80高中数学均值不等式精品PPT课件

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本节目录
知能演练轻松闯关 名师讲坛精彩呈现 考点探究 讲练互动 教材回顾夯实双基
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．均值定理 如果 a，b∈(0，＋∞)，那么a＋2 b≥ ab，当且仅当 ____a_＝__b_____时，等号成立． 上述不等式称为均值不等式，也称为基本不等式．
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2．算术平均值与几何平均值
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∵x>0，y>0，x＋y＝1≥2 xy，∴xy≤14，∴x1y≥4，3x＋ 4y≥2 1x2y≥2 48＝8 3，此法错误的原因是没有考虑 等号成立的条件，3x＝4y和 x＝y 同时成立是不可能的．所 以在不等式连续放缩的时候，要时刻注意是否在同一 条件下进行放缩，放缩时还要注意有目的性、同向性， 不要出现放缩后不能比较大小的情况．
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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 利用均值不等式证明不等式 例1 已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c.
【证明】 ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴bac＋cba≥2 bac·cba＝2c； bac＋acb≥2 bac·acb＝2b；
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cba＋acb≥2 cba·acb＝2a.
高中数学均值不等式
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考纲展示
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备考指南
本节主要考查利用均值不等式求函 数的最值．若单纯考查均值不等式， 1.了解均值不等式的证明 一般难度不大，通常出现在选择题 过程． 和填空题中；对均值不等式的考查， 2.会用均值不等式解决简 若以解答题的形式出现时，往往是 单的最大(小)值问题. 作为工具使用，用来证明不等式或 解决实际问题.
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4．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥____2_a_b___ (a，b∈R)；
(2)ab____≤____ (a＋2 b)2(a，b∈R)；
a2＋b2 ≥ (3) 2 ______
(a＋2 b)2(a，b∈R)；
(4)ba＋ab≥____2___ (a，b 同号且不为零)． 思考探究
上述四个不等式等号成立的条件是什么？
时取等号．
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3．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋abb≤2；③x2＋x2＋1 1 ≥1.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B.①②不正确，③正确，x2＋x2＋1 1＝(x2＋1)
＋x2＋1 1－1≥2－1＝1.
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4．已知 t＞0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为 ________. 解析：∵t＞0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1 时取等号． 答案：－2 5．长为24 cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大 面积为________． 答案：36 cm2
求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，
∴1＋1＋1＝a＋b＋c＋a＋b＋c＋a＋b＋c
abc a
b
c
＝3＋ba＋ac＋ab＋cb＋ac＋bc
＝3＋ab＋ab＋ac＋ac ＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
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考点 2 利用均值不等式求最值 例2 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值； (2)求a－4 2＋a 的取值范围； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值． 【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
以上三式相加得：2bac＋cba＋acb≥2(a＋b＋c)，
即bac＋cba＋acb≥a＋b＋c. 【名师点评】 利用均值不等式证明不等式是综合法证 明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题 的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
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跟踪训练 1．已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1.
提示：满足a＝b.
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课前热身
1．“a>0 且 b>0”是“a＋2 b≥ ab”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
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2．(教材习题改编)函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为(
)
A．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(2，＋∞) 解析：选 C.∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1
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(2)显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0，
∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2≥2
a－4 2·a－2＋2＝6，
当且仅当a－4 2＝a－2，即 a＝4 时取等号，当 a<2 时，a－2<0，
∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2＝－[2－4 a＋(2－a)]＋2≤－2
2－4 a·2－a＋2＝－2，当且仅当2－4 a＝2－a，即 a＝0 时
取等号，∴a－4 2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
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(3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)
＝7＋3xy＋4yx≥7＋2 3xy·4yx＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx，即 2x＝ 3y 时等号成立，
∴3＋4的最小值为 xy
7＋4
3.
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均值为_____2_______，
几何平均值为____a_b_____，基本不等式可叙述为：两个 正实数的算术平均值___大__于__或__等__于___它的几何平均值．
3．利用均值定理求最大、最小值 (1)两个正数的积为__常__数____时，它们的和有_最__小__值__； (2)两个正数的和为__常__数___时，它们的积有_最__大__值___ (简记为：和定积最大，积定和最小)．
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【误区警示】 对于第(2)小题中变形为 a－2＋a－4 2＋2 后，易忽视了 a－2 的符号不定，从而得原式≥6 这样 的错误结论，同时当 a－2<0 时要注意变号；第(3)小题 要求根据条件求最值，如何合理利用条件 x＋y＝1 是 解答本题的关键，方法是在式子上乘以(x＋y)． 利用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一 正、二定、三相等”，本题常见的误解为：