高二 数学 选修2-2 合情推理汇总

教学重点：能利用归纳和类比等进行简单的猜想和推理 教学难点：用归纳和类比进行作出猜想. 知识点 一、归纳推理

1. 归纳推理的概念

1，

1+3=4， 1+3+5=9， 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25 。。。。。。。

由此猜想：1+3+5+7+。。。。。。（2n-1）= n 2

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ 思考：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ (iii)归纳推理的结果是否正确？ 2. 归纳推理的应用 题型一、数列的归纳

例题：1已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n

n n

a a n a +==+，试归纳出通项公式.

A 变式1 猜想数列1111,,,,13355779

--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .

A 变式2.已知m ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，可推广为x ＋m

x

n ≥n

＋1，则m 的值为________．

解析 x ＋4

x 2＝x 2＋x

2＋4

x 2，x ＋27

x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27

x

3，易得其展开后各项之积为定值1，

所以可猜想出x ＋m x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋m

x n ，也满足各项乘积为定值1，于是m ＝n n .

A 变式3

21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝16

3；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．

A 变式4 在各项为正的数列{an}中，数列的前n 项和Sn 满足Sn ＝1

2⎝⎛⎭⎫an ＋1an . (1) 求a1，a2，a3；

(2) 由(1)猜想数列{an}的通项公式；

B 变式1已知数列{an}满足a1＝2，an ＋1＝1＋an

1－an

(n ∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007＝________．

B ．变式2 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________． 1 2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …

8 12 16 20 24 … … … …

解析 观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.

又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216.

B 变式3 已知函数f （x ）满足：f （1）=3，f （2）=6，f （3）=10，f （4）=15，…，则f （12）的值为（ ）

二．类比推理

类比推理是由特殊到特殊的推理. 题型二、从平面到空间的类比

例题1(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比

到球体？

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.

圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积

圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两线相等；与圆心距离不等的两弦不等 距圆心较近的弦较长

以点（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的方程 为()()2

2

2

x a y b r -+-=

小结：平面→空间，圆→球，线→面，周长→面积，面积→体积，2维→3维 内切圆 内切球 平方一般不变 当不确定时可以计算出来检验一下

A 变式1 在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（ ） A ． 1：4

B ． 1：6

C ． 1：8

D ． 1：9

分析： 由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体

积比即可． 解答：

解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4， 类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：

在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8 故选C ． 点评：

本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．

A 变式2 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于各面正三角形的什么位置（ ） A ． 各正三角形的中心

B ． 各正三角形的某高线上的点

C ． 各正三角形内一点

D ． 各正三角形外的某点

考点： 类比推理． 专题： 计算题． 分析： 立体几何中的四面体，

可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边