信号与系统第四章-连续信号复频域分析

4.1.4 变换域之间的内在联系
1. 傅里叶级数： fT(t) Fnejn0t
n
fT(t)Fn
单元信号: ejn0t
j
角频率: n 0（在虚轴上离散取值）
T
0
复振幅：
Fn
1 T
2 f(t)ejn0tdt
T
2
（可以用复平面虚轴上的离散频谱表示）
实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦 分量之和。
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连续信号与系统的复频域分析概述
傅里叶变换（频域）分析法
– 在信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频 率响应、波形失真、取样、滤波等
– 要求信号满足狄里赫勒条件 – 只能求零状态响应 – 反变换有时不太容易
拉普拉斯变换（复频域）分析法
故 《f信(t号) 与2 系1 统》 SF IG( NA LSj AN)e D( S YSj TE)Mtd SZB
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F(s) f(t)estdt 0
f(t)21 j
F(s)esd t
弦分量 F() dcost之和。
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3. 拉普拉斯变换
f(t)
1
F(s)estds
2j
f(t)F(s)
单元信号: e s t
复频率: sj（在 s 右半平面上连续取值） j
复系数： F ( s )ds （为无穷小量）
2j
象函数：F(s) f(t)estdt 0
(3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取
值范围为复平面( S 平面)的一部分。
当 >0 时，
j S 平面
f(t)e- t 绝对收敛。
0
(4) 任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换 F(s) 中一
定《没信有号冲与激系函统数》。SIGNALS AND SYSTEMS ZB
SIGNALS AND SYSTEMS
信号与系统
第四章 连续信号与系统的复频域分析
南京邮电大学 信号分析与信息处理教学中心
2006.1
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
第四章 连续信号与系统的复频域分析
连续信号与系统的复频域分析概述 4.1 拉普拉斯变换 4.2 典型信号的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯反变换 4.6 连续系统的复频域分析 4.7 系统函数 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性 4.9 连续时间系统的稳定性 本章要点
则此类信号不存在拉氏变换。
凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为指数 阶函数。指数阶函数均可以用乘以 e- t 的方法将其分散 性压下去。
结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。
单边拉氏变换的收敛域是：复平面( s 平面)内，
Re(s) =σ＞σ0 的区域，比较容易确定。一般情况下，不
再加注其收敛域。
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2. 傅里叶变换
f(t)
1
F()ejtd
2
f(t)F()
单元信号: ejt
角频率: （在虚轴上连续取值）
j
复振幅： F ( )d （为无穷小量）
2
0
频谱密度：F() f(t)ejtdt
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示）
实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
t
( 0)
则收敛条件 为 0
满足上述条件的最低限度的 值，称为 0 (绝对收
敛横坐标)。
如：有始有终的能量信号 0 = -
《信功号率与信系号统》0 S=IG0 NALS AND SYSTEMS ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 = 比指数信号增长的更快的信号：如et2或tt 找不到0 ，
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。
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取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F[f(t)et] f(t)etejtd t f(t)e(j)tdt
它是 j的函数，可以表示成
Fj f(t)e(j)tdt
其傅里叶反变换为
f(t)et2 1 F(j)ejtd
j
s
t0
正变换的积分下限用 0- 的目的是：把 t=0 时出现的 冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可 以直接引用已知的初始状态 f(0-)。
但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换：
（1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正变换 F(s) 是一样的。
（2）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得 到 t < 0 时的 f (t) 表达式。
4.1.3 （单边）拉氏变换的收敛域
信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的
条件。是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与 的相对关 系。通常把使 f (t)e- t 满足绝对可积条件的 值的范围
称为拉氏变换的收敛域。
若 f(t)乘以收敛 et后 因 ,存 子在下列关
lifm (t)e t 0
– 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
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4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
信号不满足绝对可积条件的原因是：
当 t或 t 时f， (t)不趋于零。
解决的方法：
一. 引进广义函数(傅氏变换) 二. 拉氏变换(无需引进广义函数)
若 f(t) 不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换 域中的函数，人为地用一个实指数函数e- t 去乘 f (t) 。
只要 取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数)
都可以满足绝对可积的条件。
例如，常数 1 和 (t) 的（单边）拉普拉斯变换是一 样的。《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
单边拉氏变换的优点：
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(1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。
(2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需
要了解 t=0- 时的情况就可以了。