上海交大在线教育 离散数学第一次作业最新版

4.用等值演算法证明下面等值式：（教材P42. 4.（2）（4））

(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))

(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)

证明：（2）(p→q)∧(p→r)

⇔（⌝ p∨q）∨（⌝p∨r）

⇔⌝p∨(q∧r)

⇔(p→(q∧r))

(4) (p∧⌝q)∨(⌝p∧q) ⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)

⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)

⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1

⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)

14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：（教材P58. 14.（4）（5））（4）前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r

结论：p∧q

（5）前提：p→r,q→s,p∧q

结论：r∧s

证明（4）: ①t∧r 前提引入

②t ①化简律

③q↔s 前提引入

④s↔t 前提引入

⑤q↔t ③④等价三段论

⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换

⑦（t→q）⑥化简

⑧q ②⑥假言推理

⑨q→p 前提引入

⑩p ⑧⑨假言推理

11 p∧q ⑧⑩合取

证明:（5）①p→r 前提引入

②q→s 前提引入

③p∧q 前提引入

④p ③化简

⑤q ③化简

⑥r ①④假言推理

⑦s ②⑤假言推理

⑧r∧s ⑥⑦合取

18. 在自然推理系统P中构造下面推理证明（教材P59. 18）

（1）如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩，如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩，今天是周六颐和园游人太多，所以我们去圆明园玩。

（2）如果小王是理科生，则他的数学成绩一定很好。如果小王不是文科生，则他一定是理科生。小王的数学成绩不好。所以小王是文科生。

证明(1)：

设 p：今天是星期六，q：我们到颐和园玩，r:我们到圆明园玩，s:颐和园游人太多

前提：p →(q∨r), s →⌝ q ,p ,s

结论：r

推理：① s →⌝ q 前提引入

② s 前提引入

③⌝q ①②假言推理

④ p 前提引入

⑤ p → (q∨r) 前提引入

⑥ q∨r ④⑤假言推理

⑦ r ③⑥析取三段论

设 p：小王是理科生，q：小王数学成绩好，r:小王不是文科生

前提：p → q, ⌝r →p, ⌝ q

结论：r

（1）p→q 前提引入

（2）⌝q 前提引入

（3）⌝p (1)(2)假言推理

（4）⌝r→p 前提引入

（5）r (3)(4)合取