管理运筹学讲义 第7章网络分析资料

可行走线方式如下图所示，已知办公室之间的走线距离，应e如2 何铺设网线才能使网线总长为最短？
v2
8
v1
3
2
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4
v5
6
5 6
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6
8 v4
最短网线总长度为最小树权之和2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3+4+6+6=21
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第三节 最短路问题
最短路问题是图论中十分重要的最优化 问题之一，它作为一个经常被用到的基本工 具，可以解决生产实际中的许多问题，比如 城市中的管道铺设、线路安排、工厂布局、 设备更新等等，也可以用于解决其它的最优 化问题。
2.避圈法
从无向网络中，开始选取权数最小的一条边，再选权数为次小 的一条边；如此进行，总从剩余边中选取权数最小者，但前提 是与已经选择的边不要构成圈；如果最小权数的边不止一条， 则任选一条。
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第二节 最小树问题
二、最小树的求法
例7-1：一家企业分别要在6间办公室铺设网线接·v入3 口，网线的
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关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉(E. Euler) 在1736年发表的解决“哥尼斯堡” 七桥难题的论文。 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛 屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接（见图7.1 a），当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如 何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最 终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有成功。 为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成图7.1b 所示图形的一笔画问题。
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哥尼斯堡七桥问题
C
A
B
D 图 7.1 a
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哥尼斯堡七桥问题可简化为以下图形,其 中的四个顶点都是奇顶点
C
A
B
D
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C
A
B
D 图7.1 b
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即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形， 最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可 能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相 连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的 第一个著名问题。
图论是应用非常广泛的运筹学分支，广泛应用于控 制论、信息论、工程技术、交通运输、经济管理、 电子陆计地算A 机等各领域。对于科学研究、市场和社会 生活中的许多问题，都可以用图论的理论和方法来 解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺 设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都 可以应用陆图B 论的方法，简便、快捷地加以解决。
(1)无向图
(2)有向图
由点和边的集合所构成
由点和弧的集合所构成
• 链：无向网络中，前后相继点和边 • 路径：有向网络图中，前后相继并且
的交替序列称为一条链。
方向一致的点弧序列称为一条路径。
• 圈：闭合的链称为一个圈。
• 回路：闭合的路径称为一个回路。
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例如.该图是一个无向图G=（V，E），
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第一节 图论的概念
一、图的内涵
1.图的定义
• 图论的图与一般几何图形或代数函数图形是完全不同的 ▪ 图论中的图:由一些点和连接点的线所组成的“图形” ▪ 点和线的位置是任意的
▪ 线的曲直、长短与实际无关，代表的只是点与点之间的相互关系
• 例：表示苏州v1 、杭州v2 、上海v3 、南京v4仓储网点之间的物流运输线路关系
第7 章 网络分析
学Sub习tit要le 点
理解图论中结点、边、链、弧、路径的概念 了解树的概念、最小树的求解方法及其应用 掌握最短路的标号算法及网络选址中的应用 理解网络流的概念及其网络瓶颈的识别方法 正确理解最小费用流的调整改进思路和方法
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第7 章 网络分析
1.树的定义
无圈的连通图就是一棵树。 所谓连通图是指网络中任意两个结点之间都至少有一条链相连。
2.树的性质
[性质1] 任何树至少有一个悬挂结点。 [性质2] 树中任意两点之间有且只有一条链。 [性质3] 树中任意两个不相邻的结点之间增加一条边，则形成唯一的圈。 [性质4] 如果树的结点是m个，则边的个数为m-1个。 [性质5] 在树中任意去掉一条边，将得到一个不连通图。
A={(v1,v2),(v1,v3),(v3 ,v2)(v3 ,v4),(v2 ,v4),(v4 ,v5),
(v4 ,v6),(v5 ,v3),(v5 ,v4), (v5 ,v6),(v6 ,v7)}
v3
v5
v7
v1 v2
v6 v4
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第二节 最小树问题
一、最小树的涵义
3.最小树
把一棵树各边的权数总和，称为该树的树权。
权数总和为最小的那棵支撑树，称为最小支撑树，简称最小树。
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第二节 最小树问题
二、最小树的求法
1.破圈法
从无向网络中任选一个圈，去掉圈中权数最大的边，便破一圈； 如果最大权数的边不止一条，则任选其一去掉。如此反复操作， 直至网络中不含圈为止。此时的支撑树就是最小树。
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第三节 最短路问题
一、双标号算法
狄克斯特拉(Dijkstra)算法
路权：弧(vi, vj)的权为wij；路权是路p中各条弧权之和 最短路：在所有从vs到vt 的路p中，求一条路权最短的路 算法说明：
其中V={v1 , v2 , v3 , v4}
E={[v1 , v2],[v2 ,v1],[v2 ,v3], v1
v2
[v3 ,v4],[v1 ,v4],
[v2 ,v4], [v3 ,v3]}
v3 v4
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下图是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7}
v2·
e4
e5
e1
·
v1 e2
·v4
e3 e6
·v3
e3
e2
v2·
e5
·v4
e4
e6
e1
e3
v3 ·
e2
·v1
e5
·
石家庄经济学院v1
e1
·
v2
e4
· · v3 管理e6科学与工v4程学院
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第一节 图论的概念
一、图的内涵
2.图的分类
不带箭头的连线称为“边”，如公路运输线路；
带箭头的连线称为“弧”，如供排水的管道运输线路。