3.3二阶系统的时间响应汇总

X 0 ( s) n 2 1 X 0 (s) X i (s) X i ( s) (s n jd )(s n jd ) s
s n n 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d
xo (t ) (1 e
A0 X o (s)ss0 1
1

n
n ——无阻尼振荡角频率。 ——阻尼系数，
X o ( s) T2 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
第三章
控制系统的时域分析
典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和
积分环节串联的单位负反馈系统。
RLC电路、电动机转速控制系统
K1 K 2


2 n
1

2n
n 2 X 0 ( s) n 2 2 2 (s n jd )(s n jd ) X i (s) s 2n s n
共扼复根:
s1,2 n jn 1 2
j
令:
d n 1 2
称为有阻尼振荡角频率

第三章
控制系统的时域分析
(2). 临界阻尼 1
s1, s2 n
(3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1 , s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
第三章
控制系统的时域分析
3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是
nt
cosd t

1
2
ent sin d t ) 1(t )
第三章
控制系统的时域分析
e nt 1
2
即：xo (t ) [1
( 1 2 cos d t sin d t )] 1(t )
sin 1 2
xo (t ) [1 e nt 1 2
(3)ξ 越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越 低）。
第三章
控制系统的时域分析
2. 临界阻尼(ξ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A A2 1 X o ( s) 2 s( s n ) s s n ( s n ) 2
A0 1
d 2 A1 X o (s)(s n ) 1 ds s n
第三章
控制系统的时域分析
3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，
可得
s 2n s 0
2 2 n
2
s1 , s2 n n 1
( 1)
2
n jn 1
( <1)
j
第三章
s1
控制系统的时域分析

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t ) xi (t ) xo (t ) ent (1 nt ) e() 0
单位阶跃响应的变化率为：
dxo (t ) 0 dt t 0 dxo (t ) 0 dt t 0
dxo (t ) 2 n t n te dt
dxo (t ) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
第三章
控制系统的时域分析
特点：
单调上升，无振 荡、无超调； xo () = 1，无 稳态误差。
第三章
控制系统的时域分析
3.过阻尼(ξ>1)
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n X o ( s) 2 2 s( s 2n s n ) s( s s1 )(s s2 )
1 X ( s) s
xi (t ) 1(t )
2 n 1 X o ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
xo (t ) L [ X o (s)]
下面按阻尼比分别讨论。
1
第三章
控制系统的时域分析
1.当 0 1 时，称为欠阻尼
第三章
控制系统的时域分析
讨论: (1) 欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减 的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对 值ξωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值， 即有阻尼自振角频率ωd，
d n 1 2
2 (2)振荡周期为 T 2 d d n 1 2
cos
1 2 )]1(t )
1

1 2
sin(d t arctan


式中: 1 2 —有阻尼振荡角频率； d n
n
arctan
—衰减指数；
1 2
பைடு நூலகம்

——滞后角度。
第三章
控制系统的时域分析
s1

n 1 2
n
β
s2
j
[s]
2
j
[s]
j n 1
n 0

2
s1 s 2
n
0

s2
j n 1
(a) 0 1
j
(b) 1
[s]
j
[s]
s1
s1
s2
n
0

s2
0

(c) 1
(d) 0
第三章
控制系统的时域分析
(1). 欠阻尼
0 1
s1 , s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。
第三章
控制系统的时域分析
3.3 二阶系统的瞬态响应
3.3.1 二阶系统数学模型及其标准形式 凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
2 n 开环: G( s) 2 s 2n s
闭环:
2 X o ( s) n 2 2 X i ( s) s 2n s n
令：T
式中
2 A2 X ( s )( s ) n o s n n
n 2 n 1 1 1 X o ( s) 2 (s n ) s s s n (s n )2
第三章

控制系统的时域分析
单位阶跃响应为
xo (t ) 1 ent (1 nt )