完全平方公式-(北师大版)(原卷版)

第六讲：完全平方公式
知识点：
1.完全平方公式；
2.配方法的应用；
3.利用完全平方公式的计算；
4.规律探究。

教学目标：
1、体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算；
2、通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形
结合能力；
3、体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

4、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；
5、会运用公式进行简单的计算。

本节的教学重点是完全平方公式的推导及应用，通过整式乘法的运算法则引导学生自主探索完全平方公式，使学生从根本上理解公式的由来，掌握完全平方公式的结构特征，并且可以结合图形面积问题对公式进行验证。

在能够对完全平方公式能够熟练灵活运用的基础上，再去解决简便运算、规律探究等实际应用问题。

学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难：
1.完全平方公式的推导及公式结构特征。

2.完全平方公式的图形验证。

3.与完全平方公式有关的计算问题。

4.利用完全平方公式进行简便运算和规律探索。

结合整式乘法的运算法则让学生自主推导探索完全平方公式，使其更深入理解公式的结构特征，更要能够区别两个完全平方公式的异同之处，可以套用口诀来加深学生记忆。

对于完全平方公式的应用要在学生能够完全理解并灵活运用两个公式的基础上，逐步深入讲解各类应用问题，比如简便计算的常用方法，公式的逆应用及规律探索问题。

知识点1 完全平方公式
1.完全平方公式：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）
这两数积的2倍；
口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央；
2.完全平方公式的逆应用；
3.完全平方公式的图形验证。

例一：
【题干】计算：①；②
【题干】如果是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A 、30
B 、±30
C 、15
D 、±15
知识点2 完全平方公式的应用
1.简便计算；
2.配方法
3.规律探究。

例三：
【题干】计算：（1） ； （2） 。

例四：
【题干】先化简，再求值：2222)()(b a b a b b a --++-，其中3
1
=a ，3=b
【题干】已知，求的值。

在讲解过程中，教师可以根让学生从探索简单题目着手，引导学生逐步去发现理解公式的各种应用，掌握完全平方公式的结构特征和公式之间的转化，从而去解决实际问题。

尤其要注意两个完全平方公式及平方差公式之间的转化计算问题，需要学生对两种公式完全掌握，所以在教学过程中要根据学生接受程度从易到难逐步学习。

一．选择题
1．（2019秋•淅川县期末）在括号内填上适当的单项式，使a2﹣（）+36成为完全平方式，应填（）
A．12a B．24a C．24 D．12 2．（2019秋•翠屏区期末）已知M是含字母的单项式，下列哪一个M不能使多项式4x2+M+1构成某一个多项式的平方（）
A．4x B．﹣4x C．4x4D．﹣4x4 3．（2019秋•义安区期末）若x2+kx+36是完全平方式，则k的值应是（）
A．16 B．12 C．﹣12或12 D．﹣12 4．（2019秋•香洲区期末）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 5．（2019秋•莆田期末）在多项式4x2+1中，添加一项后，不能构成完全平方式的是（）
A．4x B．﹣4x C．4x4D．﹣4x4
二．填空题
6．（2019秋•开鲁县期末）如果4x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为．
7．（2019秋•嘉定区期末）计算：（﹣x）（﹣x）＝．8．（2019秋•天津期末）若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于．9．（2018秋•奉贤区期末）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是．
10．（2019秋•伊通县期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．
11．（2019秋•吉林期末）若式子4x2﹣nx+1是一个完全平方式，则n的值为．
三．解答题
12．（2019秋•南安市期末）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．
13．（2019秋•金乡县期末）【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展应用】
（2）利用（1）中的等式计算：
已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣a）（a﹣2019）＝2020，求（2021﹣a）2+（a﹣2019）2
的值．
14．（2014秋•安阳期末）计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）
15．（2019秋•黄浦区月考）阅读下面内容，并完成题目
通过计算容易得到下列算式：152＝225，252＝625，352＝1225，…（1）填写计算结果652＝，852＝，1052＝，（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如：152就是1×2＝2再连着写25得到225，252就是2×3＝6再连着写25得到625，352就是3×4＝12再连着写25得到1225，…
（3）如果记一个个位数字是5的多位数为10a+5，试用所学知识计算（10a+5）2并归纳解释上述规律．
16．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：；
方法2：；
③观察图②，直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，
mn之间的等量关系：；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝6，mn＝4，求（m﹣n）2的值．
一．选择题
1．（2019春•西湖区校级月考）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）10的展开式中含x2项的系数是（）
A．144 B．180 C．220 D．45 2．（2019春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）
A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2
C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2
3．（2019春•港南区期末）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）
A．0 B．1 C．5 D．12
4．（2019秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）5．（2018秋•西城区校级期中）如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（）
A．a+3b B．2a+b C．a+2b D．4ab
二．填空题
6．（2019秋•临颍县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为．
7．（2019秋•郯城县期末）已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m ＝．
8．（2018春•定陶区期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为．
9．（2019秋•满城区期末）已知4y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是．
10．（2018秋•宜城市期末）若x2+4x﹣m是关于x的完全平方式，则m ＝．
三．解答题
11．（2019秋•顺城区期末）如图，图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．
（1）图②中的大正方形的边长等于，图②中的小正方形的边长等于；
（2）图②中的大正方形的面积等于，图②中的小正方形的面积等于；图①中每个小长方形的面积是；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系吗？．
12．（2019秋•张掖期末）观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
13．（2019秋•徐汇区校级月考）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1＝S2＝，S3＝．
（2）若a+b＝10，ab＝26，求2S1﹣3S3的值；
（3）若S1＝12，S2＝10，S3＝18，求出图③中的阴影部分面积．
14．（2019春•彭泽县期中）（1）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，若将此图中虚线用剪刀均分为四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请问：这两个图形的什么量不变？请填写这个量的名称．所得的正方形的面积比原长方形的面积多出的阴影部分的面积用含a，b的代数式表示；
（2）由①的探索中，可以得出的结论是：在周长一定的长方形中，当时，面积最大；
（3）若一长方形的周长为36厘米，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？
15．（2019春•雨花区校级月考）许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达，如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2
（1）如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式；（2）利用（1）中的等式求解：a﹣b＝2，ab＝，则（a+b）2＝；（3）小明用8个面积一样大的长方形（宽a，长b）拼图拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个大的正方形，中间的阴影部分是边长为3的小正方形；图案乙是一个大的长方形，求a，b的值．
一．选择题
1．（2019秋•义安区期末）若x2+kx+36是完全平方式，则k的值应是（）A．16 B．12 C．﹣12或12 D．﹣12 2．（2019秋•莆田期末）在多项式4x2+1中，添加一项后，不能构成完全平方式的是（）
A．4x B．﹣4x C．4x4D．﹣4x4 3．（2019秋•巴彦县期末）如果二次三项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，则m＝（）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．36 4．（2019秋•黄石期末）已知a2+b2＝5，a﹣b＝1，则ab的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019秋•方城县期中）若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（）
A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11 6．（2019秋•奈曼旗期末）若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值是（）A．2.5 B．5 C．10 D．15 7．（2018秋•安顺期末）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2
D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
8．（2019秋•颍州区期末）下列各式是完全平方式的是（）
A．x2﹣x+B．1+x2C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1
二．填空题
9．（2019秋•阳新县期末）已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝．10．（2019秋•金乡县期末）若关于x的二次三项式x2+kx+64是一个完全平方式，则k＝．
11．（2019秋•天津期末）若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于．12．（2018春•定陶区期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为．
13．（2019秋•侯马市期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…
根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．
拓展应用：（a﹣b）4＝．
14．（2019秋•镇赉县期末）已知a+＝5，则a2+的值是．15．（2019秋•镇原县期末）如果多项式1+9x2加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是（填上两个你认为正确的答案即可）．
16．（2019秋•镇原县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则＝．三．解答题
17．（2019秋•南安市期末）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．
18．（2019秋•阳信县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？。