城市公交复杂网络研究

收稿日期：2011－10－31；修回日期：2012－02－01基金项目：福建省科技A 类科技计划项目（JA11297）
作者简介：黄加增（1974－），男，硕士研究生，CCF 会员，研究方向为粗糙集与概念格。

城市公交复杂网络研究
黄加增，余国伟
（福建农林大学东方学院，福建福州350017）
摘
要：文中基于复杂网络理论，以公交停靠站点为节点，公交线路作为网络边，构成一个复杂的城市公交网络，研究该城
市公交网络上的一些统计特征，就网络的度分布、介数、平均路径长度、聚类系数进行计算并对其进行复杂性分析。

结果表明：该城市公共交通网络具有幂率分布特征下的度分布，且具有较小的平均路径长度和较高的聚类系数，说明该城市公共交通网络符合复杂网络无尺度特性，可揭示网络中的Hub 节点，加以防范保护，为城市交通系统的正常运转和维护提供科学性指导。

关键词：城市公交系统；复杂网络；小世界；无标度中图分类号：TP39
文献标识码：A
文章编号：1673－629X （2012）06－0234－05
Research on Complex Network of City Public Transportation
HUANG Jia －zeng ，YU Guo －wei
（Dongfang College ，Fujian Agriculture and Forestry University ，Fuzhou 350017，China ）
Abstract ：Based on the complex network theory ，it assumes the bus stop to be a node ，bus lines to be network edges ，forms a complex net-work of city public transportation ，
and makes a study on its statistical characteristics including calculating its degree distribution ，between-ness ，average path length ，clustering coefficient and analyzing them．The results show that the traffic network has degree distribution featu-ring scale －free power －law distribution ，
small average path length and high clustering coefficient ，and it is characterized by complex net-work scale －free which helps reveal the Hub network node to protect．It serves as scientific guidance for the normal and smooth public transportation and its maintenance．
Key words ：city public transportation system ；complex network ；small －world ；scale －free
0引言
现今的城市公共交通已成为民生重中之重的一个问题。

据可靠统计，常规公交承担了七成以上的公交客流量。

而作为典型的公共交通工具，公共汽车和出租车则分别承担了城市公共交通客运量的21．5%和6．1%。

于是，一个城市往往形成一个以公共汽、电车为主，出租车及其它运输工具为辅的综合运输体系，俨然构成一个复杂的城市公交交通系统。

复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构成的网络结构，故它可以用来描述自然界中的大多数复杂系统
［1］。

一个具体的复杂网络是
由许多不同的节点及各个节点之间的连线所组成的，其中节点即为真实复杂系统中不同的元素，而节点的连线表示元素之间的相互作用。

因此，城市公共交通系统同样可以抽象为由不同的公交停靠站点及其公交
线路所构成的一个复杂网络，通过复杂网络的静态特征值加以描述具体地方的交通状况
［2］。

而该城市公交
复杂网络的拓扑结构对于当地的公共交通状况显然具有非常重要的影响，
大多数城市的公共客运主要倚赖于稳健运行的公交系统。

于是，
城市公交复杂网络的抗毁性成为考核该城市公交网络系统性能的一个重要指标。

尤其是，当该城市公交路网在发生拥堵或者是在遭遇到交通事故的情况下，整个城市公交系统的正常及维稳性能将很很大程度上取决于公交路网的抗毁性。

为此，将上述问题归结为一个公交路网的抗毁性问题。

所谓网络的抗毁性是指网络中的节点或边在突发事件的破坏下（可以是随机事件或蓄意攻击）的维持其正常运作的能力
［3］。

它从网络的连通性角度阐述
了拓扑结构对网络自身可靠性的影响，
是网络可靠性的一种静态指标。

而有关各种交通系统的复杂特性研究一直是国内外专家学者所关注的研究热点。

其中，部分学者就交通网络的几何性质进行了针对性的研究，如地铁交通网络复杂性［4］
、航空网络［5］
、航运网
络
［6］
等。

大量的研究证实了，大多数交通运输网络都
第22卷第6期2012年6月
计算机技术与发展
COMPUTER TECHNOLOGY AND DEVELOPMENT
Vol．22No．6June 2012
具有复杂网络的结构特性。

作为对城市功能和市民生活具有重大影响的城市公交网络，其抗毁性研究的应用价值和重大理论意义也日益凸显出来。

因此，文中以某城市的公交运输系统作为研究对象，分析和研究其所具有的复杂网络特征，并以此进一步对该公交网络的抗毁性进行分析研究。

1复杂网络介绍
复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络，用数学语言来说，就是一个有着足够复杂的拓扑结构特征的图。

一般来说，复杂网络具有简单网络，如晶格网络、随机图等结构所不具备的特性，而这些特性往往出现在真实世界的网络结构中，以至于用来研究现实环境中各类高复杂性系统。

复杂网络可以用来描述计算机网络链接［7］、人群社会关系［8］、语义联系［9］、物种间的捕食关系［10］、蛋白质之间的相互关系［11］、神经元之间的通讯反馈作用［12］等等。

图1给出一个简单网络示意图。

图1简单的网络示意图
通常可以采用图来表示一个复杂网络。

假设网络G（V，E）是由一个节点集合V和一个边集合E所组成的一个图。

网络中的节点数个数为N；节点间相互连接的数目即为边数，有M条。

通过研究，用一个一维数组存放图中所有顶点（节点）数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵（Adjacency Matrix），即表示顶点节点之间相邻关系的矩阵。

因此，它可以抽象用来表示网络。

在邻接矩阵A
i，j
中可以包含网络的所有拓扑结构（Topol-ogy Structure）信息。

在此，把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态所表现出来的性质称之为网络的拓扑性质，相应的结构称之为网络的拓扑结构。

对于包含有N个点的图G（V，E）来说，其邻接矩阵是N
阶方阵，其矩阵元素a
i，j
表示为网络中节点i与点j的连
接关系：如果节点i与j相连［13］，则a
i，j =1，否则a
i，j
=
0。

最近几年来，随着网络的高速发展，对复杂网络系统进行数据采集处理和统计分析及决策变得简单易行。

因此，有学者研究发现，现实中许多复杂系统表现出一些之前随机网络研究所没发现的宏观性质。

这给传统的网络理论带来了挑战，同时也为网络研究注入了新的活力，很大程度上拓展了网络研究的视野。

下面，简单介绍复杂网络所具有的两个典型的宏观性质［14］。

1．1小世界效应（The Small－world Effect）
小世界效应就是指在大尺度复杂网络结构中任意两点之间存在着一条相对很短的连接路径。

早在二十世纪六十年代。

美国哈佛大学的心理学家Stanley Mil-gramy通过一个“六度分离”（six degree of sparation）实验，验证了：地球上的任意两个人都可平均通过6个熟人联系起来这一奇异的社会现象。

由此可谓“世界真小啊”。

“小世界”也由此而得名。

“小世界”现象普遍存在于各种实际的网络结构中。

通常用特征路径长度来定量描述复杂网络的小世界效应。

特征路径长度定义为网络中任意两点之间的平均最短距离，公式如下：
l=
∑
i≠j
d
ij
N（n－1）
（1）
其中，d
i，j
是指网络中节点i与节点j之间的最短距离。

小世界效应的含义比较广泛。

目前比较合理的定义是：若网络中两点之间的平均最短距离随着网络的大小呈对数增长，即l ln N，即当网络规模增长很快时，平均最短距离增长则相对缓慢，则称该网络具有小世界效应。

1．2无标度特性（Scale－free Property）
在复杂网络中，将与节点相连接的“边”的数目称为该节点的“度”数。

例如，节点A有6条相连边，则称节点A的“度”为6。

然而一个节点的度并不一定等于与之相连接的节点数目，这是因为复杂网络中任意两点间存在的链接边可能不只一条。

很显然，网络中的所有节点也不可能都具有相同的度（即相同的邻接边数）；实验表明大多数实际网络中节点的度是满足一定的概率分布。

假设定义为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比例大小，那么在网络中随机获得度
为k的节点的概率即为P
k。

于是，该网络的节点的度分布便可表示如下：
p（k）=
1
N
∑N
i=1
δ（k
i
－k）（2）其中，N为网络节点总数。

通常可以采用一个直方图来描述复杂网络的度分布性质。

例如，随机网络的度分布通常满足泊松分布（Poisson Distribution）。

因为随机网络中，每一条边的
·
532
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第6期黄加增等：城市公交复杂网络研究
出现概率是相等的。

因此，大多数节点的度是相同的（或近似相等），并接近于网络节点之间所经过的平均长度k。

其实生活中网络的度分布并不是经常所说的随机网络具有的泊松分布特征，特别是那些大尺度的复杂网络，如万维网、因特网及新陈代谢网络（Metabolic Network）等等。

相反，它们往往具有幂指数形式的节点度分布形式：P（k） k－γ。

我们把具有这种度分布形式的网络称为无标度网络（Scale－free Network）。

可见，无标度网络具有异质性结构特征，其网络中各个节点间的连接状况（度数）具有严重的不均匀分布特征：网络中少数称之为Hub点的节点拥有众多的边连接。

现实生活中的大多数网络往往表现出无标度特性，比如，航空网络就是其一，即大多数的节点却只有很少量的边连接。

少数Hub点对无标度网络的各方面的运作起着主导的作用（如纽约及休斯顿作为两个极度重要的航空枢纽）。

从某种意义上来说，无标度网络的无标度性是描述大量复杂系统整体结构上所具有的严重不均匀分布特性的一种内在性质。

2城市公共交通网络
一个城市公共交通网络包含停靠站点和公交线路两个基本要素，且可表示为由该城市范围内的公交停靠站点及站点间的路段所组成的复杂网络。

在一般情况下，若公交从停靠点甲经过某一条公交线路到达另外一个停靠点乙，然后能从同一条路线由停靠点乙返回到停靠点甲，即公交的来回班次问题。

因此，一个城市公共交通网络往往被看作是无向网络。

如何将一个城市的公共交通网络映射为复杂拓扑网络成为后续理论研究重要的环节。

在这里，给出的两种方法：一种被称为L空间（Space L）的方法，即将公交停靠站点视为节点，若两个站点在某一条交通线路上是相邻的，那么它们就有连边［15］；另一种是P空间（Space P）方法，即将公交停靠站点视为节点，若两个站点有直达交通线路，那么它们就有连边。

显然，Space L方法构造的交通网络是Space P方法构造的交通网络的子网络。

图2给出了用两种不同描述。

于是，为便于研究，文中采用一个无向图G=（V，E）来表示该交通复杂网络，其中V和E分别表示为节点及边的集合。

接下来，文中就通过考察网络统计方法来讨论这城市公交路网的网络拓扑结构特征。

基本统计特征：
（1）节点的度与度分布［15］。

节点i的度k
i
为节点i连接边的数量，具体定义如下：
k
i
=∑
j∈N
a
ij
（3）
其中，a
ij
=1表示两个节点间存在边连接。

反之，
a
ij
=0表示两节点间不存在边连接。

（a）Space
L
（b）Space P
图2公交路网的两种描述方法
另外，节点度分布是定义为在网络中度为k的节点的概率p（k）随节点度为k的变化规律。

度分布是网络属性中重要的拓扑结构几何量，它可以反映整个网络中节点和边的连接情况，因此也是区别各类网络的重要几何量。

（2）最短路径、网络直径与介数［15］。

最短路径（Shortest Path）是指连接指定始节点到指定终节点之间的所有路径中最小的那条路径（可能不只一条）。

而网络的直径为任意两节点间最多节点数目的路径（最大距离）。

网络中任意节点对之间最短路径的算术平均值，叫作平均路径长度，或称为特征路径长，它被用于衡量网络的的分离程度的大小。

若用L和N分别表示平均最短路径和网络节点总
量，d
ij
表示两节点i和j之间的最短路径，若网络是连续的即不存在相互独立的组团时L收敛，则有如下式子：
L=
1
N（N－1）
∑
i，j∈N，i≠j
d
ij
（4）但常常会出现网络非连续（因为有节点间的距离为无穷大），那上面的计算就失效了。

这时，要通过如下式子：
L=
1
N（N－1）
∑
i，j∈N，i≠j
1
d
ij
（5）
·
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·计算机技术与发展第22卷
规定若两节点不连续，那么它们之间的距离为无穷大，此时效率值令为零。

还有其他学者已做出另外的研究，如由Latora 和Marchiori 提出用地理长度的调和均值来替代最短路，将其称作为网络的效率
［16］。

介数反映了网络中所有最短路径中经过该节点或者边的路径的数目占最短路径总数的比例，分为边介数和节点介数两种，
是一个重要的全局几何量。

这里只介绍节点介数，比如任意两个不相邻的节点j 与k ，它们是通过在这两个节点连接路径上的其它节点进行彼此联系的，这样，可以通过介数来测量其他节点与该节点的关联程度大小。

类似于节点的度值和聚集系数（定义为该节点到所有其他节点的平均距离的倒数），介数也被用来度量节点在整个网络中的作用和影响力。

故节点i 的介数定义如下：
b i =
∑j ，k ∈N ，k ≠j n jk （i ）
n jk
（6）
式中n jk 为连接节点j 和节点k 的所有最短路径数，而n jk （i ）为这些最短路径中经过节点i 的数量。

（3）集群即集聚程度（系数）（Clus-tering Coefficient ）又称聚类系数。

集聚（clustering ）
是社会网络中描述人际关系网一种属性，例如一个人刚认识的两个不同的朋友之间也很可能彼此
早就相识，即存在边相连。

因此在网络中用群集系数来描述节点的这种关系，定义如下：
c i =
2e i
k i （k i －1）
（7）
其中，
e i 表示在节点i 的所有k 个邻居间的边数。

一个网络的平均聚类系数为：C =＜c ＞=1
N ∑i ∈N
c i
（8）
其中，
c i 和C 在［0，1］之间，随着值的增大，网络的紧密程度就越强。

3
网络静态特征
分析
现取一包括591条公共汽车线路，涉及192个停
靠站点的城市公交网络。

为了研究方便，文中假设
［17］
：
（1）只考虑公共汽车线路，暂不考虑其他公共交通路线；不考虑公交上下行路线区别即将网络抽象成为邻接矩阵中无向图即无向网络；
（2）不考虑公共交通网络中车辆发车频次及连接两站点间的公交线路数量的不同，即不考虑网络中的连接权重问题，将网络抽象为无权网络；
（3）相同名称的停靠站点看作同一个停靠站点，不同名称的站点视为不同的停靠站点。

忽略个别停靠站点名称相同但停靠地点不同的情况。

于是，文中通过Pajek 软件画出该城市公交路网，如图3所示：
图3
某城市公交路网图
其各个公交停靠站点与周围停靠站点存在公交网络班次体现在节点的边连接上（即度数）。

该网络各停靠站点度数如图4所示：
图4
城市公交路网各节点度数
通过MATLAB 仿真，可以得知：该网络拥有的平均路径长度为3．436，聚类系数为0．0364，网络的平均
·
732·第6期黄加增等：城市公交复杂网络研究
介数为1，其中最大的节点介数为11。

其中各公交停靠站点的度分布图如图5所示。

图5城市公交路网节点分布图
显然，该城市公交路网的节点分布呈现出幂率分布。

由此可见，该城市公交路网中存在少部分交通枢纽或Hub点（中心节点）。

这很好地揭示了部分停靠站点在城市公交路网的特殊地位，反映了该停靠站点在公交网络中的重要性。

随着当下突发事件的频繁发生，大型的复杂系统中的一些关键性节点的“事故”或“失效”将引发灾难性事件，大到如“北美大停电”事故，小到经常遇见的令人头疼得交通堵塞问题等等。

因此，如何挖掘出一个复杂系统网络中的重要性节点即Hub点将对整个复杂系统网络的交通秩序管理及安全防范起到关键性的作用。

城市公交路网的Hub 点定位问题不仅有利于减少甚至避免交通事故，提高网络服务质量的作用，而且有助于提高系统的可靠性和可维护性，即降低了交通设施的总体投资。

另外，为了城市的可持续发展，需要解决一个关键性的问题就是研究城市的公交路网的可靠性和鲁棒性。

因为公交网络局部的失效会增加整个交通网络其它部分的负担，导致其它部分交通节点可能由于超载而破坏其功能，形成可怕的“连锁反应”现象。

4结束语
一个城市的公交路网作为该城市建设的重要组成部分之一，将直接关系到该城市的经济民生问题。

因此，文中基于复杂网络理论来针对某城市公交运输复杂系统进行分析研究。

结果表明城市公交路网具有显著的无标度特性，这可很好地揭示整个公交复杂系统中的重要性节点问题，为日常的加强防范及应急管理研究提供理论依据。

同时，通过该研究可为一个城市的复杂交通系统的建设提供科学性指导。

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