利息理论第一章课后答案

1.已知A （ｔ

+５,求

（1）对应的a （t ）；A(０）=5 a(t)=()(0)A t A =25t

＋5+1

（2）I ３；I 3＝A(３)-A （2)=2*3

＊

（3）i 4; i 4

＝4(4)(3)(3)

(3)I A A A A -===

2.证明:（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ (２)()(1)(1).A n in A n =+-

（1）

()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ (m

111---=-=

n A n A n A n A In i n

(1)()(1)inA n A n A n -=--

()(1)(1)A n in A n =+-

3.（a ）若k i

是时期k 的单利利率(ｋ=1,２..．，n)证明ａ(n)－ａ（0)＝12...n i i i +++

(b)若k i

是时期k 的复利利率（ｋ=1,２...．,n ）证明

12()(0)....n A n A I I I -=+++

（a ）a(n)－ａ（0）=a(n)-a(n －1)+a(n －１)－ａ（n-2)＋．．.+a(1)－ａ(０）=

11.....n n i i i -+++

（b ）

11()(0)()(1)(1)(2)...(1)(0)...n n A n A A n A n A n A n A A I I I --=--+---++-=+++

4.已知投资50０元,３年后得到1２0元的利息。试分别确定以相同的单利利息,复利利息投资800元在5年后的积累值。 ①单利 ()1a t it =+

3(3)(0)500(13*1)120I A A i =-=+-=

120

0.08150*3i =

= (5)800(15*0.08)1120A =+=

②复利

()(1)t a t i =+

3

3(3)(0)500(1)1120

I A A i ⎡⎤=-=+-=⎣⎦

1i 55/3(5)800(1)800*1.241144.97A i =+==元

5.已知某笔投资在三年后的积累值为1000元,第一年的利率为1i =10%，第二年的利率为2i

＝８％，第三年的利率为3i

=6%,求该笔投资的原始金额

123(3)(0)(1)(1)(1)

A A i i i =+++

123(3)1000

(0)794.10

(1)(1)(1) 1.1*1.08*1.06

A A i i i =

==+++

6.证明:设当前所处时刻为0，则过去ｎ期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于２

过去ｎ期1元钱的现值为(1)n i +,未来n 期后一元钱的现值为1(1)n

i + 1

(1)2(1)n n

i i ++

≥+ （当n=0时,等号成立)

7.（1)对于8%的复利，确定4

d ；

(２)对于8%的单利,确定

4

d ；

（1）()(18%)t a t =+ 43444

(18%)(18%)1

10.074(4) 1.08(18%)I d a +-+===-=+

（2）

4418%*418%*38%

0.061(4)18%*4 1.32I d a +--=

===+

8.已知

(5)

()(6)151()16m i i m i

++=+

,确定ｍ (5)()(6)151()16m i i m i ++=+ (5)5*5()

5630

(6)

6*6

(1)51(1)(1)(1)(1)

6m

m m m m m m i i i i i m i -++=+==+=++

30m ∴=

9.如果

2()t

t c

t A t ka b d =,其中k ，ａ，ｂ，ｃ,ｄ为常数,求

&t 的表达式

2

()t

t c

t A t ka b d =2222ln 2ln ln ln '()&ln 2ln ln ln ()t t t

t

t c t c t c t t t t t

t t c t ka b d a kta b d b kc a b d d c A t a t b c d c A t ka b d

++===++

10.确定下列导数：

(a ）t d d d ； （ｂ） d d i

d ; （c)v d d σ （d)d d d σ。 解：(a ）2211

()1(1)(1)i i d d i i i d d d i i i +-===+++ (b ）2211()1(1)(1)d d d d d d d i d d d d d -+===---

（c ）1

()v v d d Inv d d v

σ=-=-

（d ）

(1)d d d e e d d σσσσ

--=-=

11.用级数展开形式确定下列各项:

（a ）i 作为d 的函数; （b ）d 作为ｉ的函数; （c ）()

m i

作为i 的函数;

（d ）v 作为σ的函数； （e ）σ作为d 的函数。

解:(ａ）

21n d

i d d d d =

=++⋯⋯++⋯⋯-

(b)

23()1n i

d i i i i i =

=-+-+⋯⋯+-+⋯⋯+

(c ）

1(1)

m m i i m +=+ 1

()2323

11111

(1)(1)(2)

11(1)(2)(1)(1)2!3!

2!3!m m

m m m m m m m m i m i m m i i i m i i i m m m

------=+-=++++-=-

++

（d)23

2

3

()()1()12!3!

2!

3!

v e

σ

σσσσσσ---==+-+++

=-+

-

+

(ｅ)

[]234

234

1()(11()()1234234d d d d d d In In d d d d σ⎡⎤-==-++-=---+-+

=++++⎢⎥-⎣⎦

12.若

1t st s

p re σ=+

+，