指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数
1根式
(1) 根式的概念
(2).两个重要公式
”
n 为奇数
a
① 勺a =〈
a(a 王0) n 为偶数
\a\=
： 、—a(a<0)
② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念
m
①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的
运算。

(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);
②正数的负分数指数幂
1
— ■ (a • 0, m 、
n m '
n N ,且 n 1)
③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义
② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；
③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.
3. 指数函数的图象与性质
注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它
们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。

即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义
如果a * = N （a - 0
且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2） 几种常见对数
2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a
^ = N 。

（2）对数的重要公式:
12
叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；
log a
（3）对数的运算法则：
如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么
①换底公式: N log b
② log a b
1 iog b a
①log a (MN ) = log a M log a N;
②log a M-log a M-log a N；
N
③log a M n二n log a M (n・ R)；
④log m b n = —log a b。

a m
注：确定图中各函数的底数a, b, c, d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

4、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=x a（a€ R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函
数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象
1
注:在上图第一象限中如何确定y=x3, y=x2, y=x, y" , y=x-1 方法：可画出x=x0;
当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3, y=x2, y=x , 1
y = x2, y=x-1 ;
1
当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1 , Z , y=x, y=x2 , y=x3。

3、幂函数的性质。