小学数学教学中极限思想的渗透点

小学数学教学中极限思想的渗透点

市东城区教师研修中心高泽新

［摘要］极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着偏颇，本文将在小学数学教学中极限思想的渗透上提出自己的观点。

［关键词］数学思想极限思想极限思想的渗透点

极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念[1]。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而在小学数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，本文对如将极限的思想方法应用于小学数学教学之中,提出自己的观点和同行们探讨与交流。

这是大家都非常熟知的一个故事：有一个牧民，临终前要把17匹马分给他的3个儿子。于是留下遗嘱：分给老大，分给老二，分给老三。牧民死后，三个儿子都不知道如何来分。一位邻居牵来自己的一匹马来帮忙分，这时就有18匹马了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，邻居牵着自己的那匹走了。

有人对上述分马的方法提出了异议，认为这实际上分的是18匹马，而不是17匹。那么我们不妨换一种办法来分:

共17匹马。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×=匹；老三分得17×=匹。还剩下17－－－=匹。

我们就把剩下匹马按遗嘱继续分。老大又可以分得：匹；老二又可以分得：匹；老三又分得匹。还剩下匹。就这样我们可以继续不断地分下去……

现在让我们来看一看老大分得的马匹数：

第一次得，第二次得，第三次得，……，第ｎ次得……这是一个无穷递缩等比数列，这个数列所有项的和是S=+++…++…==9，即老大分得9匹。

利用这种办法我们也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。这样既满足了牧民的心愿，又符合规则，问题得到圆满解决。

“借马分马”的故事虽然简单，但第二种分马的方法其中所蕴含的极限思想却极其珍贵。如果你只认识到“只分一次”是不够的，这种办法的核心是要将分遗产的过程无限的进行下去，每分一次剩下的马匹数都缩小到上一次的，最后每个人分得的马匹数就逼近于一个整数了，这实际就是极限的思想的一个具体应用。

由于小学生的年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。但作为教师我们不能无视极限思想方法的重要性，还应该着眼于学生的长远发展及终身发展，因此，我们在小学数学教学中应针对小学生的特点，将极限有思想方法进行适度的渗透。我想教师应该抓住机会采用分层渗透的办法，切不可急功近利。

层次一：帮助学生理解无限。

1．数量无限多。

现行小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。在“自然数”、“奇数”、“偶数”、这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个。在循环小数这一部分容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想，这样的例子在小学数学教学中还有很多。比如商不变性质教

学后的练习：（32÷□）÷（8÷□）＝4让学生体会□可填入无限多数，再如：在学习分数基本性质后的练习中，教师又要求学生在1分钟写一些与某个分数相等的分数，让学生体会这样的分数也是无穷无尽的。

2．图形无限延伸。

小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不要一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。

以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极限”，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。所以，不应该因为“无限≠极限”而忽视对无限性的教学。

层次二：帮助学生理解逼近。

“无限≠极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此，逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。

受年龄特征的制约小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反我们应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，奠定基础。笔者认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对极限思想加以渗透（渗透点）。

在公式推倒过程中渗透极限思想。

【案例】“圆的面积”。

在教学“圆面积公式的推导”一课时，有的教师是这样设计的。

师：我们过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？

生：可以把圆转化为我们学过的图形。

师：怎么转化？

生：分一分。

演示把圆平均分成了2分，把两个半圆地拚起来，结果还是一个圆。

生：多分几份试一试。

演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个……

师：你们有什么发现？

生：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

课件继续演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去，拼出的结果会怎样？

生：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。

学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。

以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。

二、在形成新概念时渗透极限思想

【案例】“循环小数”。

循环小数一课是一节概念性很强的新课，多数教师在教学中非常重视学生的自主探究过程，重视对循环小数的相关概念的教学，但也大都忽视了一个问题，即极限思想的渗透。

我们可以在课上创设以下一个问题供学生讨论：0.999……和1哪个大？