江苏省南通市如东县2021届高三上学期期中调研考试 数学答案

x04 4
12
3x04 48x02 144
0，
因为 0 x02 8 4 7 ，故此解符合题意．
………………12 分
22. （1）函数 f x 的定义域为 0, ，且 f x 2x 2 ln x 2 ，令 h x f x ，
则有 h x 2 x 1 ，由 h x 0 可得 x 1，如下表：
因为 PC 平面 PAC ，所以 BD PC ．
因为 BD / / 平面 AMHN ， BD 平面 PBD ，
且平面 AMHN 平面 PBD MN ，
所以 BD / /MN ，所以 MN PC ．
………………4 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且 O 为 AC
7
7
答：建筑 BC 的最低高度为 240(3 2) 时，可以拍摄到效果最好的照片. ………………12 分 7
21．解：（1）不妨设 P 在第一象限，
由题可知
P
2
6
3
,1
， 8 3a2
1 b2
1，
………………2 分
又 e
1 2
，将
a
2c
代入上式得：
8 12c
2
1 3c2
1，
可得 c 1，从而得 a=2, b2 a 2 c 2 3
所以 c 3b 2 3 ，
所以 ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 2 2 3 1 3 .
2
2
2
方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，因为 c 3b 由正弦定理得
………………10 分 ………………10 分
1
sin C
3 sin B
3 sin
方程中令
y
0得
xD
x0 2
，
FD2
1
x0 2
2
4
x02 4
DK x0 2 8
x03 x02 3
3x0 x02 4 8 x02 3
， kFD
2 x0
, kBC
x0 2
，
kFD kBC 1 ， FD BC ，
DEK
∽
FOD
，
S1 S2
DK 2 FD2
9 x02 16
由 g x0 2 可得 x02 x0 ln x0 2 2x0 a 0 ②
联立①②消去 a 可得 2x0 ln x0 2 2 ln x0 2 0 ③
令 t x 2x ln x2 2ln x 2 ，则 t x 2 2 ln x 2 2 x ln x 1
xx
x
由①知 x ln x 1 0 ，故 t x 0 ，所以 t x 在 0, 上单调递增
x02 4 x02 3 2
18 . 49
化简得 17x02 72 x02 4 0 ，
x0 2 （ x0 2 舍去） A 的坐标为 2,1 .
………………6 分 ………………8 分
………………10 分
3 x02
x2
x03 x
x04 4
12
0
，
x06 4
3 x02
………………4 分 ………………6 分
sin
7 12
sin
4
3
21 22
2 2
3 2
2 4
6
所以
ABC
的面积
S
1 2
ab sin C
1 2
22
2
2 4
6
3 1.
方案二：选条件①和③.
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，得 4 b2 3b2 3b2 ，
则 b2 4 ，所以 b 2 .
z1 ，则
n1
n1 DB
23 3
AH
3 2
x1
y1 0
3 2
z1
0
，
令 x1 0 ，则 y1 0, z1 3 ，所以 n1 1, 0, 3 ，
………………8 分
记平面 PAB 的法向量为 n2
x2, y2, z2 ，则 nn22AABPxx22
3 3
y2
0
，
3z2 0
椭圆的方程为 x2 y2 1 . 43
（2）设
A
x0
,
x02 4
则切线 l
的方程为
y
x0 2
x
x02 4
代入椭圆方程得：
3 x02
x2
x03x
x04 4
12
0
，
设 B x1, y1 ,C x2 , y2 , E x3, y3 ，
………………4 分
4
则
x3
x1
2
x2
所以 BCD 105 .在等腰三角形 ABD 中， BD 120 2 .
由正弦定理得 BD BC ， sin105 sin 30
所以
BC
120 2 6
2
2
120
3 120 .
4
………………3 分
所以建筑 BC 的高度为120 3 120 米.………………5 分
（2）设建筑 BC 的高度为 h ，
，所以 a1
1 2
，
所以等差数列{an}的通项公式 an
1 2
n
.
（2）由（1）知 bn
( 1 )n
(n 2) log22
n(n 2)
所以
1 bn
1 n(n 2)
1 2
1 n
1 n 2
………………2 分 ………………4 分 ………………6 分
………………8 分
所以数列
1
的前
n
x
所以 h x h1 0 ，即 f x 0 ， f x 在 0, 上单调递增；
………………2 分
5
x
0,1
1
1,
h x
0
hx
减
极小值
增
（2）函
数 g x 的定义域为 0, ，且 g x 1
a x2
2ln x x
由已知，得 g x0 0 ，即 x02 2x0 ln x0 a 0 ①
x
亦即
x
1 x
2
ln
x2
，这时
x 1 0 ， ln x 0 ，故得 x
x 1 ln x x
取
x
2k 2k
1 1
，
k
N*
，可得
2k 1 2k 1
2k 2k
1 1
ln
2k
1
ln
2k
1
而
2k 1 2k 1
2k 1 2k 1
2
n
故
4k 2 1
k 1
2 4k 2
1
n k 1
ln 2k
1
ln 2k
1
ln 2n
1
n
所以
k 1
1 4k 2
1
1 2
ln
2n
1 .
………………12 分
6
建立如图所示的直角坐标系，圆 M : x2 ( y 60)2 3600 ，
3
在
PBC
中，由正弦定理可知
h sin 45
2R
，
所以 R 2 h ，其中 R 是 PBC 外接圆的半径 2
即 PBC 的外接圆的半径为 R 2 h . 2
………………7 分
由图可知
PBC
的外接圆的圆心坐标为
120
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分． 17. （本小题满分 10 分）
（1）因为 b asin B sin A c 3 sin B sin C ，
又由正弦定理 a b c ，得 b a b a c 3b c ， sin A sin B sin C
………………2 分
t 1 0 ，所以方程③有唯一解 x0 1，代入①，可得 a 1.
（3）由（1）知 f x x2 2x ln x 在 0, 上单调递增，
………………6 分
故当 x 1, ，
f x
f
1
1
，所以
g
x
1
1 x2
2
ln x
x
f
x
x2
1
0
，
可得 g x 在 1, 上单调递增。当 x 1时， g x g 1 2 ，即 x 1 ln x2 2
2021 届高三期中学情检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1~8CADACDBA 9．ABD 10．BD 11．ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
12．BD
13． y 2x
14．
8 27
，4 9
15． 3
16． 28 3
h 2
,
h 2
，
所以点
P
在圆
N
:
x
120
h 2 2
y
h 2 2
h2 2
,x
120
上，
而点 P 又在圆 M : x2 ( y 60)2 3600 上，
所以 60 2 h 2
120
h 2
2
h 2
60
2
60
2h， 2
………………9 分
解得 240(3 2) h 240(3 2) .
即 b2 c2 a2 3bc ，所以 cos A b2 c2 a2 3bc 3 ，因为 0 A ，
2bc
2bc 2
所以 A . 6
（2）方案一：选条件①和②.
由正弦定理
a sin A
b
b
，得
sin B
a sin
sin A
B
2
sin 6
sin
4
2
2
.
C A B 7 . 6 4 12
的中点，
2
所以 PO AC ，所以 PO 平面 ABCD ，所以 PA 与 平面 ABCD 所成的角为 PAO ，
所以 AO 1 PA, PO 3 PA ，因为 PA 3AB ，所以 BO 3 PA ．
2
2
6
分别以 OA ，
OB ，
OP
为
x,
y,
z
轴，建立如图所示空间直角坐标系，设
3
2
6 1 ，不成立，
4来自百度文库
22
所以这样的三角形不存在.
18.（1）设等比数列{an}的公比为 q，
………………10 分
由 2S2 , S3, 4S4 成等差数列知， 2S3 2S2 4S4 ，
所以 2a4
a3
，即
q
1 2
.
又 a2
2a3
a4
1 16
，所以 a1q 2a1q2
a1q3
1 16
2
x03 x02 3
，
y3
x0 2
x3
x02 4
4
3x02 x02 3
，
KE 的方程为 y 4
3x02 x02 3
2
x
x0 2
x03 x02 3
，
即 y 2 x x0 4
x02 x02 3
，
令 y 0 得 xK 8
x03 x02 3
，
在直线 l
PA
2
，则
O
0,
0,
0
,
A
1,
0,
0
,
B
0,
3 3
,
0
,
C
1,
0,
0
,
D
0,
3 3
,
0
,
P
0, 0,
3
,
H
1 2
,
0,
3 2
所以
DB
0,
2
3 3
, 0 ,
AH
3 2
, 0,
3 2
,
AB
1,
3 3
,
0
,
AP
1, 0,
3
．
记平面
AMHN
的法向量为
n1
x1,
y1,
项和：
bn
Tn
1 2
1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
1 2
1
1 2
1 n 1
n
1
2
3 2n 3 4 2(n 1)(n 2)
1 所以数列
bn
的前 n 项和 Tn
3 4
2(n
2n 3 1)(n 2)
………………12 分
19．（1）证明：连结 AC 交 BD 于点 O ，连结 PO ．因为 ABCD 为菱形，所以 BD AC ，且 O 为 AC 、 BD 的中点，因为 PD PB ，所以 PO BD ， 因为 AC PO O 且 AC、PO 平面 PAC ， 所以 BD 平面 PAC ，
令 x2 1，则 y2
3, z2
3 3
，所以
n2
1,
3,
3 3
，
………………10 分
记二面角 P AM N 的大小为 ，则 cos
cos< n1, n2
n1 n2 n1 n2
39 13 ．
所以二面角 P AM N 的余弦值为 39 ． 13
………………12 分
20．（1）当乘坐舱 P 在伦敦眼的最高点 D 时， BDC 30 ，此时 AD AB 120 ，即 ABD 45 ，