验证刚体转动的基本定律
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验证刚体转动的基本定律
刚体转动定律与牛顿第二定律有相同的形式。转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量,质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单,质量均匀分布的刚体,可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量,但对于形状比较复杂,或质量分布不均匀的刚体,用数学方法计算其转动惯量是非常困难的,因而大多采用实验方法来测定。
测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法,本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。
刚体转动的特性被用来制作惯性导航用的陀螺仪,在航空航海中有重要应用。随着技术的进步,出现了激光陀螺仪,微机电陀螺仪等,一些智能手机中也装置有陀螺仪芯片,但其原理与刚体转动是不同的。
一、实验目的
1. 研究刚体作定轴转动时外力矩与角加速度的关系,验证刚体转动定律。
2. 用直线拟合的方法得到转动惯量和摩擦力矩。
二、转动惯量实验组合仪简介
转动惯量实验仪如图1所示,绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上,使转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15,20,25,30,35mm共5挡,可与大约5g的砝码托及1个5g,4个10g的砝码组合,产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起,随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘,1个圆环,两个圆柱。圆柱试样可插入载物台上的不同孔,这些孔离中心的距离分别为45, 60, 75, 90, 105mm,便于验证平行轴定理。铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。仪器底座上有两只光电门, 一只光电门作测量,一只作备用,可通过智能计时计数器记录旋转的圈数和时间。
图1 转动惯量实验组合仪
三、实验原理
1.刚体转动定律的验证:通过改变砝码的质量,或绕线在不同半径的塔轮上以实现对实验系统施加不同力矩,从而获得不同的角加速度。将这一组不同力矩及对应的角加速度绘制在直角坐标系中,可以很容易发现力矩与角加速度之间的线性关系。利用线性拟合工具软件得到力矩与角加速度之间的数学关系,其中斜率即为系统的转动惯量,截距对应摩擦力矩。
在应用这一方法时要清楚下面的事实:
将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上,并让砝码下落,系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ,则细线所受张力为T = m (g -a )。若此时实验台的角加速度为β,则有a = Rβ。细线施加给实验台的力矩为T R = m (g -Rβ) R ,此时有:
ββµJ M R R g m =−−)(, 变换为µβM mR J mgR ++=)(2,
可以知道mR 2是砝码在系统中的转动惯量。在本实验的设计中,只有当mR 2足够小, 力矩与角加速度之间才有较好的线性关系。这一点请同学们在实验中加以论证。
2.以上方法中,不可避免地使转动惯量测量受到mR 2的影响,若单纯测量转动惯量可采取以下方法:
根据刚体的定轴转动定律:
βJ M = (1)
只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β,则可计算出该刚体的转动惯量J 。
设实验台转动惯量为J 1,未加砝码时,在摩擦阻力矩M μ的作用下,实验台将以角加速度β1作匀减速运动,即:
11βµJ M =− (2)
将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上,并让砝码下落,若此时实验台的角加速度为β2,则:
212)(ββµJ M R R g m =−− (3)
将(2)、(3)两式联立消去M μ后,可得:
1
221)(βββ−−=R g mR J (4) 同理,若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2,加砝码前后的角加速度分别为β3与β4,则有:
3
442)(βββ−−=R g mR J (5) 由转动惯量的迭加原理可知,被测试件的转动惯量J 3为:
123J J J −= (6)
测得R 、m 及β1、β2、β3、β4,由(4),(5),(6)式即可计算被测试件的转动惯量。
2、β的测量
实验中采用智能计时计数器记录载物台转动次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒,每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,即产生一个计数光电脉冲,计数器记下遮档次数k 和相应的时刻t 。若从第一次挡光(k =0,t =0)开始计次,计时,且初始角速度为ω0,则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据(k m ,t m )、(k n ,t n ),相应的角位移θm 、θn 分别为:
202
1m m m m t t k βωπθ+== (7) 202
1n n n n t t k βωπθ+== (8) 从(7)、(8)两式中消去ω0,可得:
n
m m n n m m n t t t t t k t k 22)(2−−=πβ (9) 由(9)式即可计算角加速度β。
3、平行轴定理
理论分析表明,质量为m 的物体围绕通过质心O 的转轴转动时的转动惯量J 0最小。当转轴平行移动距离d 后,绕新转轴转动的转动惯量为:
20d m J J += (10)
四、实验内容及步骤
1、实验准备
在桌面上放置ZKY -ZS 转动惯量实验仪,并利用基座上的三颗调平螺钉,将仪器调水平。将滑轮支架固定在实验台面边缘,调整滑轮高度及方位,使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高,且其方位相互垂直,如图1所示。并且用数据线将智能计时计数器中A 或B 通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。
2、验证刚体转动定律并测量转动惯量
(1)测量实验台的转动惯量J 0
1) 计时计数器调整:开机后LCD 显示“智能计数计时器 成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后,显示操作界面:
A. 选择“计时 1—2 多脉冲” 。
B. 选择通道。
2) 选择适当半径R 的塔轮,将一端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入,并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上,细线另一端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩,用手将载物台稳住;