 厚德载物
勤奋 求实 励志明德
2013-1-14
2
5.剪切/挤压和扭转
2013-1-14
剪切构件的受力,变形特点和计算
扭转变形的概念、特点和计算 薄壁圆筒扭转 实心圆轴扭转时的应力与变形 圆轴扭转时的强度和刚度条件
3
5.1剪切构件的特点和实例
5.1.1 实例
• 受力变形：杆的截面发生转动。 • 外力矩和电机功率间的关系：
m 9550
• 式中：m－N.m • P－Kw • n－rpm
2013-1-14
P n
m
m
16
5.3.2扭矩和扭矩图
• • • • • • 扭转时的内力----扭矩 符号规定 右手螺旋法则 离开截面为正，反之为负 扭矩图 例题P91 5-3
n
[]值根据对机器的要求和工作条件等确定， 可查有关手册。对一般轴，[]=0.5-1.0 Deg/m.
2013-1-14
32
例1 已知n=300r.pm,NA=400Kw,NB=120Kw, NC=120Kw,ND=160Kw,采用刚性实心圆轴, [τ]=30MPa, []=0.3º /m,G=80MPa,试设计轴径D
max
T . 180 GI
2013-1-14
35
例2：阶梯轴d1=40mm,d2=70mm, 轮3的输入 功率30kW，轮1的输出功率为13kW，轴转速 为200rpm，轴材料的[]=60MPa，G=80GPa, 许用扭转角[0]=2o/m，试校核轴的强度和刚度
m2 d1 d2 m3
2013-1-14
17
• • • •
如图5-9所示，已知轴的转速为n=300rpm 主动齿轮A输入功率PA=50kW 从动齿轮B和C的输出功率分别为PB=30kW PC=20kW，求轴上截面1-1，2-2处的内力。
A B 1 2 C 1 2 (a) B 1 2 2 (b) 1 637 N.m (c) C
5.10KNm
+ _
3.82KNm
2013-1-14
7.64KNm
34
5.10KNm
+ _
3.82KNm 7.64KNm
3
D • 3 根据强度条件：
16 m22
＝
16 7640
3
30 10
n
6
＝0.109 m
• 4 根据刚度条件： •d=0.117m • 取两者中的大值，说明设计中刚度是主因。
挤压面
剪切面
2013-1-14
13
根据挤压条件：
jy [jy]
jy
4F
d
2
jy
根据剪切条件：
由此可得：d34mm b
F
d
b
由此可得：10.4mm
该冲床在最大载荷作用下所能冲剪的圆 孔最小直径为34mm，所能冲剪钢板的最 大厚度为10.4mm
Q A
28800 16 45
40 MPa 110 MPa
• 4) 校核挤压强度：
5 45 A jy • 5) 校核结果：由于键所受的剪应力和挤压应 力均小于许用值，故所选用的平键合适。
2013-1-14
jy
P jy
28800
128MPa 250 MPa
12
例2 冲床的最大冲力F=400kN，冲头材 料的许用应力[jy]=440MPa，被剪切钢 板的剪切强度极限b=360MPa, 求圆孔 最小直径 和钢板的最大厚度。
加载前的体积：
加载后的体积：
V0 R 0 L 0
2
V1 R 1 L 1
2
40
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• 加载前后体积之比：
R 1 L1 R L V0 0 0 V1 R 0 R R0
2 2
• 略去高阶项，化简：
'
dx
• 剪应力互等定律：在单元体相互垂直的两个 面上，垂直于公共邻边剪应力数值相等，而 他们的方向或指向邻边或背离邻边。
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三) 剪切试验
M Mb Ms τ τ τ
b
s
υ
γ
• 剪切虎克定律：
G
G E 2(1 )
23
2013-1-14
3
49 .3MPa
2
m2 W 2
3
21 .2MPa
扭转变形：
1
m1 G I 1
m2 G I 2
180
4 4 8 10 0.1 0.04
1430 8 104 0.1 0.07 4
620
180
1.73
m
m
2
180
180
jy
jy F / A jy
jy
jy
jy
1.7 2.0
当接触面为平面时，该平面面积即为挤压面积； 当挤压面为曲面时，取该面的正投影面积。
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例1 已知m＝720N.m，D＝50mm，选择 平键，并校核所选平键的强度。
y
P
剪切面
M
D x
假设剪应力τ在截面上均匀分布， τ=Q/A 单位：MPa
强度条件： τ[τ]，其中： [τ]= τb/nb
对塑性材料：[τ]=(0.6～0.8)[σ] 对脆性材料：[τ]=(0.8～1.0)[σ]
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5.2.2 挤压应力的计算和强度条件
假设挤压应力 在截面上均匀分布， 强度条件为： 其中： 挤压面积的计算
2013-1-14
14
5.3 扭转变形的特点和强度计算
5.3.1 扭矩的概念和实例
概念 在力偶的作用下，轴 的各个横截面绕其轴 线做相对转动的现象。 主动力偶 阻力偶（被动力偶）
m m
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15
5.3.2 扭转变形的特点和强度计算
• 受力特点：在垂直于杆的轴线作用有一对力偶。
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7
5.1.5 挤压构件的受力和变形
• 概念： • 挤压：连接件与被连接件在接触面上 受到法向压力，产生弹塑性变形的过程； • 挤压面：产生挤压变形的表面； • 特点： • 大多数情况下，与剪切同时发生， • 作用在接触面上
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5.2剪切和挤压的计算及强度条件
5.2.1 剪应力计算及强度条件
h/2 b
L
挤压面
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11
• 1) 查机械零件手册，选出平键的宽度b=16mm,高度 h=10mm,长度L=45mm，[τ ]=110MPa,[σ jy]=250MPa
• 2)求外力
MO 0 M P D 2 0 P 2 720 50 10
3
28800 N
• 3)剪切强度校核：
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一) 薄壁筒扭转时的应力和变形
M
A rdA 0 t r d 2 r t
2 2
2
• 从而有
M 2 r t
2
• 剪应变： tg
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rd dx
r
l
21
二) 剪应力互等定律
• 力偶平衡条件：
t
'
dy
tdxdy tdydx
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5.5.2 圆轴扭转的剪应力
1 2 dρ
ρ γ A d υ A ’ 1 dx 2 γ ρ
d υ
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26
• 一) 变形几何方程
d dx
y
Tn
τ
max
• 二) 物理方程
G G
• 三) 静力平衡关系
x
T
n
A
T W
n
s b
, ns nb
}
塑性材料[τ]=(0.6~0.8)[ σ] 脆性材料[τ]=(0.8~1.0)[ σ]
• 对于圆轴：
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W
D
16
3
D3
16 Tn
31
• 刚度条件：
max
max
T . 180 GI
简介 Introduction
• • • • • • • • • • 郝俊文 上海 华东理工大学
机械与动力工程学院
Hao Junwen ECUST, Shanghai
School of Mechanical and Power Engineering
机械设计及表面科学研究室 Mechanical Design and Surface Science Lab 实验17楼413室 Room 413, No.17th Building 办公电话：64253231, 1302313**** Email： haodongonly@163.com 座右铭：自强不息，厚德载物（德才齐备，肩负社会） Self-discipline and Social Commitment
m1
2013-1-14
36
解：
m11 9.55
N1 n N3 n
9.55
13 200 30 200
0.62kN.m
m2 2 9.55
m
9.55
1.43kN.m
x
0.62KN.m 1.43KN.m
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剪应力：
1
m1 W 1
620 0.2 0.04 1430 0.2 0.07
a. 实心圆轴
I A dA 0
2 D/2
2d
2
32 D
4
b. 空心圆轴：
I
A
2
dA
4
D/2 d /2 4
2
2d
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(D d 32
)
30
5.6 圆轴扭转时的强度和刚度条件
• 强度条件：
max
min{
5.5 实心圆轴扭转时的应力与变形
1 2
m
m
1 dx
2
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24
5.5.1 圆轴扭转变形特点
变形特点 所有圆周线的形状、大小和相互距离保 持不变，只是绕轴线转了不同的角度； 所有纵向线都倾斜了同一角度，使得原 来的小矩形变成平行四边形。
刚性平面假设：变形前为圆形截面，变 形后仍保持为同样大小的圆形平面且半 径仍为直线。
dA GdA G
A
A
dA
2
• 定义： A dA圆截面对中心的极惯性矩 I
2
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• 因此可得到
• •
T 扭转角 dx GI T 剪应力： I
n
d
G I • 称为抗扭刚度
n
• 最大剪应力：
2013-1-14
2013-1-14
4
5.1.2 剪切过程分析
2013-1-14
5
5.1.3剪切构件的受力和变形特点
剪切的概念 作用于构件上的外力使得构件发生错动 的现象； 特点 受力特点：合力大小相等、方向相反、 作用线距离很小。 变形特点：两相邻截面间发生错动。
2013-1-14 6
5.1.4 挤压构件的实例
max
T W
n
W
I
max
为抗扭截面模量
28
• 讨论：
• 最小剪应力在截面圆心处(ρ=0)，值为0；
• 剪应力沿横截面半径呈线性分布；
• 最大剪应力在圆轴表面(ρ=R) 。
2013-1-14
max
T W
n
W
max 为抗扭截面模量
I
29
5.5.3 极惯矩和抗扭截面模量的计算
0.44
经校核：该轴所有截面的剪应力均小于许用剪应 力，以及所有截面的扭转变形均小于许用值，因 此该轴的强度和刚度均满足使用要求。
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今 日 作 业
2013-1-14
复习: 例题
思考: 1，3，6 习题: 5-2, 3，6，8，9
预习: 第六章
39
泊松比的讨论
• 思考：分析杆件在拉伸或压缩时的体积变化与泊 松比的关Leabharlann Baidu。 • 解：以圆形等截面杆为例。在拉力作用下，长度 由L0变为L1，增加ΔL，半径由R0变为R1，减少ΔR， 使得体积由V0变为V1，变化量为ΔV，泊松比为μ， 径向应变为 εr ，轴向应变εz。
B C A D
1
2
3
mB 1
mc 2
mD 3
mD
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33
• 1 求扭矩： A T
•
N 9.55
n
A
9.55
400 300
12.74 KN .m
同理： B TC 3.82 KN .m TD 5.10 KN .m T • 2 求内力
m11 3.82 KN .m, m22 7.64 KN .m m33 5.10 KN .m
955
N.m
(d)
图 5-9
2013-1-14
18
5.4 纯剪切
t a b
γ a b υ c d
t
c
d
m
dx
dx
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19
• 变形特点： • 1.周向线各自绕圆筒轴线转过一定角度，转 过角度不同，圆筒大小形状不变。 • 2. 纵向线成螺旋状，微体变成平行四边形。
• 剪应变(γ)：由于错动而产生的转动角。 • 扭角(υ )：两截面发生相对转动的角度。 • 剪应力(τ):
2013-1-14 1
自强不息 厚德载物
勤奋 求实 励志明德
2013-1-14
2
5.剪切/挤压和扭转
2013-1-14
剪切构件的受力,变形特点和计算
扭转变形的概念、特点和计算 薄壁圆筒扭转 实心圆轴扭转时的应力与变形 圆轴扭转时的强度和刚度条件
3
5.1剪切构件的特点和实例
5.1.1 实例
• 受力变形：杆的截面发生转动。 • 外力矩和电机功率间的关系：
m 9550
• 式中：m－N.m • P－Kw • n－rpm
2013-1-14
P n
m
m
16
5.3.2扭矩和扭矩图
• • • • • • 扭转时的内力----扭矩 符号规定 右手螺旋法则 离开截面为正，反之为负 扭矩图 例题P91 5-3
n
[]值根据对机器的要求和工作条件等确定， 可查有关手册。对一般轴，[]=0.5-1.0 Deg/m.
2013-1-14
32
例1 已知n=300r.pm,NA=400Kw,NB=120Kw, NC=120Kw,ND=160Kw,采用刚性实心圆轴, [τ]=30MPa, []=0.3º /m,G=80MPa,试设计轴径D
max
T . 180 GI
2013-1-14
35
例2：阶梯轴d1=40mm,d2=70mm, 轮3的输入 功率30kW，轮1的输出功率为13kW，轴转速 为200rpm，轴材料的[]=60MPa，G=80GPa, 许用扭转角[0]=2o/m，试校核轴的强度和刚度
m2 d1 d2 m3
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• • • •
如图5-9所示，已知轴的转速为n=300rpm 主动齿轮A输入功率PA=50kW 从动齿轮B和C的输出功率分别为PB=30kW PC=20kW，求轴上截面1-1，2-2处的内力。
A B 1 2 C 1 2 (a) B 1 2 2 (b) 1 637 N.m (c) C
5.10KNm
+ _
3.82KNm
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7.64KNm
34
5.10KNm
+ _
3.82KNm 7.64KNm
3
D • 3 根据强度条件：
16 m22
＝
16 7640
3
30 10
n
6
＝0.109 m
• 4 根据刚度条件： •d=0.117m • 取两者中的大值，说明设计中刚度是主因。
挤压面
剪切面
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根据挤压条件：
jy [jy]
jy
4F
d
2
jy
根据剪切条件：
由此可得：d34mm b
F
d
b
由此可得：10.4mm
该冲床在最大载荷作用下所能冲剪的圆 孔最小直径为34mm，所能冲剪钢板的最 大厚度为10.4mm
Q A
28800 16 45
40 MPa 110 MPa
• 4) 校核挤压强度：
5 45 A jy • 5) 校核结果：由于键所受的剪应力和挤压应 力均小于许用值，故所选用的平键合适。
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jy
P jy
28800
128MPa 250 MPa
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例2 冲床的最大冲力F=400kN，冲头材 料的许用应力[jy]=440MPa，被剪切钢 板的剪切强度极限b=360MPa, 求圆孔 最小直径 和钢板的最大厚度。
加载前的体积：
加载后的体积：
V0 R 0 L 0
2
V1 R 1 L 1
2
40
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• 加载前后体积之比：
R 1 L1 R L V0 0 0 V1 R 0 R R0
2 2
• 略去高阶项，化简：