用定积分求平面图形面积的思考

特殊隋 （ 况 如图２，可以发现，阴影部分的面积ｓ （ ｄ． ） ＝ｆ ｘ ｘ ｆ ）
但 这样 的特殊情况会 给学生 导致一 种普遍性 的误解 ，以为 函数ｆ（ ） ｘ 、积分 区间与 轴所夹 的部分 面积就是 函数 ＿（ ） 厂 在相
但 实际上有 很多 函数的 图形 很难 画出来 ，所 以定积分来 求
题 ２３ ． Ｂ组 第 ２题 ： 相机而择．
高考数学题 “ 源于课本 ，高 于课本 ” ，这是历年高考试卷命
题 所 遵 循 的原 则 ． 师通 过 对 课 本 内容 的 深挖 ，对 例 题 、习题 重 教
组 ，可以将课本 、资料 、高 考试题有机地 结合起来 ，从知识 的 发生 、发 展 ，形 成完整 的认知 过程 ，去启 迪学 生思 考 、探 求 ， 加强 过程性 ，注 意从多角度 培养学生 的能力 ，不 仅强调逻 辑推 理能力 ，而且强调合情推理能力． 这是激发学生对数学学习的兴 趣和信心 ，提高数学复习效率的重要途径． 参考文献 ：
一
可以发现，阴影部分 （ １ 如图 ）的面积 ｓ ＝Ｊ
一ｌ
＝
ｆ （） ］ ． 一 （） ｘ ｄ
般地 ，如果有 函数 厂 ） 区间［ ，ｂ 上连续 ，用分点 ａ＝ （ 在 ａ ］
ｏ １ ＜ ＜… ＜ ｌ ＜… ＜ ＝ｂ 托一＜ ，将 区间［ ，ｂ 等分成 ｎ个小 区 ａ ］
如 ） 有些参 考书 中就 对这种情 况给 了这样一 个结论 ：在 轴 上 积 （ 图 ５ ．
分析原 因是我们对定积分定义及几何性质 的理解 出现了偏差 ．
ｒ ｂ ， ６ ， ６
运用定积分得到所 围成 的封 闭区域 的面积 Ｊ为 ｓ
对照定积分的几 何性质ｓ （ 一｝（ ＝｝ｆｘ一（３． ＝｝ ｚ ） Ｉ ） ｘａ ， Ａ ）ｘ
记 （ｄ 即Ｊ（ ＝ｍ － 这 。 作ｆ ｘ ｌ ∑ ＿ ） 里，和ｂ ｎ ）， ａ ） ｉ ， ／ （．
ｉ ＝ １ ¨
分别叫做积分上 限和积分下限 ，区间［ ， ］ ｎ ｂ 叫做积分区间 ，函数
ｘ ￣做被积 函数 ， 叫做积分变量 ， ｘｄ ｌ ｆ（ ）ｘ叫做被积式． 在过 去 的学 习 中，我们 已经 知道很 多规则平 面图形 的面积 ｆ（ ）ｑ 计算 ，如正方形 、平行 四边形 、三角形 、圆的面积等等．可以发 另外 ，要用 定积分去求 “ 曲边 图形 ”的面积关键 还要理 解
平 面图形 的面积还是存在不少难题 的． 么对于一 般的运 用定积 那 分求 “ 面曲边 图形 ”的面积又有最基本的两种方法． 平
１ ．以直 角 坐 标 系的横 轴 对 应 的 变 量 为积 分 变 量
应 积分 区间的积分 值．但是 要 注意 ，积 分根据 它 的定义 可 以知
道 ，积分值 的大小可 以为正也可 以为 负 ，但是 平面 图形 的面积 却 只能 为非负数 ． 那么下面的这种情况就会 使学生出现理解上 的
＝
例 ２ 求 曲线 Ｙ＝ＣＳ （ Ｏ ｘ ｘＥ
）Ｉ
［ ，２Ｔ ） ０ １］ 与 轴 ’ 、Ｙ轴 和直 线 ２ｒ 围成 的封 闭 区域 的面 叮所
－
１
错觉 ．
＼
０一 １ 八 ＼ ／ ／
图 ４
／７ ／
２ ：
积 （ 图４． 如 ）
例 １ 求 曲线 Ｙ＝ｓ （ 叮，２ ） ｉ ∈［Ｔ 盯］与 轴所 围成的封闭 区 ｎ
域 （ 图 ３ 的面积． 如 ）
解 ：由图象得曲线 Ｙ Ｏ ＝ＣＳ （ ∈［ ，２ ） ０ ］与 轴 的交点 横
错解：运用定积分得到 ｓ ｓ ｘ ＝Ｊ ｉｘ ． ｎ ｄ
结合微积分定理得到
）ｌ
，２
坐 分 为 ｔ手，ｚ等 ， 用 积 得 所 成 封 标 别 ＝ 运 定 分 到 围 的 闭
Ｓ ＝ 一 ｌ ｓｎ ｘ ｉ ｘｄ
，
＝
一
（ ｃｓ Ｊ 一 ｏ ） ［一 Ｏ １） 一 Ｏ ） （ ＣＳ ｒ 一（ ＣＳ ｆ ］ ２ １
＝
一
＝ ２．
这 样 所 要 求 的面 积 为 ２ ．
以上 是针对运 用定积 分求 “ 平面 曲边 图形 ”的面积 中学生 普遍存在 的曲解进 行解释说 明 ， 那么一般我们 用定 积分来求平 面 图形面积 的一般步骤为 ： ① 画出所 围平面 图形 的草 图； ② 求 出各有关 曲线 的交点及边界点 ，以确定积分上下 限 ； ③ 利用定积 分的几何意义确定代表所求 面积 的定积分 ； ④ 计算定积分 的值 ．
那 么在本例 中的被积 函数 （ ， 分别 为什 么呢？通 过对 ） （ ）
照 ，函数 （ 是 “ 面曲边 图形”的上界线 ，函数 （ 是 “ ） 平 ） 平
ｓ （ ３ 孚 ＝ ｙ） ］ ＋一
＝
～
／
Ｂ
（＋ 一 三 孚 ｓ 昔Ｉ
６ ４ ３
面曲边图形”的下界线 ，积分 上下限 自然就是 “ 平面曲边 图形 ” 的左右界线 了． 以，正确地求解为 ： 所
厂 ） ａ ］ 摘要 ：本 文依 据定 积分的定 义和几何 意义 ，解释 了学生在 近某个常数 ，这个常数叫做 函数 ＿（ 在 区间［ ，ｂ 上的定 积分 ， 用定积 分求 曲边 图形 时理解上 的误 区，并讲述 了用定积分 求解
平 面 曲边 图形 面积 的 常见 两种 方 法． 关 键 词 ： 平 面 曲边 图形 ； 面积 ；定 积 分
那怎么会 出现这样的错 误呢？ 方的面积为正 ，在 轴下方 的面积为 负． 实际上这样 的结论是有
漏洞的．
例 ３ 求 曲线 ｙ＝４ 与直线 Ｙ 一３ ２ ｘ ＝ 围成的封闭区域的面
解 ：由图象可求得 Ａ（ ，一 ） Ｂ ９ ） １ ２ ， （ ，６ ，且 曲线和直线方程 分别为 Ｙ ， ＝ ＝ ＋３ ，
一
图 ２
二 、课 本 根 源
高 考 题 “ 于 课 本 ， 高 于 课 本 ” 这 是 一 条 不 变 的 道 理 ， 表示转 “ ”为 “ ，使空间结构代数化 用计 算代替论证 ． 源 ， 形 数” 综
这道高考 题在课本 中也 有它 的影 子 ，见 人教版 必修 ２第 二章 习 合法 和向量法 在解 决立 体几何 问题 时各有 千秋 ，根据实际问题 ，
现这些规则 图形一般都是 “ 直边 图形 ” ，但平 时我们 在实际中还 定积分的几何意义 ：
会 遇到求 “ 曲边 图形” 的面积 ，那么我们想到 了定积分．
定积分 的定 义是前人在用 “ 逼近 ”的方法 中总结定义 出来 ， 是受 “ 以直代 曲”的思想 启发 的．也就 是把 “ 曲边 图形 ”采 用 “ 近 、分割”方法进 行近似代 替而求得 ． 逼 那么很 自然定积分 的定义为 ：
定义 ，关键是理 解它 的几何 意义 ，重点是要选对 积分变 量 ，这 样就会正确解决此类问题 了．
［ １年 期］ 础 育 坛 ３ ２ ２ 第４ 基 教 论 ３ ０
一
１
．
．
．
．
…
＾ ．． ．．ｉ
－ ｓｎ ｉ
＝
｛＋ｎ莩 ｓ 茎 ｓ Ｉ＝ ｊ ．
：
２
图 ３
【 点评 】 选用 积分 对象是 由图形 的特 点决定 的．
２ ．以 直 角 坐标 系的纵 轴 对 应 的 变量 为 积 分 变 量
这样就会得出矛盾了 ：面积为负了．
观察 和推 理是 我们 认识 世 界 的两种途 径 ，两者 相辅 相成 ， 缺 一不 可． 一步提 高学生 的空 间想 象能力 ，发展 推理能 力． 进 空 问图形问题经 常转化为 平面 问题 ．“ 确定 平面 ”是将 空问 图形 问
３ 基 础 教 育 论 坛 ２
［ ０ ２年 第 ４期 ｊ ２１
：‘ … … 芋
≈ ｚｚ ． … ．
Ｓ ＝ Ｊ ｓｎｘ ｉ ｄｘ
＝
１ ：
Ｄ
－
区 的 积５ ：ｆ。 ＋ｆ －Ｓ） 。 ｘ 域 面 为Ｓ 。 。 Ｃ． Ｏ ＋ｆ 。 ： ％ ， ｄ
０ Ｊ Ｊ ３
（ ＣＳ ｌ 一 Ｏ ）
（ ＣＳ ） 一Ｏ 丌） 一 Ｏ 一（ ＣＳ ２
间 ，在每个小 区间 Ｘ］ ｉ 上任取一 点 喜（ １ ，… ，ｎ 作和 ，２ ）
式∑／ ： （） ∑
所 以 Ａ ＝３ Ｍ ．
（） 当ｎ 时， 和式 接 毒， 一 上述 无限
图 １
题转化 为平面 图形 问题 的来解决 的重要条件 ，而这种转 化又是 空 间图形 中解决许多问题 的一种重要思想方法． 利用 向量 的坐标
，２１ ｔ ，２
—
＝一 ４ 等 ０
图５
运用定积分得到Ｓ ｆ ［ 一 ｉ ］ ＝ ｓ ｘｘ ＝ ０ ｓ ｘｄ 一ｆ ｉ ｄ， ｎ ｘ ｎ
结 合 微 积 分 定 理 得 到
，２
【 点评 】 如果采用 为积分 变量 ，积分 的运算量会增加．
当然在平 时或实 际的运算 中会 碰到更加 复杂的 “ 面 曲边 平 图形” ，要求 它们的面积可以把图形进行切割 ，分割成 比较规则 或 比较简单可 以求借 的小块 ，在采用 以上两种定 积分求解方法 ， 相信会很容易地解决求解 “ 平面 曲边图形 ”的面积 ． 总而言之 ，用定积分 去求解平 面图形面积 时 ，前提 是了解
三 、结 束 语
一
［］ １ 袁铁 宝．对 ２ １ 年高考全 国卷 立体几何题的探 究．数 学 ０１
教 学，２ １（ １ ：４ — ６ ０ １ １） ３ ４ ． ［］ ２ 陈茜． 合理使 用空间向量解立体几何 题．中学数 学月刊 ，
２ １ （ １ ：４ — ３ ０ １１ ） ２ ４．