上海财经大学2011年 数理统计试卷答案

− Y2 )2 ,
Z = C(Y1 − Y2 ) / S,
则当 C = 2 时，统计量 Z 服从 t 分布，参数为 2 。
5． u 检验和 t 检验都是关于 均值 的假设检验，当 方差 已知时，
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1
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用 u 检验，当 方差 未知时，用 t 检验。 6．设 X1, X 2 , L, X n 是 N (μ, σ 2 ) 分布总体 X 的样本，其中 μ, σ 2 均为未知参数。记 X
确定拒绝域为W = {X > 1.5}，求（1）此时犯第一类错误的概率α 和犯第二类错误的概
率 β ，（2）若 n = 9 的样本值为 1.8,1.7,1.4,1.5,1.9,2.0,1.7,1.7,1.6，问 H 0 是否成
立。
(本题满分 12 分)
解：（1）当 H 0 成立时， n ( X − 1) ~ N (0,1) ，所以
为使用 A, B 后延长的睡眠时间（单位：h），计算两组样本数据的样本均值和样本方差分
别为
x = 2.33, s12
= 4.132;
y
=
0.75,
s
2 2
= 3.201
， 假 设 X ,Y
分别为正态总体
N
(μ1
,
σ
2 1
),
N
(
μ
2
,
σ
2 2
)
，试问
A,
B
疗效有无显著差异。
分) 解：（1）先做方差齐一性检验。拒绝域为
分
1．为了了解某专业本科毕业生的就业情况，我们随机调查了某地区 30 名
2009 年毕业的该专业本科生实习期满后的月薪情况。那么研究总体是
某专业本科毕业生的就业情况,样本是 某地区 30 名 2009 年毕业的该专业本科生实习期
满后的月薪情况。
装 2．若从某总体中抽取容量为13 的样本
− 2.1, 3.2, 0, − 0.1, 1.2, − 4, 2.22, 2.0, 1.2, − 0.1, 3.21, − 2.1, 0
(本题满分 10
{S12
/
S
2 2
>
F0.975 (9,9)
=
4.03} ∪ {S12
/
S
2 2
<
F0.025 (9,9)
= 1/ 4.03
=
0.25} ，
而 0.25
<
S12
/
S
2 2
= 1.29
<
4.03 ，可以认为方差相等。
（2）检验 H 0 : μ1 = μ2 , H1 : μ1 ≠ μ2 ，拒绝域为
i =1
j =1
线
an + bm = 1，当 a = 4 ， b = 1 时，T 最有效。
4n + m
4n + m
4．设 X1, X 2 , L, X 9 是正态总体的一个样本,记
Y1
=
1 6
(X1
+
X
2
+L +
X 6 ),
Y2
=
1 3 (X 7
+
X8
+
X 9 ),
∑ S 2
=
1 2
9 i=7
(Xi
[X ±
S n
t1−α
/
2
(15)]
=
[2.1823,
2.2277] 。
8．设总体 X 服从正态分布 N (μ, σ 2 ) , μ 未知, σ 2 已知, 为使总体均值 μ 的1 − α 置
信区间的长度不大于 L , 样本容量至少应取为 ( 2u1−α / 2σ )2 。 L
装
11
∑ 9．设 X 1, X 2 L, X 11 是来自总体 N (μ,σ 2 ) 的一个样本, Q = ( X i − X )2 为样本偏差
(6)
=
12.592,
χ
2 0.95
(7)
=
14.067,
Φ(2.326) = 0.99 ，
χ2 0.95
(2)
=
5.991,
χ
2 0.95
(1)
=
3.841.
Φ (1.5)
=
0.9332
…………………………………………………
5
则样本中位数为 0 ，极差为 7.21 。若再加一个 2.7 构成一个容量为14
的样本，此时样本的中位数为 0.6 。
订 3. 设 X1, X 2 , L, X n 和Y1, Y2 , L, Ym 是分别来自两个独立总体 N (μ, 1) 和 N (μ, 4) 的
n
m
∑ ∑ 样 本 ， 记 μ 的 一 个 无 偏 估 计 为 T = a X i + b Yj ， 则 a 和 b 应 满 足 条 件
EX (n) 2
=
n
n +
θ 2
2 可得其方差为Var( X (n) )
=
(n
n + 1)2 (n
+
θ 2)
2，
Var(θ ') = 1 θ 2 < Var(2X ) = θ 2
n(n + 2)
3n
可知θ ' =
n +1 n
X (n)
更有效。
3. 设 X1, X 2 ,L, X n 为总体 N (μ, 1) 的样本，对假设 H 0 : μ = 1, H1 : μ = 2 ,
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪⎨T = | X − Y |
⎪ ⎪⎩
Sw
1+1 n1 n2
> t0.995 (18) = 2.8784⎪⎬ ⎪ ⎪⎭
而T = 1.845 < 2.8784 ，所以认为无显著差异。
5.
设 X1, X 2 ,L, X n 为总体
p(x, θ )
=
θ x2
,
x
≥θ
的一个样本，试求参数θ 的1 − α
其分布函数为 G( y,θ ) = 1 − θ n / y n , y ≥ θ ；
（3）因为 G( y,θ ) 关于θ 严减，故令 G( X (1) ,θ L ) = 1 − α 得θ L = n α X (1) 。
6．下表是 1976 至 1977 年间在美国佛罗里达州 29 个地区发生的凶杀案中被告人被判死 刑的情况：
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2
∑ 由 L(θ ) = exp{− (xi − θ )}, x(1) ≥ θ 可知，要似然函数达最大需θ 达最小，从而其极 i
大似然估计量为 X (1) 。
2．设 X1, X 2 ,L, X n 为总体U (0, θ ) 的一个样本，θ > 0 未知。试比较θ 的两个估计量 2 X
线
值可得检验的 p 值为 0.0179 。
得
二、计算题（共计 70 分）
分
1．设 X1, X 2 ,L, X n 是密度函数为 f (x; θ ) = e−(x−θ ) , x ≥ θ 的总体的样本,
求未知参数θ ∈ (−∞, + ∞) 的矩估计量和极大似然估计量。
(本题满分 10 分)
解：由 EX = 1 + θ 可得矩估计量为 X − 1。
单侧置
信下限。
(本题满分 10 分)
解：（1）由数值解法θ 的极大似然估计量为 X (1) ；
（2）由总体的分布函数
F
(
x)
=
⎧0, ⎩⎨1 −
θ
/
x,
x <θ x ≥ θ 可得， X (1) Leabharlann Baidu密度函数为
g(y,θ )
=
np( y)(1 −
F ( y))n−1
=
nθ n y n+1
,
y ≥θ
4
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判死刑
不判死刑
白人
30
184
黑人
6
106
是否可以认为被害人肤色不同不会影响对被告的死刑判决（α = 0.05 ）。(本题满分 8 分)
解：此问题为
2
×
2
列联表独立性检验，相应拒绝域为{χ
2 n
≥
χ2 1−α
(1)}
，而
χ
2 n
=
326(30 ×106 − 6 ×184)2 36 × 290 × 214 ×112
与
S
2 n
分别为样本样本均值与样本方差，则概率
P(X
>
2)
的极大似然估计量为
1− Φ(2 − X ) 。 Sn
7．测量铝的比重 16 次，得样本均值 x = 2.205 ，无偏样本标准差 s = 0.029。设测量结 果服从正态分布 N (a,σ 2 ) ，参数 a,σ 2 未知，则铝的比重 a 的置信度为 95%的置信区间为
i =1
平方和, 则其方差 D(Q) = 20σ 4 。
订 10. 一支香烟中的尼古丁含量 X 服从正态分布 N (μ, 1) ，质量标准规定 μ 不能超过
1.5mg 。现从某厂生产的香烟中随机抽取 20 支测得其中平均每支香烟的尼古丁含量为
1.97mg ，则为检验该厂生产的香烟尼古丁含量是否符合质量标准的规定，由上述观察
≈ 5.422 > 3.841
所以认为有关系。
7. 按 Mendel 遗传定律，让开淡花的豌豆随机交配，子代可开出红花、淡红花和白花三
装 类，其比例为 1:2:1。为检验这一理论，安排一次试验得到三种颜色的株数分别为 26、
66、28，试检验这些数据与 Mendel 定律是否一致（α = 0.05 ）。
和 X (n) ，讨论它们的无偏性、有效性和相合性。
(本题满分 10 分)
解：由 E[2 X ] = θ 可知前者是无偏的，由Var(2 X ) = θ 2 可知其相合性。 3n
由密度函数
x
a
n
x n−1 θn
，
E[ X (n) ]
=
nθ n +1
可知其有偏性，修正为θ '=
n +1 n
X (n)
，由
χ
2 n
= 1.267
<
5.991
附： t0.975 (16) = 2.1199 ， t0.975 (15) = 3.1315 ， Φ(1.97) = 0.9756 ，
t0.975 (35) = 2.0301， t0.975 (36) = 2.0281 ， Φ(2.10) = 0.9821 ，
χ
2 0.95
(本题满分 12 分)
解：设开三种颜色的花的概率分别为 p1, p2 , p3 ，则需检验
H 0 : p1 = 1/ 4, p2 = 1/ 2, p3 = 1/ 4
订
∑ 检验统计量为
χ
2 n
=
3 i =1
(ni
− npi0 ) 2 npi0
，相应拒绝域为
{χ
2 n
≥
χ2 1−α
(3
−
1)}
，而
线 所以认为二者一致。
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诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
上海财经大学《概率论与数理统计 II》课程考试卷（A）闭卷
课程代码
101182
课程序号 1005
2011-- 2012 学年第一学期
标准答案
得
一、填空题(每小题 3 分，共计 30 分)
α = P0 (X > 1.5) = 1− Φ(0.5 n) ，
当 H1 成立时， n ( X − 2) ~ N (0,1) ，所以
3
β = P1 ( X ≤ 1.5) = Φ(−0.5 n ) = 1 − Φ(0.5 n ) 。 （2）因为 x = 1.7 > 1.5 所以拒绝 H 0 。
4．比较两种安眠药 A, B 的疗效，对 A, B 分别抽取 10 位失眠者为试验对象，设 X ,Y 分别