康托尔的集合论
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• 无穷小量取值大小
——源于微积分工 具的使用。微积分在很多疑难问题运用中 及其简单，但是不论是牛顿，还是莱布尼 兹所创立的微积分理论都不是严格的。对 于无穷小量是不是0的看法引发了数学史上 第二次危机。
第三次数学危机
• 悖论的产生。在康托尔的集合论被公认没
多久，1903年，一个震惊数学界的消息传 出：集合论存在漏洞。这就是英国数学家 罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖
理发师悖论
三次数学危机
• 第一次数学危机：
无理数的发现——第一次数学危机 。希帕 索斯提出一个问题：边长为1的正方形其对 角线长度是多少？他导致了数学史上第一 个无理数 2 的诞生。掀起当时数学界上一 场巨大风暴。直接动摇毕达哥拉斯学派的 数学信仰。
第二次数学危机
集合论受排挤
如同每一个新事物的出现一样，集合 论一经问世就遭到许多数学家及其他学者 的激烈反对。当时的权威数学家克罗内克 (Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想， 时间达整整十年之久，法国数学大家庞加 莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当 作一种疾病。在猛烈的攻击下与过度的用 脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈 论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次 陷于精神崩溃。然而乌云遮不住太阳，经 历二十余年后，集合论最终获得了世界公 认。
克罗内克AND庞加莱
• 克罗内克，德国数学
家。对代数和代数数 论，特别是椭圆函数 理论有突出贡献。他 的主要贡献在于努力 统一数论、代数学和 分析学的研究。克罗 内克的数学观对后世 有极大影响。
• 亨利· 庞加莱，法国数
学家、天体力学家、 数学物理学家、科学 哲学家。他被公认是 19世纪后四分之一和 二十世纪初的领袖数 学家，是对于数学和 它的应用具有全面知 识的最后一个人。
康托尔与集合论
主要内容
• 简介 • 集合论诞生历程 • 三次数学危机 • 集合论趋于完善 • 启发
简介
格奥尔格· 康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.31918.1.6）德国数学家，19世纪数学伟 大成就之一——集合论的创立人。生于 俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。 父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身 艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰 克福。先在一所中学，后在威斯巴登的 一所大学预科学校学习。康托尔先后就 学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克 福大学和柏林大学，主要学习哲学、数 学和物理。
罗素
罗素（Russell），英国 哲学家、数学家、逻辑学 家、历史学家，无神论或 者不可知论者，也是上世 纪西方最著名、影响最大 的学者和和平主义社会活 动家之一，1950年诺贝 尔文学奖得主，同时被认 为是与弗雷格、维特根斯 坦和怀特海一同创建了分 析哲学。
罗素悖论
论。 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的： “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城 所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。 我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝， 自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这 位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓 起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他 不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他 就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于 “给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论号称“天衣无缝”、“绝对严密”的 数学陷入了自相矛盾之中。从此整个数学的基础被动 摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机。
格奥尔格· 康托尔
集合 集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一 个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有 领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那 么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见 它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论 的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之 一。
格奥尔格· 康托尔
个Hale Waihona Puke Baidu事迹
康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读 数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard， 1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass， Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内 克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866 年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般 整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。 毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论 的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913）的 初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数 列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。 由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症， 虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。 1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病 院去世。 康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方 面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪 末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建 立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理 哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长， 1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
启发
无论是康托尔，还是牛顿或者莱布尼兹， 他们所创立的理论或者定理并非开始就趋 于完善的。都是经过后来无数专业人士不 断实验和改正后才形成了现在的学科。质 变的发生必然需要量变达到一定程度才能 发生，进而说明无论是数学或者其他学科 都是如此，前方并不一帆风顺，只有那些 坚持不懈，勇于挑战的人才会走向最后的 成功！
集合论诞生历程
集合论研究的开端：十九世纪初，许多迫切 问题得到解决后，出现了一场重建数学基础 的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探 讨了前人从未碰过的实数点集。
1874年，德国数学家康托尔在 著名的《克雷尔数学杂志》上发表 了关于无穷集合论的第一章革命性 文章。从1874年到1884年，康托尔 的一系列关于集合的文章，奠定了 集合论的基础。他对集合所下的定 义是：把若干确定的、有区别的 （不论是具体的或抽象的）事物合 并起来，看作一个整体，其中各事 物称为该集合的元素。
集合论的漏洞
二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观 地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以 建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。 我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而这种自 得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素(Russell)就很怀疑 数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于1902年找到了 一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。不久，集合 论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。
公理化集合论的诞生
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。 1908年，德国数学家策梅罗(E.Zermelo)提出公理化集合论，试 图把集合论公理化的方法来消除悖论。他认为悖论的出现是由于 康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混 的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为 显然。策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS公理系统。从 此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免 了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。 与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集 合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素 集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满 地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数 学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利！
——源于微积分工 具的使用。微积分在很多疑难问题运用中 及其简单，但是不论是牛顿，还是莱布尼 兹所创立的微积分理论都不是严格的。对 于无穷小量是不是0的看法引发了数学史上 第二次危机。
第三次数学危机
• 悖论的产生。在康托尔的集合论被公认没
多久，1903年，一个震惊数学界的消息传 出：集合论存在漏洞。这就是英国数学家 罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖
理发师悖论
三次数学危机
• 第一次数学危机：
无理数的发现——第一次数学危机 。希帕 索斯提出一个问题：边长为1的正方形其对 角线长度是多少？他导致了数学史上第一 个无理数 2 的诞生。掀起当时数学界上一 场巨大风暴。直接动摇毕达哥拉斯学派的 数学信仰。
第二次数学危机
集合论受排挤
如同每一个新事物的出现一样，集合 论一经问世就遭到许多数学家及其他学者 的激烈反对。当时的权威数学家克罗内克 (Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想， 时间达整整十年之久，法国数学大家庞加 莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当 作一种疾病。在猛烈的攻击下与过度的用 脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈 论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次 陷于精神崩溃。然而乌云遮不住太阳，经 历二十余年后，集合论最终获得了世界公 认。
克罗内克AND庞加莱
• 克罗内克，德国数学
家。对代数和代数数 论，特别是椭圆函数 理论有突出贡献。他 的主要贡献在于努力 统一数论、代数学和 分析学的研究。克罗 内克的数学观对后世 有极大影响。
• 亨利· 庞加莱，法国数
学家、天体力学家、 数学物理学家、科学 哲学家。他被公认是 19世纪后四分之一和 二十世纪初的领袖数 学家，是对于数学和 它的应用具有全面知 识的最后一个人。
康托尔与集合论
主要内容
• 简介 • 集合论诞生历程 • 三次数学危机 • 集合论趋于完善 • 启发
简介
格奥尔格· 康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.31918.1.6）德国数学家，19世纪数学伟 大成就之一——集合论的创立人。生于 俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。 父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身 艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰 克福。先在一所中学，后在威斯巴登的 一所大学预科学校学习。康托尔先后就 学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克 福大学和柏林大学，主要学习哲学、数 学和物理。
罗素
罗素（Russell），英国 哲学家、数学家、逻辑学 家、历史学家，无神论或 者不可知论者，也是上世 纪西方最著名、影响最大 的学者和和平主义社会活 动家之一，1950年诺贝 尔文学奖得主，同时被认 为是与弗雷格、维特根斯 坦和怀特海一同创建了分 析哲学。
罗素悖论
论。 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的： “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城 所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。 我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝， 自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这 位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓 起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他 不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他 就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于 “给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论号称“天衣无缝”、“绝对严密”的 数学陷入了自相矛盾之中。从此整个数学的基础被动 摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机。
格奥尔格· 康托尔
集合 集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一 个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有 领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那 么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见 它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论 的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之 一。
格奥尔格· 康托尔
个Hale Waihona Puke Baidu事迹
康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读 数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard， 1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass， Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内 克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866 年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般 整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。 毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论 的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913）的 初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数 列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。 由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症， 虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。 1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病 院去世。 康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方 面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪 末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建 立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理 哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长， 1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
启发
无论是康托尔，还是牛顿或者莱布尼兹， 他们所创立的理论或者定理并非开始就趋 于完善的。都是经过后来无数专业人士不 断实验和改正后才形成了现在的学科。质 变的发生必然需要量变达到一定程度才能 发生，进而说明无论是数学或者其他学科 都是如此，前方并不一帆风顺，只有那些 坚持不懈，勇于挑战的人才会走向最后的 成功！
集合论诞生历程
集合论研究的开端：十九世纪初，许多迫切 问题得到解决后，出现了一场重建数学基础 的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探 讨了前人从未碰过的实数点集。
1874年，德国数学家康托尔在 著名的《克雷尔数学杂志》上发表 了关于无穷集合论的第一章革命性 文章。从1874年到1884年，康托尔 的一系列关于集合的文章，奠定了 集合论的基础。他对集合所下的定 义是：把若干确定的、有区别的 （不论是具体的或抽象的）事物合 并起来，看作一个整体，其中各事 物称为该集合的元素。
集合论的漏洞
二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观 地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以 建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。 我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而这种自 得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素(Russell)就很怀疑 数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于1902年找到了 一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。不久，集合 论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。
公理化集合论的诞生
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。 1908年，德国数学家策梅罗(E.Zermelo)提出公理化集合论，试 图把集合论公理化的方法来消除悖论。他认为悖论的出现是由于 康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混 的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为 显然。策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS公理系统。从 此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免 了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。 与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集 合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素 集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满 地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数 学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利！