验证刚体转动的基本定律

验证刚体转动的基本定律

刚体转动定律与牛顿第二定律有相同的形式。转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

刚体转动的特性被用来制作惯性导航用的陀螺仪，在航空航海中有重要应用。随着技术的进步，出现了激光陀螺仪，微机电陀螺仪等，一些智能手机中也装置有陀螺仪芯片，但其原理与刚体转动是不同的。

一、实验目的

1. 研究刚体作定轴转动时外力矩与角加速度的关系，验证刚体转动定律。

2. 用直线拟合的方法得到转动惯量和摩擦力矩。

二、转动惯量实验组合仪简介

转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱。圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些孔离中心的距离分别为45, 60, 75, 90, 105mm，便于验证平行轴定理。铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。仪器底座上有两只光电门, 一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能计时计数器记录旋转的圈数和时间。

图1 转动惯量实验组合仪

三、实验原理

1．刚体转动定律的验证：通过改变砝码的质量，或绕线在不同半径的塔轮上以实现对实验系统施加不同力矩，从而获得不同的角加速度。将这一组不同力矩及对应的角加速度绘制在直角坐标系中，可以很容易发现力矩与角加速度之间的线性关系。利用线性拟合工具软件得到力矩与角加速度之间的数学关系，其中斜率即为系统的转动惯量，截距对应摩擦力矩。

在应用这一方法时要清楚下面的事实：

将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T = m (g －a )。若此时实验台的角加速度为β，则有a = Rβ。细线施加给实验台的力矩为T R = m (g －Rβ) R ，此时有：

ββµJ M R R g m =−−)(, 变换为µβM mR J mgR ++=)(2，

可以知道mR 2是砝码在系统中的转动惯量。在本实验的设计中，只有当mR 2足够小, 力矩与角加速度之间才有较好的线性关系。这一点请同学们在实验中加以论证。

2．以上方法中，不可避免地使转动惯量测量受到mR 2的影响，若单纯测量转动惯量可采取以下方法：

根据刚体的定轴转动定律：

βJ M = （1）

只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。

设实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：

11βµJ M =− （2）

将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，若此时实验台的角加速度为β2，则：

212)(ββµJ M R R g m =−− （3）

将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得：

1

221)(βββ−−=R g mR J （4） 同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有：

3

442)(βββ−−=R g mR J （5） 由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为：

123J J J −= （6）

测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。

2、β的测量

实验中采用智能计时计数器记录载物台转动次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器记下遮档次数k 和相应的时刻t 。若从第一次挡光（k =0，t =0）开始计次，计时，且初始角速度为ω0，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（k m ，t m ）、（k n ，t n ），相应的角位移θm 、θn 分别为：

202

1m m m m t t k βωπθ+== (7) 202

1n n n n t t k βωπθ+== (8) 从（7）、（8）两式中消去ω0，可得：

n

m m n n m m n t t t t t k t k 22)(2−−=πβ （9） 由（9）式即可计算角加速度β。

3、平行轴定理

理论分析表明，质量为m 的物体围绕通过质心O 的转轴转动时的转动惯量J 0最小。当转轴平行移动距离d 后，绕新转轴转动的转动惯量为：

20d m J J += （10）

四、实验内容及步骤

1、实验准备

在桌面上放置ZKY -ZS 转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调水平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。并且用数据线将智能计时计数器中A 或B 通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。

2、验证刚体转动定律并测量转动惯量

（1）测量实验台的转动惯量J 0

1) 计时计数器调整：开机后LCD 显示“智能计数计时器 成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后，显示操作界面：

A. 选择“计时 1—2 多脉冲” 。

B. 选择通道。

2) 选择适当半径R 的塔轮，将一端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另一端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台稳住；