离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量的数字特征

一、知识点

1、离散型随机变量的数学期望

2、离散型随机变量的方差

3、三种分布的期望和方差

4、期望和方差满足的公式

二、典型例题

（一）离散型随机变量的期望

例1、某射击运动员射击10次，所得环数分别是1,1,1,1,2,2,2,3,3,4，求该运动员射击的平均环数。 例2、盒子中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现不放回地取出电池检验，每次取一节电池，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的期望E （X ）。 （二）离散型随机变量的期望公式运算

例3、随机变量X 的分布列如下表所示，随机变量

12+=X η，则）（ηE =___________

例4、某射手射击所得环数X 的分布列如下表所示，已

知X

（三）离散型随机变量的方差

例5、有A 、B 两家单位都愿意聘用你，你获得了如下信息，根据表中信息和工资的期望和方差分析，你愿意选

例6、某校设计了一个试验学科的实验考察方案，考生从6道备选题中一次性地随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

3

2

，且每题正确完成与否互不影响，试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。 （四）离散型随机变量的方差公式运算

例

7、已知X 是离散型随机变量，其分布列如下表所示，则D

例8、已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，随例9、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

3

1，

遇到红灯时停留的时间都是2min ，求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望E （Y ）。 例10D （X ）。

（六）二项分布的期望和方差

例11、已知青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位。若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X ，求X 的期望E （X ）。 例12、已知X 是离散型随机变量，),(~p n B X ，且

2.9)23(=+X E ，96.12)23(=+X D ，求p 。

（七）超几何分布的期望和方差 例13、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的期望和方差。

例14、甲参加青年志愿者的选拔。活动采用现场答题的方式来进行选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道。规定每次考试都从备考题中随机抽出3题进行测试，求甲答对题数X 的数学期望和方差。 （八）综合应用

例15、某商店为了增加糖果销售，将甲、乙、丙三种不同价格的糖果按3:2:1的比例混合打包销售，其中糖果甲的原销售价格为18元/kg ，糖果乙的原销售价格为24元/kg ，糖果丙的原销售价格为36元/kg ，在顾客不能挑拣混合糖果且商店不降低盈利目标的情况下，请问如何给混合糖果定价才合理？

例16、某城市出租汽车的起步为10元，行驶路程不超过4km 时车费为10元，若行驶路程超过4km ，则按没超出1km 加收2元计费（超出不足1km 的部分按1km 计）。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ，某司机经常驾车在机场与该宾馆之间接送旅客，由于行

车路线的不同以及途中停车时间要换成形成路程，该司机一次接送旅客的行车路程X 是一个随机变量。司机所收打车车费为η，若随机变量X 的分布列如下表所示，求所收车费η的数学期望)(ηE 和方差)(ηD 。