高中数学初等函数知识点及性质大全(超详细)

f（汀）＝f(x) · f(.v),, /(1) = 1
霖函数f(x) = xk
质：
矿＝a ，8
＇
wa=/3 ，
其中a>O且a
-=1=- l,
将指数方程化为整式方程求解；
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行 检验， 因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中， 如果未知数的允许值范围扩大， 那么
口 1能产生增解； 解指数对数方程的基木思路是通过 “ 化成相伺底数 ” “ 换元 ” 等方法转化成整式方程；
一般地，指数函数y＝矿在底数n>l及O<：： a<l这两种情况下的图像如图所示：
g
y=a, 汇
(a> 1)
甘 ”
y=n3、
(0 <a< 1)
10
沈
。比
指数函数有下列性质： 性质1 指数函数y＝矿的函数值恒大于零，定义域为R，值域(0, ＋叨）· 性质 2 指数函数y＝矿的图像经过点(0,1); 性质 3 函数y= a x (a> 1)在R上递增，函数y=矿 ， (0 <a< 1)在R上递减；
y. ．
lI 一－ －
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y=x 1
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U ＿_ 1 J � 屯
01 x
y = ' ＿上
叮意： 画豁函数图像时， 先画第 一象限的部分， 再根据奇偶性完成整个图像
2鲁指数函数 一般地，， 闭数y = a x {a> 0且a *1)叫做指数函数，自变量x叫做指数， G 叫做底数， 函数的定义域是R; 指数运算法则：矿记＝ax+y (a> O.x, y ER,;
汀＝a:ry (a> O,, x, y ER);· (a· b)x = ar · l了�(a,b>O,xER);
O 原函数v=f(x)和反函数 y =J-1(x)的图像关千直线y=x对称：若点(a�b)在原
函数y=f(x)上， 则点(b,a)必在其反函数 y =f-1(x)乒 ＠函数y=f(x)与y =J-l(X)互为反函数：原函数y=f(x)的定义域是它反函数
y＝贮尸(x)的值域；原函数y=f(x)的值域是它反函数y=f-l(x)的定义域· ＠原函数与反函数具有对应柜同的印调性； 奇函数的反函数也是奇函数；， 求反函数步骤；
甘阜
／
01 ;:1
X
I y= log心
(a> 1)
y 宁＼
'Y = log正
(0 <a< 1)
Il
(） �："
对数函数y = loga x (a > 0且a -:t:-1)的性质： 性质1 对数函数y = loga X的图像都在y轴的右方， 定义域( 0，拉习， 值域为R· 性质2 对数函数y = loga X的图像都经过点(l,0)； 性质3 对数函数y = loga x (a> 1)， 当x>l时， y>O; 当O<x<l时， y<O;
N
=
log a
M
—;log N
(l
M 11
=
nlog a
M
;
对数换底公式; logb N
log a N （其中a> O,a * 1,b > 0,b * 1.N > 0); loga b
® ® 常用恒等式： CD aloga 入T =N; loga芷＝.Ar ;, loga b· logb a = I ;
7,． 抽象函数 抽象函数的解益
O 赋值法；如赋值x=O、 X=士1、 y＝士x、 x=y=O等；
/1 ＠结构变换法；如八沁＝f［也－ X2 ) + X2 ]、f(x1 ) = （五飞）等 X2
抽象函数特征
可能对应函数
f(x + y) =f'(x) +f(y)或 f(-�)=x,·f(y)，./(1)= C
@
log(l b · logb C • loge d = log{I d;
@
log(1芯
b�1
=
�log “i
a
b
;
4反函数 一般地， 对于函数y=f(x)， 设它的定义域为D,, 值域为A, 如果对A中任意一个值 ）｝， 在D中总有唯 一确定的x值与它对应， 且满足y =f(x)， 这样得到的x关千y的函数
叫做 y =f(x)的反函数， 记作．X = 1-l(y)， 在习惯上， 自变量常用x表示， 而函数用 y 表 示， 所以把它改写为. Y =f-1(x) (x EA);,
反函数的判定；
O 反函数存在的条件是原函数为 一一对应函数； 定义域上的单调函数必有反函数；
＠周期函数不存在反伍数； 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数· 反函数的性质：
正比例函数f(x)=cx (c*O)
f(x + y)=f(x) · f(y)或
f伈y) = [/(x)JY , /(0) = I
指数函数 y = ax: (a> 0且 Cl* 1)
f(�v)=f(x) +.f(y)或 f(xY ) = y· f(x),./(1)=0
对数函数JJ = ]oga x (a> 0且a *1
0 用 y 表示x， 即求出．X = 1-l(y);
@ x,y互换， 即写出y = 1-1(x片 ＠确定反函数定义域；
l
注意事项：若函数 y =f(ax+b)存在反函数， 则其反函数为 y =— [f-1(x)-b]， 而不 1
旦 y = f-1(ax+b)'， 函数y = f-1(ax+b)是v= — [f(x)—b]的反函数；
5对数函数
x
般地，对数函数 y = loga x (a > 0且a 习 l)就是指数陌数 y =a (a> 0且a#l)的反
函数； 因为y＝矿的值域是(O�+co)， 所以，， 函数y=log (1 x的定义域是(0,＋吩；
、1 数函数y = loga x (a> 0且a#1)在a>l及O<a<l两种情形下的图像如图所示：
第四章 幕函数、 指数函数和对数函数
幕函数
j 八个常用每函数
幕、 指、 对函数
指数函数
Q<a<l a>1
对数及其运算
对数概念
面数运元正面干———换底公式
反函数
J 求反函数步骤
对数函数 指数对数方程
o<a<m a>l
卢］ 三J 换元、化同底
1帚 寨函数
般地， 函数V =.:寸(k为常数， kEQ)叫做幕函数； 铩函数y· = xk (k E Q,)的性质．，
3量对数及其运算 一般地，如果a (a> O,a * 1)的b次幕等于N，即ab =N,那么b叫做以o为底N的 对数，记作toga J.V = b,其中 q 叫做对数的底数，N叫做哀数；
根据对数定义 ， 可知』）零和负数没有对数，莫数大千零＠l 的对数为 0 ，即log11 l = 0; ＠底的对数等于I，即loga a =1;＠对数恒等式： alog矿N =N成立 ，
＼浅数函数y = loga x (0 < a < I)，当.x > 1时，y <0;当O<x<l时，．y > 0; 性质4 对数函数y = loga x (a > 1)在(0冲允）上是增函数， y = log a x (0 < a < 1
在(0，冲 尸0)上是减函数；
6十 指数对数方程
我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，常用对数log10 N简记作lgN;以无理数
e = 2.. 71828．．．为底的对数叫做自然对数，自然对数loge N简记作hN;，
对数运算性质如果a>O,a 土 1,M >0,N>O，那么：
Moga
M
11
A1
-
Ioga
＠幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限， 且不经过第四象限；如果与坐标轴相 父， 则交点一 定是原点·
＠所有幕函数在（0， 令3)上都有定义， 并且图像都经过点(1, l)
＠若k> O, 豁函数图像都经过点(0、 0)和(L1)，在第 一象限内递增；若k < O, 窟函
数距像只经过点(1,l)， 在第 一象限内递减；