8.2正态总体均值和方差的假设检验

当方差σ12σ22已知时，用U检验法，构造 统计量
U (X Y)
2 1
2 2
n1 n2
取显著性水平α
P{| U | u /2}
得拒绝域为 | U | u /2
二、正态总体方差的检验
1、单个总体的情况—χ2检验
设总体N(， 2), ， 2 未知，x1，L ，xn 是
来自总体X的样本，现要检验假设（显著性
解 依题意，该批药物中成分A的含量X服从 正态分布N(μ ，σ2)，其中μ，σ2均为未知 。问题化为在α＝0.05的显著性水平下的 检验假设
H0:μ=0.10,
H1:μ≠0.10
n＝5，计算可得样本均值和样本方差
x 0.10052, s2 0.00592
检验统计量为 t X 0
Sn 计算得t＝0.1970
水平为α）
H 0：
2
02；H1： 2
2 0
在H0成立的条件下 2 (n 由上α分位点的定义可知
-1)S σ02
2
~
χ2 (n 1)
P
(n
1)S
2 0
2
2 1
/
2
(n
1)
2
,
P
(n
1)S
2 0
2
2/2 (n 1)
2Hale Waihona Puke Baidu
,
(n 1)S 2
P
02
2 1
/
2
(n
1)
2
,
(n 1)S 2
即
W {s 5.220 Us 14.805}
分布。要根据s的值检验假设
H0： 10.00；H1： 10.00
求检验统计量为 2 (n -1)S 2 8 s2 0.08s2
σ02
100
当H0为真时，χ2服从自由度为8的χ2分布
对于α＝0.05，
查表得
2 0.975
(8)
2.180,
2 0.025
(8)
17.535
则拒绝域为
W {0.08s2 2.180 U0.08s2 17.535}
查表得t/2 (4) =t0.025(4)=2.7764 由于|t|＝0.1970< t/2(4) =2.7764
故没有理由拒绝H0，即认为该批药物片剂中 成分A的含量与规定含量10％没有显著差异。
3、两个正态总体均值差的检验— t 检验
我们可以用t检验法检验具有相同方差
σ2（未知）的两个总体均值差的假设。给
在H0成立的条件下
σ
n U
X
μ0
~
N (0,1)
σn
根据给定的检验水平α，查表确定分位数 z / 2
使P{ U z / 2 } α， 确定拒绝域：U z / 2
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒 的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一 批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
定显著性水平α，设 X1，L ，X n1是来自正态
总体
N
(u1，
2 1
)
的样本，Y1，L
，Yn2
是来自正态
总体
N
(u2，
2 2
)，的样本，且设两样本独立，
分别记它们的样本均值为 x, y ，样本方差
为 s12 , s22。其中1, 2 , 2 均为未知。现在来 求检验问题：
H0：1 2 , H1 : 1 2
3.确定拒绝域形式
给定显著性水平, 确定拒绝域
4. 根据样本值计算,并作出相应的判断.
一、正态总体均值的检验
1、2已知的情形—U检验
设X1，L ，Xn是来自正态总体N(， 2 )的样本,
其中 2已知，x,和s2分别是样本均值和样本方差。
假设检验 H0： 0；H1： 0。
构造统计量
X zμ U
§8.2正态总体均值和方差的假 设检验
这一节我们讨论正态总体的参数的假设 检验问题
一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为
U 检验 t 检验
2 检验
F 检验
用正态分布 用 t 分布
用 2 分布
用 F分布
假设检验步骤(四部曲)
1.根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1 2.在H0为真时,选择合适的统计量V
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48, 0.1,
x 0 10.48 10.5 0.516,
/ n 0.15 / 15
查表得 z0.05 1.645,
于是
|
x
/
0
n
|
0.516
z0.05
1.645
故接受H0，认为该机工作正常
2、2未知的情形— t检验
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差 没有变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解 因为 X ~ N (, 2 ), 0.15,
要假设检验
P
2 0
2/2 (n 1)
2
,
则p{ 2 χ12 (n 1) 2 χ2 (n 1)} α
2
2
得显著性水平为的拒绝域为
2
2 1
/
2
(n
1)或
2
2 / 2 (n 1)。
例3 由以往管理生产过程的大量资料表明某自 动机床产品的某个尺寸X服从正态分布，其标 准差为σ0＝10.00毫米，并且把σ0＝10.00毫米 定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定 性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随 机地抽验9件产品，测量结果为x1,x2,…x9。试 制定一种规则，以便能根据样本标准差s的值 判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著 性水平为α＝0.05）？ 解 依题意，所考虑的产品指标X服从正态
的拒绝域
构造统计量，t
(X Y)
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
11 n1 n2
当H0为真时 t ~ t(n1 n2 2)
对于给定的检验水平α,
P{t t /2(n1 n2 2)} ，
即得拒绝域为 t t /2(n1 n2 2)
特别地，当δ＝0时，假设检验H0：μ1=μ2，H1 ： μ1 ≠ μ2是经常遇到的情况。
假设检验 H0： 0；H1： 0。
选取统计量 t X
Sn
在H
成立的条件下
0
:
t
X S
0
n
~
t(n 1)
由 P{|t|>t/2(n 1)} =,
得检验水平为的拒绝域为 |t|>t/2(n 1)
例2 某种片剂药物中成分A的含量规定为10％ ，现抽验该药物一批成品中的五个片剂，测得 其中成分A的含量分别为0.1090，0.0945， 0.1038，0.0961，0.0992，假设该药物中成分A 的含量X服从正态分布，问在5％的显著性水平 下，抽验结果是否与片剂中成分A的含量为10 ％要求相符？