奥数四年级-第九章 数论与组合
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第九章 四年级－数论与组合
9-1 数的整除（一）
常见数的整除特征：
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个数各位数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
结论： 桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～n根。规定谁取走最后一根火柴谁获 胜。 如果双方都采用最佳方法， 甲先取， 那么谁有必胜策略？
⑴ 若m÷ (1＋ n)＝ p；则乙有必胜策略。甲取几根，乙就取(n＋ 1)减几根。 ⑵ 若m÷ (1＋ n)＝ p……r；则甲有必胜策略。甲先取 r 根，然后乙取几根，甲就取 (n＋
1)减几根。
9-11 游戏与对策（二）
相似案例：甲、乙两人在1×100（100个格子）的长纸条上，从左向右移动一枚棋子 （这枚棋子在第一格上）。移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移动 最后一格者为输。甲有无获胜的策略？
解：甲先移两格，以后设乙移a格（1≤a≤3），甲便移4－a格，甲可获胜。
例6、一个售货员要在一排货架上摆放六本不同的杂志：M、O、P、S、T、V。货架上的六个位置从左到 右依次编号为1至6，已知杂志的摆放服从下列条件：
1号位置上摆放P或T； 6号位置上摆放S或T； M和O必须放在相邻的位置上；V和T必须放在相邻的位置。 回答下列问题(均为单项选择)： ⑴如果P放在3号位置，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．S放在5号位置 D．T放在6号位置 E．V放在2号位置 ⑵如果O和T放在了相邻的位置上，那么T可以放在几号位置？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．6 ⑶下列哪个选项所描述的情形是可以出现的？ A．M放在4号位置且P放在5号位置 B．P放在4号位置且V放在5号位置 C．S放在2号位置且P放在3号位 置 D．P放在2号位置 E．S放在5号位置 3 ⑷如果V放在4号位置，那么T所在位置的号码一定比哪本杂志所在位置的号码小 1？ A．M B．O C．P D．S E．V ⑸如果S和V放在了相邻的位置上，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．P放在1号位置 D．S放在6号位置 E．T放在6号位置
例9、若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除?请说明理由．
9-6 容斥原理（一） 包含与排除问题
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁 做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
二、关联推演法
例2、某宿舍有甲、乙、丙三人，一个出生在北京市，一个出生在上海市，一个出生在广州市，他们 所学的专业，一个是金融，一个是管理，一个是外语。 已知： ①乙不是学外语的。 ②乙不出生在广州市。 ③丙不出生在北京市。 ④学习金融的不出生在上海市。 ⑤学习外语的出生在北京市。 根据上述条件，推出甲所学的专业是什么？
一个数各位数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那 么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除， 那么这个数能被7、11或13整除.
例1、在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能被9、25和8整除。
例8、在 1 至 100 的自然数中，既不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5 整除的数有多少个？
9-10 游戏与对策（一）
例1、甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正 好使和达到88，谁就获胜。甲欲取胜有何策略？
解：甲欲获胜先报7，此后乙若报a（1≤a≤8）,甲就报9－a，如此下去甲 必获胜。 也就是说：先报的第一次报到7,以后先报者根据对方报的数再报 “凑够9”的数，这样先报者就先报到88了。
三、列表法
例3、甲、乙、丙、丁四个人中有教师、医生、律师、警察各一名，已知： ⑴ 教师不知道甲的职业； ⑵ 医生曾给乙治过病(需要见面)； ⑶ 律师是丙的法律顾问(需要见面)； ⑷ 丁不是律师； ⑸ 乙和丙从未见过面。 根据以上条件判断 甲的职业是 ？乙的职业是 ？
9-14 逻辑推理（二）
例4、有这样三个的职业人，他们分别姓李、蒋和刘，他们每人身兼两职，三个人的六种职业是作 家、音乐家、美术家、话剧演员、诗人和工人，同时还知道以下的事实： ⑴ 音乐家以前对工人谈论过对“古典音乐”的欣赏。 ⑵ 音乐家出国访问时，美术家和李曾去送行。 ⑶ 工人的爱人是作家的妹妹。 ⑷ 作家和诗人曾经在一起探讨“百花齐放”的问题； ⑸ 美术家曾与姓蒋的看过电影； ⑹ 姓刘的善下棋，姓蒋的和那作家跟他对弈时，屡战屡败。 请问他们的职业是什么？
例3、用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，把绳子 三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，绳长为多少米？
42
例4、小黑在玩折绳游戏，他先将一根绳系成一个圈，然后对折，对折，在从对折后的中间处剪开， 这根线绳被剪成了多少段？
直线交点问题
9-16 操作问题（二）
例5、有4条直线两两相交，最多有几个交点？6条呢？100 条呢？
例3、在1到100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
三个量重叠的容斥原理：A+B+C－AB－AC－BC+ABC
大家不必拘泥年级，按照自己所掌 握的普通数学课本选择相关章节听
讲ห้องสมุดไป่ตู้谢谢！
中年级组（三、四年级）高年级组（五、六年级）
9-8 容斥原理（三）
例4、2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1，2，…，2006．将编 号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编 号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为几盏？
例6、一根 101 厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3 厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多 少段？
例7、网校共 130 名老师，其中 70 人参加了歌唱小组， 80 人参加了舞蹈小组， 60人 参加了模特小组，至少参加两个小组的有 60 人，参加了三个小组的有 30人，那么网校 老师有多少人没有参加小组？
四、假设法
例5、在老北京的一个胡同的大杂院里，住着 4 户人家，巧合的是每家都有一对双 胞胎女孩。这四对双胞胎中，姐姐分别是甲、乙、丙、丁，妹妹分别是 a、 b、 c、 d。 一天，一对外国游人夫妇来到这个大杂院里，看到她们 8 个，忍 不住问： “你们谁和谁是一家的啊？ ” 乙说： “丙的妹妹是 d。 ” 丙说： “丁的妹妹不是 c。 ” 甲说： “乙的妹妹不是 a。 ” 丁说： “他们三个人中只有 d 的姐姐说的是事实。 ” 如果丁的话是真话，你能猜出谁和谁是双胞胎吗？
4735800
9-2 数的整除（二）
例2、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
试除法更加高效！
例3、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个 数值尽可能的小。
9-3 数的整除（三）
整除基本性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b， 那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b， 那么c∣a． 性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a， c∣a． 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘 积整除． 即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
两个量重叠的容斥原理：A+B－AB
解题钥匙：文氏图
例1、有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。 那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.
9-7 容斥原理（二）
例2、47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的 21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？
例4、已知四十一位数5 …… 5□99 …… 9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内 的数字是多少？
9-4 数的整除（四） 例5、已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九 位数是多少？
被99整除的数的特征： 是把多位数从个位开始两位一段，所有的数段和能否被99整除
例5、把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移）， 一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？
一、利用矛盾关系
9-13 逻辑推理（一）
例1、某仓库失窃，四个保管员因涉嫌而被传讯。四人的供述如下： 甲：我们四人都没作案； 乙：我们中有人作案； 丙：乙和丁至少有一人没作案； 丁：我没作案。 如果四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话。 请判断谁说真话。
1
2
3
4
5
6
9-15 操作问题（一）
绳子对折问题
（1）对折剪绳
一条绳子对折n次，剪M刀，可分成M×2n＋1段
例1、一根绳子对折三次后，从中剪断，共剪成几段绳？ 例2、将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳 子被剪成几段?
（2）折n折 折完之后共有n段，每段长度为1/n。
例6、由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多 少？
例7、11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数 的平均数是多少？
9-5 数的整除（五）
例8、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的 同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留 下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同 学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______
平面上，n条直线最多有1＋2＋3＋··· ···＋（n－1）个交点
分割长方形
例3、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙两个轮流在任一箱中任意取球，规定 取得最后一个球的为胜。甲先取，他应该如何取才能获胜？
解：甲先从108个箱子里取出45个，此后乙从任意一箱中取a个，甲便从另一箱 中也取a个，甲一定获胜。
9-12 游戏与对策（三）
例4、在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戏。由甲开 始，二人交替地移动这粒石子。每次只能向上、向右或向右上方移动一格。谁把石子移到右 上角谁胜。问甲要取胜的策略是什么？
例2、取火柴问题 （1）桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁 获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （2）桌子上放着 20根火柴， 甲、 乙二人轮流每次取走 1～2根。 规定谁取走最后一根 火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （3）桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁 输。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
例5、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中 有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人。而 手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两 种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
9-9 容斥原理（四）
9-1 数的整除（一）
常见数的整除特征：
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个数各位数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
结论： 桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～n根。规定谁取走最后一根火柴谁获 胜。 如果双方都采用最佳方法， 甲先取， 那么谁有必胜策略？
⑴ 若m÷ (1＋ n)＝ p；则乙有必胜策略。甲取几根，乙就取(n＋ 1)减几根。 ⑵ 若m÷ (1＋ n)＝ p……r；则甲有必胜策略。甲先取 r 根，然后乙取几根，甲就取 (n＋
1)减几根。
9-11 游戏与对策（二）
相似案例：甲、乙两人在1×100（100个格子）的长纸条上，从左向右移动一枚棋子 （这枚棋子在第一格上）。移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移动 最后一格者为输。甲有无获胜的策略？
解：甲先移两格，以后设乙移a格（1≤a≤3），甲便移4－a格，甲可获胜。
例6、一个售货员要在一排货架上摆放六本不同的杂志：M、O、P、S、T、V。货架上的六个位置从左到 右依次编号为1至6，已知杂志的摆放服从下列条件：
1号位置上摆放P或T； 6号位置上摆放S或T； M和O必须放在相邻的位置上；V和T必须放在相邻的位置。 回答下列问题(均为单项选择)： ⑴如果P放在3号位置，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．S放在5号位置 D．T放在6号位置 E．V放在2号位置 ⑵如果O和T放在了相邻的位置上，那么T可以放在几号位置？ A．1 B．2 C．4 D．5 E．6 ⑶下列哪个选项所描述的情形是可以出现的？ A．M放在4号位置且P放在5号位置 B．P放在4号位置且V放在5号位置 C．S放在2号位置且P放在3号位 置 D．P放在2号位置 E．S放在5号位置 3 ⑷如果V放在4号位置，那么T所在位置的号码一定比哪本杂志所在位置的号码小 1？ A．M B．O C．P D．S E．V ⑸如果S和V放在了相邻的位置上，那么下列哪个选项一定是对的？ A．M放在4号位置 B．O放在2号位置 C．P放在1号位置 D．S放在6号位置 E．T放在6号位置
例9、若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除?请说明理由．
9-6 容斥原理（一） 包含与排除问题
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁 做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
二、关联推演法
例2、某宿舍有甲、乙、丙三人，一个出生在北京市，一个出生在上海市，一个出生在广州市，他们 所学的专业，一个是金融，一个是管理，一个是外语。 已知： ①乙不是学外语的。 ②乙不出生在广州市。 ③丙不出生在北京市。 ④学习金融的不出生在上海市。 ⑤学习外语的出生在北京市。 根据上述条件，推出甲所学的专业是什么？
一个数各位数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那 么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除， 那么这个数能被7、11或13整除.
例1、在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能被9、25和8整除。
例8、在 1 至 100 的自然数中，既不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5 整除的数有多少个？
9-10 游戏与对策（一）
例1、甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正 好使和达到88，谁就获胜。甲欲取胜有何策略？
解：甲欲获胜先报7，此后乙若报a（1≤a≤8）,甲就报9－a，如此下去甲 必获胜。 也就是说：先报的第一次报到7,以后先报者根据对方报的数再报 “凑够9”的数，这样先报者就先报到88了。
三、列表法
例3、甲、乙、丙、丁四个人中有教师、医生、律师、警察各一名，已知： ⑴ 教师不知道甲的职业； ⑵ 医生曾给乙治过病(需要见面)； ⑶ 律师是丙的法律顾问(需要见面)； ⑷ 丁不是律师； ⑸ 乙和丙从未见过面。 根据以上条件判断 甲的职业是 ？乙的职业是 ？
9-14 逻辑推理（二）
例4、有这样三个的职业人，他们分别姓李、蒋和刘，他们每人身兼两职，三个人的六种职业是作 家、音乐家、美术家、话剧演员、诗人和工人，同时还知道以下的事实： ⑴ 音乐家以前对工人谈论过对“古典音乐”的欣赏。 ⑵ 音乐家出国访问时，美术家和李曾去送行。 ⑶ 工人的爱人是作家的妹妹。 ⑷ 作家和诗人曾经在一起探讨“百花齐放”的问题； ⑸ 美术家曾与姓蒋的看过电影； ⑹ 姓刘的善下棋，姓蒋的和那作家跟他对弈时，屡战屡败。 请问他们的职业是什么？
例3、用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，把绳子 三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，绳长为多少米？
42
例4、小黑在玩折绳游戏，他先将一根绳系成一个圈，然后对折，对折，在从对折后的中间处剪开， 这根线绳被剪成了多少段？
直线交点问题
9-16 操作问题（二）
例5、有4条直线两两相交，最多有几个交点？6条呢？100 条呢？
例3、在1到100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
三个量重叠的容斥原理：A+B+C－AB－AC－BC+ABC
大家不必拘泥年级，按照自己所掌 握的普通数学课本选择相关章节听
讲ห้องสมุดไป่ตู้谢谢！
中年级组（三、四年级）高年级组（五、六年级）
9-8 容斥原理（三）
例4、2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1，2，…，2006．将编 号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编 号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为几盏？
例6、一根 101 厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3 厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多 少段？
例7、网校共 130 名老师，其中 70 人参加了歌唱小组， 80 人参加了舞蹈小组， 60人 参加了模特小组，至少参加两个小组的有 60 人，参加了三个小组的有 30人，那么网校 老师有多少人没有参加小组？
四、假设法
例5、在老北京的一个胡同的大杂院里，住着 4 户人家，巧合的是每家都有一对双 胞胎女孩。这四对双胞胎中，姐姐分别是甲、乙、丙、丁，妹妹分别是 a、 b、 c、 d。 一天，一对外国游人夫妇来到这个大杂院里，看到她们 8 个，忍 不住问： “你们谁和谁是一家的啊？ ” 乙说： “丙的妹妹是 d。 ” 丙说： “丁的妹妹不是 c。 ” 甲说： “乙的妹妹不是 a。 ” 丁说： “他们三个人中只有 d 的姐姐说的是事实。 ” 如果丁的话是真话，你能猜出谁和谁是双胞胎吗？
4735800
9-2 数的整除（二）
例2、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
试除法更加高效！
例3、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个 数值尽可能的小。
9-3 数的整除（三）
整除基本性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b， 那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b， 那么c∣a． 性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a， c∣a． 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘 积整除． 即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
两个量重叠的容斥原理：A+B－AB
解题钥匙：文氏图
例1、有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。 那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.
9-7 容斥原理（二）
例2、47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的 21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？
例4、已知四十一位数5 …… 5□99 …… 9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内 的数字是多少？
9-4 数的整除（四） 例5、已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九 位数是多少？
被99整除的数的特征： 是把多位数从个位开始两位一段，所有的数段和能否被99整除
例5、把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移）， 一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？
一、利用矛盾关系
9-13 逻辑推理（一）
例1、某仓库失窃，四个保管员因涉嫌而被传讯。四人的供述如下： 甲：我们四人都没作案； 乙：我们中有人作案； 丙：乙和丁至少有一人没作案； 丁：我没作案。 如果四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话。 请判断谁说真话。
1
2
3
4
5
6
9-15 操作问题（一）
绳子对折问题
（1）对折剪绳
一条绳子对折n次，剪M刀，可分成M×2n＋1段
例1、一根绳子对折三次后，从中剪断，共剪成几段绳？ 例2、将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳 子被剪成几段?
（2）折n折 折完之后共有n段，每段长度为1/n。
例6、由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多 少？
例7、11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数 的平均数是多少？
9-5 数的整除（五）
例8、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的 同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留 下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同 学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______
平面上，n条直线最多有1＋2＋3＋··· ···＋（n－1）个交点
分割长方形
例3、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙两个轮流在任一箱中任意取球，规定 取得最后一个球的为胜。甲先取，他应该如何取才能获胜？
解：甲先从108个箱子里取出45个，此后乙从任意一箱中取a个，甲便从另一箱 中也取a个，甲一定获胜。
9-12 游戏与对策（三）
例4、在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戏。由甲开 始，二人交替地移动这粒石子。每次只能向上、向右或向右上方移动一格。谁把石子移到右 上角谁胜。问甲要取胜的策略是什么？
例2、取火柴问题 （1）桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁 获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （2）桌子上放着 20根火柴， 甲、 乙二人轮流每次取走 1～2根。 规定谁取走最后一根 火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （3）桌子上放着20根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁 输。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
例5、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中 有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人。而 手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两 种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
9-9 容斥原理（四）