材料力学第五章

§5-4
剪力图与弯矩图
例5-3 图示简支梁受均布载荷q的作用，作该梁的FQ、M图。 q 对称性 解：1)求支反力： ql A B FAy FBy x 2 FAy l FBy 2)列剪力弯矩方程： ql/2 ql + FQ ( x ) FAy - qx 2 - qx FQ _ 2 M ( x ) F x qx /2 Ay l/4 ql/2 ql 2/8 2 qlx qx M + 2 2 3)作FQ、M图： 3ql 2/32 | FQ |max ql / 2 观察剪力弯矩图的形态：均布 2 | M | ql /8 载荷作用，剪力为零截面 max
观察剪力弯矩图的形态： 集中力偶作用处
3)作FQ、M图：
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
一、FQ、M和q(x)的微分关系 假设q(x)向上为正，向下为负；
任取无集中力、集中力偶的微段， 认为q(x)为常数；
微段左右截面FQ、M假设均为正。
dx
A y Me x
F1
dx
F2 B q(x)
例5-7 作图示外伸梁的FQ— M图。 解：1)求支反力： q=2kN/m F=3kN Me=6kN· m FAy 7.2kN ， FBy 3.8kN 1 2 3 4 5 6 B A C D 2)各段FQ、M图形状： 1m 4m 1m FBy FAy CA和DB段：q=0 4.2 FQ图为水平线， (kN) + E FQ M图为斜直线。 _ _ 3 3.8 AD段：q=C<0 3.1m 3.8 FQ图为向下斜直线， 1.41 + M图为上凸抛物线。 (kN· m) + M _ 3)作FQ、M图： 2.2 3 可以先确定各分段点的FQ、M值，用相应形状线条连接。
B FBy
x
Fy 0 : FQ1 M1 M 0 : M1
FBy
§5-3 二、弯曲内力的定义及正负
剪力与弯矩
平行于横截面的内力； 1．剪力： 符号：FQ；
使梁有左上右下错动趋势的剪力为正， 反之为负； 梁左截面向上的剪力为正，右截面向下 的剪力为正。 2．弯矩： 绕截面转动的内力(矩)； 符号：M； 使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负；
取左段研究 3)求2—2截面内力： FQ 2 FAy - F - 1.5q -11kN
q 1.5 M 2 4.5FAy - 3F 30 kN m 2
2
取右段研究简单些
§5-4
剪力图与弯矩图
一、剪力、弯矩方程 FQ FQ ( x ) —剪力、弯矩沿梁轴线变 化的函数关系。 M M ( x) 二、剪力、弯矩图 剪力、弯矩方程的函数图，横坐标为轴线， 纵坐标为内力的大小。本书约定：内力均以 坐标轴上方为正。 剪力、弯矩方程的坐标原点及方向可任意选取； 剪力、弯矩图根据相应的剪力、弯矩方程作出；
§5-4
剪力图与弯矩图
例5-5 简支梁AB的C点作用集中力偶Me，作该梁的FQ、M 图。 Me 解：1)求支反力： a b FAy M e / l FBy - M e / l A B x1 C 2)列剪力弯矩方程： x2 FAy FBy AC段： l FQ ( x1 ) M e / l (0 x1 a ) Me/l Me FQ + M ( x1 ) x1 (0 x1 a ) l CB段： Mea/l + FQ ( x2 ) M e / l (a x2 l ) M _ M ( x2 ) - M e ( l - x2 ) / l Meb/l (a x2 l )
§5-3 三、弯曲内力的计算法则
剪力与弯矩
*3．判断外力产生剪力、弯矩正负的图例：
F1
A FAy F1 FAy FAy使AC段左上右下(或者FAy在AC段左截面且向上) ， 在n—n截面产生的剪力为正； FAy使梁AC段产生下凸变形(或者FAy使梁AC 上压下拉) ， 对n—n截面产生的弯矩为正； Me1 q
平面弯曲概念
刨床刨刀
§5-2
梁的载荷及计算简图
一、梁的载荷及支座反力 1．载荷： 集中载荷(集中力、集中力偶)， 分布载荷(均布载荷、分布载荷)。
名 称 F1 图 示 法 Fy2 F2 Fx2 q(x)
符号(单位)
x F(N) q(x)(N/m)
(a)集中力
(b)分布载荷 q
(c)均布载荷 (d)集中力偶 Me
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
二、 FQ、M和q(x)微分关系的几何意义
FQ图某点的切线斜率等于该点q(x)；M图某点的切线 斜率等于该点FQ ； 若x1、x2两截面间无集中力作用，则两截面的剪力差 为两截面间q(x)图面积；若x1、x2两截面间无集中力偶 作用，则两截面的弯矩差为两截面间FQ图面积； 集中力作用处：剪力图突变，突变值为集中力的大小， 从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向，弯矩 图发生转折； 集中力偶作用处：弯矩图突变，突变值为集中力偶的大 小，若该处无其它力，则左右弯矩图斜率不变，剪力图 不受集中力偶影响；
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
二、 FQ、M和q(x)微分关系的几何意义
各种载荷下剪力图与弯矩图的形态
外力形态 q>0 q q<0 + C Me F C F C C Me C _ FQ图 M">0 M"<0 FQ>0
ຫໍສະໝຸດ BaiduM图
Mmax位置 FQ=0
FQ<0
FQ变号处 紧靠C的 某一侧面
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
三、利用微分关系作剪力弯矩图 1．用微分关系判断分段点间FQ、M图形态； 2．用计算法则(或积分关系)计算分段点FQ、M值； 3．分段点间连线； q突变反向，剪力图有尖点(转折)，弯矩图有 凸凹性反转的拐点；
载荷图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中 点反对称，弯矩图左右对称；
载荷图关于梁中点反对称，则剪力图左右对 称，弯矩图关于梁中点反对称；
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
四、各种载荷下FQ、M图形态的引例
qa
2qa2 a a a q qa FQ
q a
qa a 2qa
qa
M
qa2 + qa2 0.5qa2
qa
+
-
qa2
§5-5
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
1 dM ( x ) x2 2 M 0 : O M ( x) d (( xx )(x ) F ( x ) d x q ( x ) d x 0 M M F ( x ) d M FQ )M Q x1 Q 2 1 2 dx
d 2 M ( x ) dFQ ( x ) q( x ) 2 dx dx
梁的名称 (a)悬臂梁 (b)简支梁 Fx M Fy Fx1 Fy1 Fy2 图示法
梁的载荷及计算简图
未知反力数 3(2)* 3(2) *假定 轴线方 向反力 为零， 则未知 力总数 减少为 ( )内的 数
(c)外伸梁
(d)固定梁 (e)连续梁
Fx1 F y1
Fx1 M1 Fy1 Fy2
Fy2
Fy2 Fx2 M2
• §5-9 梁的变形
• §5-10 叠加法求梁的变形
第五章
梁的基础问题
• §5-11 提高梁强度的措施 • §5-12 梁的刚度条件与梁的合理设计 • §5-13 简单超静定梁的解法
• 小 结
§5-1 一、梁的平面弯曲
平面弯曲概念
梁：主要承受横向载荷的杆。
直梁—轴线为直线，曲梁—轴线为曲线； 对称梁—有对称平面，非对称梁—没有对称 平面。
第五章
梁的基础问题
• §5-1 平面弯曲概念 • §5-2 梁的载荷及计算简图 • §5-3 剪力与弯矩
• §5-4 剪力图与弯矩图(FQ、M图)
• §5-5 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分
关系
第五章
梁的基础问题
• §5-6 纯弯曲梁的正应力 • §5-7 梁的切应力 • §5-8 梁弯曲时的强度计算
Me2 F2
B FBy
C n n
Me1
§5-3
剪力与弯矩
例5-1 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。 q=12kN/m 解：1)求支反力： F=8kN MB 0 ： 1 2 3 A B 1 2 3 q 0 6 FAy - 4.5F 1.5m 2m 2 FAy F FAy 15kN By 3m 1.5m 1.5m (可以利用A点 FAy FBy - F - 3q 0 FBy 29kN 矩平衡求F 进 Fy 0 ： By 行校核） 取左段研究 2)求1—1截面内力： FQ1 FAy - F 7 kN M1 FAy 2 - F ( 2 - 1.5) 26 kN m
3(2) 6(4)
5(4) 4(3)
Fx1 Fy1 Fx1 (f)半固定梁 M F y1 1
Fy3 Fy4 Fy2
§5-3 一、截面法求弯曲内力 截面法过程：切取、替代、平衡。
1 A FAy x y M1 FAy FQ1 FQ1 F 1 F C
剪力与弯矩
Fy 0 : FQ1 FAy M 0 : M1 FAy x
平面弯曲：
载荷：所有外力都作用在梁纵向对称面内。 变形：轴线在纵向对称面内变形。
§5-1 二、梁的平面弯曲 平面弯曲图示
F q Me
平面弯曲概念
纵向对称面
A
B
x
FAy
FBy 纵向对称轴
y
y
y
y
§5-1 三、工程实例
平面弯曲概念
吊车梁
§5-1 三、工程实例
平面弯曲概念
钻床臂
§5-1 三、工程实例
§5-4
例5-2 作图示悬臂梁AB的FQ、 M图。 F A x l _ F _ Fl B x
剪力图与弯矩图
解：1)列剪力、 弯矩方程： FQ ( x ) - F M ( x ) - Fx 2)作图： | FQ |max F | M |max Fl
FQ
M
观察剪力弯矩图的 形态：集中力作用 处、无载荷作用段
1．梁的计算简图： 用梁的轴线代替梁，将载荷和支座加到轴线上。 2．梁的分类(根据支撑形式)： 1)静定梁：仅用静力平衡方程即可求得反力； (a)悬臂梁，(b)简支梁，(c)外伸梁 仅用静力平衡方程不可求得反力； 2)超静定梁： (d)固定梁，(e)连续梁，(f)半固定梁
§5-2
二、梁的分类及计算简图
x
x
q(N/m)
Me(N· m)
Me
x
§5-2
一、梁的载荷及支座反力 2．支座反力
名称 滑动铰支 FRx 固定铰支 FRx 图示法
梁的载荷及计算简图
反力
未知反力数
1 (FRy) 2 (FRx，FRy) 3 (M/FRx/FRy)
FRy
FRy
M
FRy
固定端
§5-2
二、梁的分类及计算简图
梁的载荷及计算简图
§5-4
剪力图与弯矩图
例5-4 图示简支梁AB的C点作用集中力F，作该梁的FQ、M图。 F a b 解：1)求支反力： A FAy Fb / l FBy Fa / l B x1 C x2 FAy FBy 2)列剪力弯矩方程： l AC段： Fb/l Fb FQ ( x1 ) (0 x1 a ) + l FQ _ Fbx1 M ( x1 ) (0 x1 a ) l Fa/l Fab/l CB段： Fb + M (a x2 l ) FQ ( x2 ) - l 观察剪力弯矩图的形态：集中 M ( x1 ) Fa ( l - x2 ) (a x2 l ) l 力作用处、无载荷作用段 3)作FQ、M图：
M(x) x FQ(x) q(x)
M(x)+dM(x)
O
FQ(x)+dFQ(x)
§5-5
Me x
剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
dx M(x) M(x)+dM(x) O FQ(x) q(x) FQ(x)+dFQ(x) F1 dx F2 B
一、FQ、M和q(x)的微分关系
A y
x
q(x)
dFQ ( x ) x2 F q( x0 )dx q( dF () x ) - FQ 2 ( x) q x) x Fy 0 : FQ ( x ) Q 1( xd Qx 1 dx
使梁上压下拉的弯矩为正。
§5-3 二、弯曲内力的定义及正负
FQ、M产生的变形
剪力 FQ FQ FQ
剪力与弯矩
正负
FQ FQ
FQ
+ (FQ>0)
(FQ>0) + (M>0)
FQ M
M
弯矩 M M
M
M
M
(M<0)
§5-3 三、弯曲内力的计算法则
剪力与弯矩
任一截面的剪力 FQ= 该截面任一侧所有 1．剪力： 横向外力的代数和。 (截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力对 该截面产生的剪力为正) 任一截面的弯矩 M=该截面任一侧所有 2．弯矩： 外力(横向力、力矩)对该截面形心产生 力矩的代数和。 (向上的横向力、截面左侧顺时针力矩和截面右 侧逆时针力矩对该截面产生正的弯矩)