圆柱滚子轴承载荷分布的理论研究

( 2)
( 2) 第 k 个切片上的接触区域半宽 ak ak = πE 3 lk
4 pk R 3 k
显然 , 由于影响系数 Gkl 是切片 l 所对应接触 区域半宽 al 的函数 , 因而在确定 Gkl 之前应先确 定 al 。为此 , 可以利用各单元切片的轴向和滚动 方向的局部曲率 , 根据点接触的经典计算方法确 定出接触区域宽度 2 al 和峰值接触压力 plmax之间 的关系 ; 然后利用 ( 6) 式 , 对 N 个半椭圆分布压力 切片中每个单元计算出 N 个影响系数 。
NE
W k = K1
l =1
∑G p max
kl l
( 5)
式中 K1
图1 接触单元划分示意图
Gkl
材料弹性常数 , K1 = 1/ 4 E 3 影响函数
Gkl 是作用于切片 l 上的单位均布法向力引
式中 f k
加载前两接触体上对应于第 k 个切 片沿 y 轴几何中心 y kc 处的原始间 隙 ( 即表面函数值 ) f k = f ( 0 , y kc ) +
I O δ i =δ i = δ i
至此 , 可以得出有限长线弹性无摩擦接触问 题一维简化处理数值解法的主导非线性代数方程 组如下 :
N
K1
N
l =1
∑G p max
kl l l l l
=δ - f k ( k = 1 , …, N ) = Q ( p1 ≥0 , l = 1 , …, N ) ( 8)
式中 F1
由积分求得的函数
[8 ]
F1 ( x , y ) = x ln ( y + y 1n ( x +
2 2 x + y ) + 2 2 x + y )
y
2. 1 单个切片上接触参数之间的关系
切片 l 沿 y 轴几何中心 y lc相对于单 元 k 沿 y 轴几何中心 y kc的坐标
y = y lc - y kc
W k = δ - f k ( k = 1 , …, N ) ( 1)
= 式中 E 3
3 k
2R3 k
E3
pkmax
( 3)
两接触体的综合弹性模量 R 两接触体在第 k 个切片处的综合 曲率半径 ( 3) 第 k 个切片上的载荷 Pk ( 4) Pk = πak bk pkmax
在此基础上 , 第 k 个切片上的接触压力分布 可以等效成一个在长 2 bk 、 宽 2 ak 矩形区域上的均 匀压力分布 ( 大小为 Pmk ) 。这说明只要确定了沿 接触区域长度方向 ( y 轴) 上的最大接触压力分布
I O δ ψi i +δ i = δ rcos
ur
2wenku.baidu.com
( 1 - cosψ i)
( 9)
δ 式中 r
ur
轴承内圈滚道相对于外圈滚道在 径向外载荷方向上的位移量 轴承系统的径向间隙 ( 直径值) 第 i 个滚子的位置角 ( 以径向外载 荷作用线为基准)
ψi
表1 三种不同算法所得主要参数的对比
算 法 常规方法 Harris 切片法 改进切片法 承载滚子数/ 个
=
ur 1 δ ψi ( 1 - cosψ rcos i) 2 2
( 10)
l =1
πa b p max ∑
( 8) 式共有 N + 1 个方程 , 未知量为 plmax和 δ 共 N + 1 个 , 原则上可以求解 。由于未对 x 方向 划分单元 , 因此主导非线性代数方程组的阶数约 为相应 Ahmadi 法的 1/ N 。
仔细分析经典 Hertz 线接触理论不难看出 , 可 以根据该理论来计算与每个切片相关的接触参 数 , 具体如下 :
( 1) 第 k 个切片上峰值接触压力 pkmax 与平均 bl al
切片 l 的轴向尺寸之半 切片 l 所对应的接触区域半宽
接触压力 pmk 之间的关系
pmk =
π p 4 kmax
9 9 9
) 承载区域/ (°
最大滚动体载菏/ N
14 112 . 356 14 139 . 740 14 088 . 046
与牙爪轴颈的峰值 接触应力/ MPa
另一方面 , 可以采用上述简化数值方法在适 当条件下求解出弹性趋近量 δ i , 具体过程无需赘 述 , 仅给出整个数值过程的流程如图 2 所示 。 3. 2 工程应用 上述 算 法 在 作 者 所 开 发 的 非 标 滚 动 轴 承 CAD 系统中得以成功体现 。这里结合油气钻井 用牙轮钻头滚动轴承的具体情况进行分析 , 考虑 直素线圆柱滚子的计算参数同文献 [ 9 ] , 将滚子划 分为 40 个切片 。表 1 给出了常规方法 、 Harris 切 片法以及本文算法所得几种参数的对比 , 可以看 出 , 三种方法中由 Harris 切片法计算所得的轴 、 孔 中心线相对径向位移 δ r 相差较大 , 而改进切片法 计算出的峰值接触应力则相差较大 。图 3 给出了 各承载滚子与牙爪轴颈沿轴线方向的接触应力分 布 , 可以看出 , 采用本文的算法直观揭示了牙轮钻 头滚动轴承中采用直素线圆柱滚子时所存在的 “边缘效应” 问题 , 而且滚子的承载量越大 “ , 边缘 效应” 越显著 ; 若将常规分析方法在本图中加以显 示则为 5 条直线段 ; Harris 法因未能考虑各切片之 间的联系其结果也是 5 条直线段 。三种不同算法 的对比结果列于表 1 。 为了本文的系统起见 , 图 4 给出了用一维简
3 圆柱滚子轴承载荷分布的计算
3. 1 基本思路
在对有限长线接触问题数值解答进行一维简 化处理之后 , 就可以将其与现有的轴承载荷分布 理论结合起来 。这里仍然假定套圈的刚度为无穷 大 , 除局部接触变形外套圈不会产生其他形式的 偏离其初始几何形状的整体弹性变形 , 则内 、 外套 圈的相对位移情况可以表示为
《轴承》 2001. №. 6
圆柱滚子轴承载荷分布的理论研究
北 京 石 油 化 工 学 院 ( 北京市 102600) 陈家庆 周 海 中国石油天然气销售公司 ( 北京市 100724) 吴世勤 研究载荷分布的主要目的在于弄清轴承系统 中的变形与承载情况 , 轴承的变形分为内部接触 变形和由此引起的内 、 外套圈的相对弹性位移 ; 承 载情况则包括承载滚子数目 、 承载量大小等 , 尤其 是最大滚动体载荷 , 因为峰值接触应力直接影响 着轴承系统的疲劳寿命 , 是确定轴承使用寿命和 可靠性的关键因素 。本文旨在围绕滚动轴承的载 荷分布问题进行理论阐述和相关探讨 。 陈家庆 男 , 31 岁 , 工学博士 , 副教授 。现从 事表面接触力学 、 现代机 械设计等方面的教学与 科研工作 , 公开发表学术 论文 30 多篇 , 第二次为 本刊撰稿 。 处理则计算量相当大 , 既不经济 , 也不现实 。 马家驹在国内率先介绍了 Harris T A 在圆柱 [3 ] 滚子轴承载荷分布分析中采用的 “切片法” ,该 方法将滚子沿轴线长度划分为若干个互不相关的 薄片 ,每一片的接触载荷由 Hertz 线接触公式直接 给出 ( Harris 在其第三版专著中仍有介绍 ) 。虽然 由于因未能考虑各个切片之间的相互影响而难以 反映出不同表面轮廓滚子对轴承载荷分布的影 响 ,但它无疑为两类问题的有机结合提供了一种 良好思路 ,即只要设法将有限长线接触问题二维 数值解加以简化 , 就完全可以在微型机上来实现 轴承整体变形分析与单个滚子接触状态数值解的 有机结合 。基于这种想法 ,20 世纪 80 年代末期 , 罗继伟博士便对该问题进行了卓有成效的研 究 [4 ] ; 另一方面 ,美国 Timken 公司的 Hoeprich M R 对循环载荷作用下的滚子凸度设计问题进行了一 系列研究 [5 ,6 ] ,并就相关成果申请了专利 , 其中在 计算滚子与滚道的接触应力分布时也采用了一维 简化处理方法 。本文借鉴 Hoeprich M R 的思路来 计算圆柱滚子轴承的载荷分布 。
・9 ・
《轴承》 2001. №. 6
作用于滚子的总载荷 P 可以表示为
N
I O δ δ i、 i
第 i 个滚子与内 、 外套圈滚道间的
P = =
l =1 N
∑P
l
l =1
πa b p max ∑
l l l
( 7)
弹性趋近量 由于滚子的重量与其所承受的载荷相比为小 量 , 且在一般工作转速下离心力也可忽略不计 , 因 而滚子与内 、 外套圈滚道之间有完全对称的接触 应力分布 , 其弹性趋近量也应彼此相等 , 于是滚子 与单一套圈滚道间的弹性趋近量 δ i 可以表示为
pmax ( y ) , 沿横向的接触压力分布和接触区域宽度
也就随之而定 。 2. 2 接触系统方程组的形成 问题的关键在于如何计算切片 k 处两接触 体的总弹性变形量 W k , 可以借助 Boussinesq 力 位移关系式 , 利用迭加法将所有 N 个切片上峰值 接触压力 plmax ( l = 1 , …, N ) 在切片 k 上所引起的 弹性变形迭加起来确定 , 即
f 2 ( 0 , y kc )
起切片 k 几何中心的变形量 K1 , 可根据如下公式 来计算 :
Gkl = F1 ( a l , y + bl ) + F1 ( a l , y - bl ) F1 ( a l , y + b1) - F1 ( a l , y - bl ) ( 6)
δ
Wk
载荷作用下两弹性体之间的弹性趋 近量 两接触体上对应于第 k 个切片沿 y 轴几何中心 y kc处的总弹性变形量
・8 ・
2 有限长线弹性接触问题数值解的
一维简化处理
理论分析以及有限长线弹性接触问题二维数 值解的结果都充分表明 , 尽管滚子在其轴线端部 附近会出现 “边缘效应” , 而且不同数值方法对它 的揭示程度也略有不同 , 但在接触区域的宽度方 向接触应力的 Hertz 型半椭圆型分布准确成立 — 这便是一维简化处理的基本认识前提 。 与 Ahmadi 等人将可能接触区域划分成若干
《轴承》 2001. №. 6
个矩形接触单元不同[ 7 ] , 将可能接触区域沿长度 方向 ( y 轴 ) 用轴截面的形式均匀划分为 N 个切 片 ; 若假定每个切片上的压力沿接触宽度方向为 半椭圆型分布而沿接触长度方向不变 ( 图 1 所 示) , 则当每个切片轴向尺寸为 l k ( l k = 2 bk ) 、 接触 区域宽度为 2 ak 、 其上峰值接触压力为 pkmax ( k = 1 , …, N ) 时 , 每个切片沿接触宽度方向的接触压 力分布为 p ( x ) k = pkmax 1 - ( x/ ak ) 2 ( - ak ≤x ≤ a k ) 。同时在可能接触区域内可将弹性变形方程 简写为
1 载荷分布的理论研究现状
滚动轴承载荷分布的理论研究可分为三大 类 ,即基于 Hertz 接触理论的经典分析法 、 古典数 值法和有限元 、 边界元等现代数值法 。其中现代 数值法因其需要大型商用软件 , 对于多数轴承工 作者而言尚有一定距离 。经典分析法假定套圈的 刚度为无穷大 , 除局部接触变形外套圈不会产生 其他形式的偏离其初始几何形状的整体弹性变 形 , 于是内 、 外套圈的相对位移情况变得非常简 单 ; 正因其所得结论简单直观 , 便于设计应用 , 因 而迄今为止仍然使用最多 , 同时许多研究者在此 基础上也进行了一些改进推广工作[1 ] 。但 Hertz 弹性接触理论的一系列假设与滚动轴承的实际情 况并不完全相符 , 该理论在处理线接触问题时有 两个难点 : 首先是如何计算两个接触体的弹性趋 近量 ; 其次是对实际存在的有限长线接触问题如 何考虑 “边缘效应” 。 从另一方面来看 , 研究滚子与滚道的局部接 触即凸度设计已经得到了许多轴承工作者的高度 重视 [ 2 ] 。显然 , 如果能从滚动轴承整体变形分析 与单个滚子接触状态数值解相结合来分析圆柱滚 子轴承是一种较好的思路 , 这样不仅能直接反映 出不同表面轮廓滚子对载荷分布的影响 , 而且能 直接反映出各个滚子在轴承中的接触应力变化情 况 。对于单个滚子与套圈滚道的接触 , 目前通用 的有限长线接触问题二维数值解已经可以对其在 各种复杂接触条件下获得正确解答 ; 但由于轴承 有若干个滚子 , 如果对每一个滚子都这样来进行