原子物理学第二章习题答案

第二章 原子的能级和辐射

试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

π

φ2h n

mvr p ==

可得：频率 2

12

11222ma h

ma nh a v πππν===

赫兹151058.6⨯=

速度：61110188.2/2⨯===ma h a v

νπ米/秒

加速度：222122/10046.9//秒米⨯===a v r v w

试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级公式2

/n Rhc E n -=代入，得：

Rhc hc R E H i =∞-=)1

1

1(2=电子伏特。

电离电势：60.13==

e

E V i

i 伏特 第一激发能：20.1060.1343

43)2

111(22=⨯==-=Rhc hc R E H i 电子伏特

第一激发电势：20.101

1==

e

E V 伏特 用能量为电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

)1

11(22n

hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特

2.10)21

1(6.1321=-⨯=E 电子伏特

1.12)3

1

1(6.1322=-⨯=E 电子伏特

8.12)41

1(6.132

3=-

⨯=E 电子伏特 其中21E E 和小于电子伏特，3E 大于电子伏特。可见，具有电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

ο

ο

ο

λλλλλλA

R R A R R A R R H H H H H H 102598

)3

111(

1121543)2

111(

1

656536/5)3

121(

1

32

23

22

22

1221

==-===-===-=

试估算一次电离的氦离子+

e H 、二次电离的锂离子+

i L 的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：

3

1,2132,1,10529177.0443,2,1,4410

2

22012

12

2220=

======⨯==⋯

⋯===++++++

+

+-Li H H Li H H H He Z Z r r Z Z r r Z Li Z H Z H Z me h a n Z n a mZe n h r e

径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππε

b) 氢和类氢离子的能量公式：

⋯⋯=⋅=-=3,2,1,)4(222

12220242n n

Z E h n Z me E πεπ

其中基态能量。电子伏特，是氢原子的6.13)4(22

204

21-≈-=h

me E πεπ

电离能之比：

9

00,4002

222==

--==--+

++

++

H

Li H

Li H

He

H

He Z

Z E E Z Z E E

c) 第一激发能之比：

91

12113234112112222

2

1221221221121

22

2

1221221221121

2=--=--=--=--E E E E E E E E E E E E E E E E H H Li Li H H He He d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：

)11(~22

221n n R Z v -=，⋯⋯=⋯⋯++=3,2,11112)2(),1({n n n n

其中3

204

2)4(2h

me R πεπ=是里德伯常数。 氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：

H H R v λ

1)2111(~221=-=

相应地，对类氢离子有：

+

+++++=-==-=Li Li He He R v R v 12221

12221

1)2111(3~1)2111(2~λλ

因此，

91

,41111

1==+

++H Li H

He λλλλ

试问二次电离的锂离子+

+i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子+

e H 的电子电离掉

解：+

+i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

+e H 的电离能量为：

Li

He He Li He Li He He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1

1

1(42

++⋅

===∞-=+

+++

由于Li He Li He

M m M m M M /1/1,+>+<所以，

从而有++

+>He Li hv hv ，所以能将+e H 的电子电离掉。

氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（αH ）光谱线之间的波长差λ∆有多大已知氢的里德伯常数

17100967758.1-⨯=米H R ，氘的里德伯常数17100970742.1-⨯=米D R 。

解：

)3

121(

1

22-=H H

R λ，H H R 5/36=λ )3

121(

1

22-=D D

R λ，D D R 5/36=λ ο

λλλA

R R D H D H 79.1)1

1(536=-=-=∆

已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少ο

A

解：

R m

m

R R e e 8

34311)2

1

11(122=•

+=-=∞-+λ ολA R 243010973731

31

38=⨯==∞米