第四章运筹学运输问题

c ij x ij
i1 j1
n
x ij
a
，
i
i = 1 ，2 ，
，m
j1
m
x ij
b
，
j
j = 1 ，2 ，
，n
i1
x ij
0
对偶问题
第1节 运输问题的数学wk.baidu.com型
✓ 特征 （1）决策变量：m×n （2）约束方程：m＋n；都是等式约束 （3）目标函数：最小化
第1节 运输问题的数学模型
34
m in z 3 x11 1 1 x12 3 x13 1 0 x14 5 x34
解的类型
第1节 运输问题的数学模型
（4）约束方程组系数矩阵A
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12
x11
x12
x13
x14
x21
x22
x23
x24
x31
x32
x33
x34
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
使总运费为最少。
销售点 B1 B2 B3
加工厂
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7 4 9 3 656
销售点
加工厂
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
二表合一
第1节 运输问题的数学模型
二、运输问题的数学模型
已知有m个生产地点（简称产地）Ai(i1,2, m) 可供应某种物资，其供应量（产量）分别 为 ai(i1,2, m) ；有n个销售地点（简称销 地）Bj(j1,2, n) ，其需要量（销量）分别 为 bj(j1,2, n) ，从 A i 到 B j 运输单位物资的运 价（单位运价）为c i j ，将这些数据表示在如 下页的两个表中。问应如何调运，在满足各 销地销量的情况下，使总的运费支出最少？
加工厂
B1 B2 B3 B4
二表合一
销售点
加工厂
B1 B2 B3 B4
A1 A2 A3 销量
3 11 3 10 1928 7 4 10 5 3656
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
产量
7 4 9
第1节 运输问题的数学模型
例1：
解：设xij为第i加工厂向第j销售点的甲产品的供应量，cij表示
进行，不必写出数学模型
第2节 表上作业法
三、表上作业法的解题步骤 （一）找出初始基可行解：在产销平衡表上找出 (m+n-1)个数
字格，形成初始产销平衡表
方法
最小元素法 伏格尔法（Vogel法）
（二）求非基变量检验数：计算初始产销平衡表中空格的检验
数，判别是否达到最优解，如果已达到，停止计算；否则转
入3
方法
闭回路法 位势法（对偶变量法）
（三）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解
方法：闭回路调整法
（四）重复（二）～（三），直到求出最优解
第1节 运输问题的数学模型
产销平衡表
销地
产地
B1 B2 … Bn
A1 A2 …
Am 销量 b1 b2 … bn
单位运价表
产量
a1 a2 … am
销地
产地
B1 B2 … Bn
A1
c11 c12 … c1n
A2
c21 c22 … c2n
… ……… …
Am
cm1 cm2 … cmn
两个表合二为一
销地 产地 B1 B2 … Bn 产量
cij xij
i1 j1
x11 x12 x13 x14 7
x
2
1
x22
x23
x24
4
x
3
1
x32
x33
x34
9
x11 x21 x31 3
x1
2
x22
x32
6
x1
3
x23
x33
5
x14 x24 x34 6
xij
0，( i =1，2，3；
j =1，2，3，4 )
系数矩阵A 基变量数目
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
①A中只有数字0或1
②A的每一列只有两个非零元素1
第1节 运输问题的数学模型
（6）基变量：m＋n－1
m
n
（7）对于产销平衡的运输问题（ a i = bj）
i=1
j=1
必有可行解和最优解
第2节 表上作业法
一、表上作业法的解题思路
表上作业法的实质是单纯形法在求解运输问 题时的一种简化方法，属于单纯形法，又 称为运输单纯形法。
基可行解
最优否 是 结束
否
换基
第2节 表上作业法
二、表上作业法的特点 ✓ 表上作业法是一种迭代法 ✓ 用表上作业法求解运输问题，直接在表上
A1 c11 c12 … c1n a1 A2 c21 c22 … c2n a2 … ……… … … Am cm1 cm2 … cmn am 销量 b1 b2 … bn
第1节 运输问题的数学模型
产销平衡表
销售点 B1 B2 B3
加工厂
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7 4 9 3 656
单位运价表
销售点
第四章运筹学运输问题
第四章 运输问题
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法 第4节 应用问题举例
第1节 运输问题的数学模型
一、运输问题 运输问题属于线性规划问题，因为其约束方
程组的系数矩阵A具有特殊的结构，所以专 门介绍一种比单纯形法更简便的求解方法， 以节约计算时间和费用。
第1节 运输问题的数学模型
例1：某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的产量分别是：
A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个 销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨， B4为6吨。已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价如下表所 示。问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的前提下，
x1
2
x22
x32
6
x1
3
x23
x33
5
x14 x24 x34 6
x
ij
0，( i =1，2，3；
j =1，2，3，4 )
第1节 运输问题的数学模型
m
n
产销平衡 （ a i = bj） 运输问题的数学模型：
i=1
j=1
设xij表示从产地Ai运往销地Bj的产品数量
mn
m i n z
第i加工厂向第j销售点供应甲产品的单位运费
34
m in z 3 x11 1 1 x12 3 x13 1 0 x14 5 x34
cij xij
i1 j1
x11 x12 x13 x14 7
x
2
1
x22
x23
x24
4
x
3
1
x32
x33
x34
9
x11 x21 x31 3