中科院信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案

中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：信号与系统 一、已知当输入信号为)(t x 时，某连续时间LTI 因果系统的输出信号为)(t y ，)(t x 和)(t y 的
波形如图A-1所示。

试用时域方法求：（共26分）
1. 该系统的单位阶跃响应)(t s ，并概画出)(t s 的波形；（12分）
2. 在系统输入为图A-2所示的)(1t x 时的输出信号)(1t y ，并概画出)(1t y 的波形。

（14分）
图A-1 图A-2 二、由差分方程∑=----=--4
])
1[2][(]1[5.0][k k n x k n x n y n y 和非零起始条件
1]1[=-y 表示的离散时间因果系统，当系统输入][][n n x δ=时，试用递推算法求：（共16
分）
1. 该系统的零状态响应][n y ZS （至少计算出前6个序列值）；（10分）
2. 该系统的零输入响应][n y Zi （至少计算出前4个序列值）；（6分）
三、已知连续时间信号)102cos()10(2)]
110(2sin[)(63
3t t t t x ⨯--=-πππ毫安，若它是能量信号，试
求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量；若它是功率信号，则求其功率谱密度函数和它
在单位电阻上消耗的平均功率。

（共14分）
四、已知][~
n x 是周期为4的周期序列，且已知8点序列][~][n x n x =，70≤≤n ，的8点
DFT 系数为： ,0)(,1)6()4()2()0(=====k X X X X X 其他k 。

试求：（共24分） 1. 周期序列][~
n x ，并概画出它的序列图形；（12分）
2. 该周期序列][~n x 通过单位冲激响应为2222
)
2/(sin )1(][n n n h ππ-=的数字滤波器后的输出
][n y ，并概画出它的序列图形；（12分）
五、已知)(t x 是最高频率为4KHz 的连续时间带限信号，（共24分） 1. 若对)(t x 进行平顶抽样获得的已抽样信号
)
(t x p 如图A-3所示，试由
)
(t x p 恢复出)(t x 的
重构滤波器的频率响应)(ωL H ，并概画出其幅频响应和相频响应；（16分）
图A-3
2. 你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现？为实现无失真恢复原信号，需对抽样频率和重构滤波器频率响应)(ωL H 作怎样的修改？（8分） 六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器，试求：（共22分）
1. 它的系统函数)(z H 及其收敛域，并画出它用一个一阶全通滤波器和一个4阶FIR 滤波器的级联实现的方框图或信号流图；（12分）
2. 概画出该数字滤波器的幅频响应
)
(~
ΩH （或)
(Ωj e H ）。

（10分）
图A-4
七、某连续时间实的因果LTI 系统的零、极点见图A-5，并已知
⎰
∞
=_
05
.1)(dt t h ，其中)
(t h 为该系统的单位冲激响应。

试求：（共24分）
1. 它是什么类型的系统（全通或最小相移系统），并求)(t h （应为实函数）；（14分）
2. 写出它的线性实系数微分方程表示；（2分）
3. 它的逆系统的单位冲激响应)(1t h ，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗？（8分）
图A-5
参考答案
一、解
1．按照卷积积分的微分性质，有：)()()('
'
t h t x t y *=
显然，)2()()('
--=t t t x δδ，并由)(t y 波形微分得到)('
t y 波形如图A-6所示，即 即：)1()()(--=t t t h εε 因此，单位阶跃响应为：
)(t s 的波形如图A-7所示。

图A-6 图A-7 图A-8
2．由1.小题已求得：)1()()(--=t t t h εε，则有，)
1()()(--=t t t h dt d
δδ
该LTI 系统当输入)(1t x 时的输出信号)(1t y 为：
其中
⎰∞
-=t
d x t y τ
τ)()(10
由图1.2可得到：)1()1(sin )(sin )]1()()[(sin )(1--+=--=t t t t t t t t x επεπεεπ
)}
1()]1(cos 1[)()cos 1{(1
)
1(sin )(sin )1(sin )(sin )(100---+-=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=⎰⎰⎰⎰∞-∞-t t t t d d d d t y t
t t t επεππ
τετπττετπτττπτεττπτε将)(0t y 代入得所求系统输出为：
)(1t y 的波形如图A-8所示。

二、解：
1．零状态响应][n y ZS 的方程可以化为：
]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------=--n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs ，即
]5[2]4[]3[]2[]1[][]1[5.0][----------+-=n x n x n x n x n x n x n y n y zs zs
且有0,0][<=n n y zi 。

当输入][][n n x δ=时，递推计算出零状态响应][n y zs 的前6个序列值分别为：
1]0[=zs y ；2/1]1[-=zs y ；4/5]2[-=zs y ；8/13]3[-=zs y ；16/29]4[-=zs y ；32/93]5[-=zs y 。

2．零输入响应][n y zi 的递推方程可以化为：
]1[5.0][-=n y n y zi zi ，且有1]1[]1[-=-=-y y zi 。

递推计算出的零状态响应]
[n y zi 的前4个序列值分别为：
2/1]0[-=zi y ；4/1]1[-=zi y ；8/1]2[-=zi y ；16/1]3[-=zi y 。

三、解：
设：)102(102]
102sin[)(3331t Sa t t t x ⨯=⨯=πππ，则有：
)10()(3
12--=t x t x ；
)102cos()()(6
2t t x t x ⨯⨯=π。

由于)(2t x 仅仅是对)(1t x 的时延；)(t x 是对)(2t x 的调制；)(1t x 是能量信号，整个)(t x 是能量信号。

利用帕什瓦尔定理求连续时间信号)(t x 在单位电阻上消耗的能量： 因为：
)
2(
)(ωτ
ττSa t g ⇔，根据傅立叶变换的对称性，有
)
(2)(2)2
(ωπωπτ
τττg g t Sa =-⇔。

令3
104⨯=πτ，则有
)(2)102(104310433ωππππ⨯⇔⨯⨯g t Sa ，即：
因此，
)(21)(31041ωωπ⨯=
g j X 。

由傅立叶变换的时移性质，得 再根据傅立叶变换的调制性质，有 因此，)(ωj X 的幅度频谱为
又因为：
⎩⎨
⎧⨯>⨯<===⨯3
3
10412102,
0102,5.0)(21
)()(3πωπωωωωπg j X j X
)(t x 的幅度频谱)(ωj X 如图A-9所示。

图A-9
)(t x 在单位电阻上消耗的能量x E 为：
四、解：
1. 先利用IDFT 求70],[≤≤n n x ：即
计算得到： ⎩⎨⎧≤≤≠==7
0,4,0,04,0,5.0][n n n n x
][~n x 是][n x 以周期为8的周期延拓，它的序列图形如图A-10所示。

图A-10
即
∑∑∞
-∞=∞
-∞=-=-=
l l l n l n x n x ]4[21]8[][~δ 或者，由于
]
[~n x 是周期为4的周期序列，8点序列70],[~][≤≤=n n x n x ，包含了][~
n x 的
两个完整的周期。

根据DFT 的性质，4点序列30],[~
][0≤≤=n n x n x ，的4点DFT 系数为：30,5.0)2(5.0)(0≤≤==k k X k X ，其中70),(≤≤k k X ，就是已知的8点DFT 系数，
再利用4点序列的序列值：
31,0][,5.0]0[00≤≤==n n x x 。

][~n x 是][0n x 以4的周期延拓，其序列图形如图A-10所示。

2. 解：先求离散时间LTI 系统的频率响应)(~Ωj e H
令：
)(~)2/sin(][11Ω
−−→←=
j DTFT e H n n n h ππ和
)(~][)1(][2
1Ω−−→←-=j DTFT n e H n h n h ，则有 ⎪⎩⎪⎨
⎧>Ω<Ω=Ω2
/,
02/,
1)(~1ππj e H ，在主值区间),(ππ-内。

)(~1Ω
j e H 图形如图A-11所示。

图A-11
图A-12
根据频域卷积性质和频移π的频移性质，则有
)()(~)(~)2/1()(~11πδπ-Ω**=ΩΩΩj j j e H e H e H 。

)(~
Ωj e H 的图形如图A-12所示。

因此，
]
[~n x 的DFS 系数为：
,3,2,1,0,8/1~
±±±==k X k 谱线间隔为2/π=Ω
][~n x 通过)(~Ωj e H 后的输出][n y 也是周期为4 的周期序列，它的DFS 系数为
⎩⎨
⎧±±±=±±±== ,10,6,2,16/1,5,3,1,32/1~k k Y k ，谱线间隔为2/π=Ω 由DFS 的合成公式或DTFT 反变换，输出序列][n y 为
它的序列图形如图A-13所示。

图A-13
五、解：
1．图A-3的平顶抽样信号
)
(t x p 可表示为
)
(])()([)()()(0t h nT t nT x nT t t x t x n n p *-=-=∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=δδ （5-1）
其中
⎩⎨
⎧><<<=2/,0,02/0,1)(0T t t T t t h （5-2）
是零阶保持系统的单位冲激响应。

)(0t h 的波形如图A-14所示。

由于带限信号)(t x 的最高
频率为4kHZ ，抽样间隔T=125微秒，即抽样频率为8kHZ ，故上述抽样是临界抽样。

若令：3
108,0)()(⨯>=−−→←πωωj X t x CFT （假设如图A-14所示）
和
)()(ωj X t x p CFT p −−→← 图A-14 图中3
108/⨯==ππωT M
根据傅立叶变换的频域卷积性质和时域卷积性质，则有
)
()()(21)(0ωωωπωj H j P j X j X p ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧*= (5-3)
其中，)(ωj P 和)(0ωj H 分别是单位周期冲激串∑∞
-∞
=-=
n nT t t p )
()(δ和（5-2）式表示的零
阶保持系统)(0t h 的傅立叶变换，且有 其中4
T j
e
ω-是线性相移因子。

)(0ωH 的实部如图A-14所示，把他们代入（5-3）式，得到
4
)4
(2)]2([1)(T
j k p e
T Sa T T k j X T j X ωωπωω-∞-∞=∑-= (5-4)
)
(ωj X p 的实部如图A-15所示。

如果要从
)
(t x p 恢复出)(t x ，只要把
)
(ωj X p 变成)(ωj X 即可。

由图A-14和图A-15，以
及（5-4）式可知，为了
)
()()(ωωωj H j X j X L p =，重构滤波器)(ωj H L 应为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>
<=T T
e T Sa H T j L π
ωπ
ωωωω,0,)
4/(2
)(4，其中，3
108⨯=ππ
T (5-5)
所求重构滤波器)(ωj H L 的幅频特性)(ωj H L
和相频特性)(ωϕL 如图A-15所示。

图A-15 图中3
108/⨯==ππωT M
2．由1.小题求得的所求重构滤波器)(ωj H L 是不可实现的，理由如下：
1）)(ωj H L 的过渡带等于0，其单位冲激响应0,0)(<≠t t h L ，即它是一个连续时间非因
果滤波器；
2）它的相频特性)(ωϕL 意味着超前2/T ，也无法做到。

为了从图A-3所示的平顶抽样信号)
(t x p 中实现无失真恢复原信号，针对上述两点理由，需要做两个修改： 1）采用过抽样，给重构滤波器留出保护带，比如抽样率增加到10KHz ； 2）重构滤波器)(ωL H 修改为
⎪⎩⎪
⎨⎧
⨯>⨯<=4310,0108,)
4/(2)(πωπωωωT Sa j H L ， (5-6)
在)(ωj H L 的过度带
)10108(4
3⨯<<⨯πωπ范围内，=)(ωL H 任意，只要可实现就行。

这样，)
(t x p 通过（5-6）式的重构滤波器)(ωL H 的输出为)2/(T t x -。

六、解：
1．由图A-4所示的信号流图可得：
)(1.0)(5.0)(1z X z z W z W +=-，即：
)
(5.011
.0)(1z X z z W --=
(6-1)
)()21(5
4321z W z z z z z ----------= (6-2) 式（6-1）代入式（6-2）得
根据系统函数的定义得该数字滤波器的系数函数为
)1(5.01)21(1.043211
1------++++--=z z z z z z ，5.0>z
由于
122
2
5.01)21()(111--=--=--z z z z z H ，且5.0>z ，所以，对应的系统频率响应为： 其中：)1cos 2sin 2arctan cos 2sin (arctan )(-ΩΩ+Ω-Ω-=Ωϕ。

因此，一阶系统函数1
15.01)21(----z z 是
一阶全通函数。

)1(4
321----++++z z z z 是4阶FIR 滤波器的系统函数，两者相乘即为两个滤波器级联，其级联实现方框图见图A-16。

图A-16 2．由1.小题求得的系统函数可写为：
)()()(210z H z H H z H =
其中，1.00=H ；
11
15.0121)(----=
z z z H ，它是一个全通系统，极点5.0=p ，零点2=z ；
和)1()(4321
2----++++=z z z z
z H ，它是FIR 滤波器。

因此，数字滤波器频率响应为：
)()()(210ΩΩΩ=j j j e H e H H e H ，该数字滤波器幅频响应为：
其中，1.00=H ，2)(1
=Ωj e H 。

FIR 滤波器)(2z H 的单位冲激响应][2n h 为 ][2n h 序列图形见图A-17，其频率响应为：
它的幅频响应为：
)2/sin()
2/5sin()(2ΩΩ=
Ωj e H ，如图A-18所示。

因此，该数字滤波器幅频响应为：
)2/sin()
2/5sin(2
.0)(ΩΩ=Ωj e H ，如图A-19所示。

图A-17 图A-18
图A-19
七、解： 1．由于该滤波器的零点全部在S 左半平面，因此，该因果系统为最小相位滤波器，由图A-5的系统零、极点分布，可写出其系统函数为
)2](4)1[()
3()1()(220
+++++=s s s s H s H ，1]Re[->s
由于
5
.1)(_
0=⎰
∞
dt t h ，由
⎰∞
--=0
)()(dt
e t h j H t j ωω可知，
5.1103
)()0()(0
00
=====∞⎰-H s H H dt t h s ，因此，50=H 。

最终得到该系统的系统函数及
其收敛域如下：
1094)
375(5)(23
23++++++=s s s s s s s H ，1]Re[->s
将上述有理系统函数用部分分式展开为
由于是因果LTI 系统，其,0,0)(<=t t h 因此，对上述部分分式反拉氏变换求得
2．由系统函数
)()
(1094)375(5)(2
323s X s Y s s s s s s s H =++++++=，可得 根据单边拉斯变换的微分性质，可得系统输入输出微分方程为： 3．该系统的逆系统之系统函数)(1s H 及其收敛域为
]
)3()1(7
21[2.0)3()1(10942.0)(222231++++-+=+++++=s s s s s s s s s s H ，1]Re[->s
并进一步展开为部分分式，即
34
.012.0)1(4.02.0)(21+-
++++
=s s s s H ，1]Re[->s
这是一个因果稳定的系统函数，对上述部分分式进行反拉氏变换求得 因此，该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。

中科院2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：信号与系统
一、试求解下列小题：（每小题10分，共60分）
1. 已知一个以微分方程()()()
t x t y dt y d =+2表示的连续时间因果LTI 系统，当其输入信号
为()()2)(--=t t t x εε时，试必须用时域方法求该系统的输出()t y ，并概画出()t x 和()t y 的波形。

2. 某稳定的连续时间LTI 系统的频率响应为()()
111+-=
+-ωωωj e j H j ，试求其单位阶跃响()t s 。

3．已知序列值为2、1、0、1的4点序列][n x ，试计算8点序列
[]⎩⎨
⎧≠==l n l n n x n y 2,02,2/][（其中l 为整数）离散傅立叶变换()k Y ,=k 0,1,2,3,4,5,6,7。

4．概画出离散时间序列
[]()[]
∑∞
=--=0
41k k
k n n x ε的序列图形，并求它的Z 变换()z X ，以
及概画出()z X 的零极点图和收敛域。

5．某个实际测量系统（LTI 系统）的单位阶跃响应
()()
()t e t s t ετ
/1--=，τ为系统的时间常数。

显然，它不能瞬时响应被检测信号的变化。

试设计一个补偿系统，使得原测量系统与
它级联后的输出信号，能对被检测信号做出瞬时的响应，即能准确地表示被检测信号。

请给出你设计的补偿系统的特性（单位冲激响应或频率响应）。

6．如图A-1所示信号流图的数字滤波器，已知有始输入数字信号[]n x 的序列值依次为4，1，2，0，－4，2，4 ，试求该数字滤波器输出[]n y 的前5个序列值。

图A-1
二、已知当输入信号为()()()2--=t t t x εε时，某连续时间因果LTI 系统的输出信号为
()()()()11sin sin --+=t t t t t y επεπ。

试求：（每小题10分，共20分）
1. 该系统的单位冲激响应()t h ，并概画出()t h 的波形；
2. 当该系统输入为()()()11--=t t t x εε时的输出信号()t y 1，并概画出()t y 1的波形。

三、已知由差分方程[][][][][][]
121
4312811410-----=---+∑∞=k n x n x n x n y n y n y k k 表
示的因果数字滤波器（即离散时间因果LTI 系统），试求：（共20分） 1. 该滤波器的系统函数()z H ，并概画出其零极点图和收敛域；（8分）
2. 该滤波器稳定吗？若稳定，概画出它的幅频响应()
ΩH ~
或()
Ω
j e H ，并指出它是什么类
型的滤波器（低通、高通、带通、全通、最小相移等）；（6分）
3. 画出它用离散时间三种基本单元构成的级联实现结构的方框图或信号流图；（6分）
四、已知一个以微分方程()()()12-=+t x t y dt t dy 和
()10=-
y 的起始条件表示的连续时间因果系统，试求当输入为()()()t t t x ε2sin =时，该系统的输出()t y ，并写出其中的零状态响
应()t y zs ，和零输入响应分量()t y zi ，以及暂态响应和稳态响应分量。

（15分）
五、某因果数字滤波器的零、极点如图A-1(a)所示，并已知其()
1-=π
j e H 。

试求：（共15
分）
1. 它的系统函数()z H 及其收敛域，且回答它是IIR 、还是FIR 的甚么类型（低通、高通、
带通、带阻或全通）滤波器？（6分）
2. 写出图A-2(b)所示周期信号[]n x ~
的表达式，并求其离散傅立叶级数的系数；（5分） 3. 该滤波器对周期输入[]n x ~
的响应[]n y 。

（4分）
（a ） （b ）
图A-2
六、图A-3所示的连续时间信号抽样传输系统，已知系统的输入信号()()
2232104sin t t t x ππ⨯=
，
抽样间隔ms T 1.0=，图A-3中的信道滤波器是一个实的升余弦滚降带通滤波器，其频率响
应()f H BP 如图A-3(b)所示。

试求：（共20分） 1．()t x 的频谱()ωX ，并概画出()ωX 以及
()
t x p 、()t y 的频谱
()
ωp X 、()ωY ；（12分）
2．试设计由系统输出()t y 恢复出()t x 的系统，画出该恢复系统的方框图，并给出其中所用系统的系统特性（例如，滤波器的频率响应等）。

（8分）
（a ） （b ）
图A-3
参考答案
一、(每小题10分，共60分)
1. 解：对一阶因果LTI 系统的微分方程取单边拉斯变换，得：)()(2)(s X s Y s sY =+
因此，系统函数为：
()21
)()(+=
=
s s X s Y s H ，()2Re ->s ，取反变换求得系统的单位冲激响
应为：
()()t e t h t
ε2-=。

当输入信号为()()2)(--=t t t x εε时，根据卷积运算可得系统的输出()t y 为
()t x 和()t y 的波形概图如图A-4（a ）、（b ）所示。

（a ） （b ）
图A-4
2. 解：
方法1：先用反傅立叶变换由()ωj H 求得系统的单位冲激响应()t h ，再对()t h 积分求得系统的单位阶跃响应()t s ，即
对上式求反傅立叶变换，得到系统的单位冲激响应为： 因此，系统的单位阶跃响应为： 因为：
⎰>----==0
)
()1()(*)(t t t
t e d e t t e ετεετ。

根据卷积的时移性质，得
方法2：先由系统的频率响应()ωH 写出其系统函数及其收殓域，即
()111+-=
--s e e s H s
，()1Re ->s
那么，()t s 的拉氏变换即为
()()111+-=
--s s e e s S s
，()0Re >s
对()s S 部分分式展开，即
因为：s t 1)(⇔
ε，s e s t -⇔-1)1(ε；
11)(+⇔-s t e t ε，s
t e
s t e ---+⇔-11)1()1(ε，因此系统的单位阶跃响应()t s 为
3．解：先用DFT 公式，或4点DFT 的矩阵计算式，即
()[][]()()()
k
k
nk
n nk j
n j j j n x e
n x k X 33
4
23
2-+-+=-==∑∑=-=π，3,2,1,0=k
或者，
()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡101211111111111
13210j j j j X X X X ＝ 求得[]n x 的4点DFT 为：
()40=X ，()21=X ，()02=X ，()23=X
由于[]][2,02],2/[)2(n x l n l n n x n y =⎩⎨⎧≠==，因此，()()Ω=Ω2~~X Y ，其中()ΩY ~和()ΩX ~
分别
是[]n y 和[]n x 的离散时间傅立叶变换（DTFT ）,再依据DFT 与DTFT 之间的关系，可以求
得[]n y 的8点DFT 为：
4．解：[]n x 的序列图形如图A-5所示。

图A-5
由上图，[]n x 可改写为：
[][][]()[]
∑∞
=-*--=0
84k k n n n n x δεε，其Z 变换()z X 为
()()
()()
4184
111111111-----+-=
---=
z z z z z z X ，1>z 。

或者，直接对
[]()[]
∑∞
=--=0
41k k
k n n x ε求Z 变换，得到
()()(
)(
)()
)1)(1(111111145
4
10410
14+-=+-=--=--=--∞=--∞
=--∑∑z z z z z z z z z z X k k
k k k
，1>z
很显然，0=z 是)(z X 的5阶零点；1=z 是()z X 一阶极点、4
/)12(π+=k j e z （3,2,1,0=k ）
是()z X 的两对共轭极点，其零极点如图A-6所示。

图A-6
5．解：根据题意，要设计的补偿系统就是该实际测量系统（因果LTI 系统）的逆系统。

为此，先求该实际测量系统的系统函数()s H ，它的()t s 的拉氏变换()s S 为
()()()[]τττ/1/1/111+=
+-=
s s s s s S ，()0Re >s
该实际测量系统的系统函数为：
()()()[]ττ/1/1+=
⨯=s s s S s s H ，()τ1
Re -
>s
要求的补偿系统的系统函数为：()()[]ττ/1+=s s H I ，收敛域为有限S 平面。

其频率响应为： 或单位冲激响应为：
6．解：设图A-1输入端节点的输出为)(z M ，则有
)(25.0)(5.0)()(32z M z z M z z X z M --+-=，即
)
(25.05.011
)(32z X z z z M ---+=
(1.6-1)
由输出端节点可得：
)()25.01()(25.0)()(33z M z z M z z M z Y ---=-= (1.6-2)
将式(1.6-1)代入式(1.6-2)得
)
(25.05.0125.01)(323z X z z z z Y ----+-= (1.6-3)
由式(1.6-3)可得：
该因果数字滤波器的系统函数差分方程为： 其后推方程为：
代入已知的有始输入[]n x 的序列值，且假定起始时刻为0时刻，求得[]n y 的前5个序列值分别为：
[]40=y ， []11=y ， []045.022=⨯-=y
由于系统是因果LTI 系统，所以对于输入可以认为是从0开始，也可以认为是从大于0的某个时刻开始，但是，前5个序列值应该是不变的。

二、解：
1．方法1：因为：s e s X s
21)(--=，由2
0200)()sin(ωωεω+⇔s t t 可得
因此，系统函数为：
因为：2
020)()cos(ωεω+⇔s s t t ，Ts n e nT t -∞
=-⇔-∑11
)(0
δ，因此，根据时域卷积性质和拉斯变换的时移性质，可得系统的单位冲激响应为
()t h 的波形如图A-7所示。

图A-7
方法2：()t x 、()t y 和()t x 1的波形如图A-8所示。

（a ） （b ） （c ）
图A-8 先求系统的单位阶跃响应()t s ，再对()t s 微分得到其单位冲激响应()t h 。

由于()())]1()([sin 11sin )(sin )(--=--+=t t t t t t t t y εεπεπεπ，由上图的()t x 可得
()()
∑∞
=-=0
2k k t x t ε，根据LTI 系统的性质，对应输出()t s 为：
()t h 的波形如图A-7所示。

2．因为
s e s X s --=1)(1，因此，22
11)()()(ππ
+==s s H s X s Y ，对其取拉斯反变换，得 )()sin()(1t t t y επ=。

()t y 1的波形如图A-9所示。

图A-9
三、解：
1．差分方程可以写成：
对上面方程两边取Z 变换，得到 因此，系统函数为：
()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
=---111
21121121z z z z X z Y z H ，收敛域为：21
>z
其零极点如图A-10所示。

图A-10 图A-11
2. 因为收敛域包含单位圆，因此该滤波器稳定。

该系统相当于一个一阶全通滤波器()1
1
121121----=
z z z H ap 与一个一阶高通滤波器
()122111
-+=
z z H 的级联，因此，它是一个高通滤波器。

其中，()
21=Ωj ap e H ，
()
)2/(cos 812
22Ω+=
Ωj e H ，因此，该系统的幅频响应为：
其图形如图A-11所示。

3. 该系统的级联实现结构的方框图或信号流图如图A-12所示。

（a ）系统方框图 （b ）信号流图 图A-12
四、解：
先求零输入响应()t y zi ，它满足的方程和起始条件为
()
()02=+t y dt t dy zi zi ，()()1
00==--y y zi 对上式取单边拉氏变换，求得()t y zi 的像函数为：
()21+=s s Y zi 。

取单边反拉氏变换，得到零输入响应为：()t
zi e t y 2-=，0≥t
求零状态响应()t y zs ：对它而言，系统就成为如下微分方程表示的因果LTI 系统：
对上式取单边拉氏变换，并考虑到：
()()()()42
2sin 2+=
⇔=s s X t t t x ε，则有零状态响应
()t y zs 的拉氏变换像函数为：
()()()
s s
zs e s s s s e s s s Y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+=++=
225.0425.045.04222
22
因为：
20200)()sin(ωωεω+⇔
s t t ，2020)()cos(ωεω+⇔s s t t ，
αεα+⇔-s t e t 1)(，并利用拉斯变换的时移性质，可得系统的零状态响应为：
系统全响应()()()t y t y t y zi zs +=为：
其中，暂态响应()t y rs 和稳态响应()
t y ss 分别为：
五、解：
1． 由该因果滤波器的零极点图，可以写出它的系统函数为：
())1(1
))((2222
-+=+=-+=z k z z k z j z j z k z H ，0>z
其中，k 为常数。

由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为：
已知
()
1-=πj e H ，因此，()
k
e e k e
H j j j 21
122=+=-=ΩΩπ
，求得常数5.0-=k ，由此，滤
波器的系统函数为：()()
2
15.0-+-=z z H ，
0>z 其频率响应为：())
()cos()(Ω-=ΩΩ==Ωπj e z j e z H e H j
很显然，该滤波器是FIR 滤波器，且是带阻滤波器。

2． 周期为4的周期信号[]n x ~
的表达式为： 可以用两种方法求得[]n x ~的离散傅立叶级数的系数k X ~，且为：
因此，其一个周期内的系数分别为：
[]10~=X ，[]5.01~=X ，[]02~=X ，[]5.03~
=X
3． 由该滤波器零极点图可知：在频率2/π=Ω和2/3π=Ω处，频率响应为零，即 ()()02/3~2/~==ππH H ；而在频率0=Ω处，频率响应为()10~-=H ，因此，滤波器当[]
n x ~输入时的输出[]n y 只有直流分量，即[]n y ＝－1。

六、解：
1． 输入信号：()()()()
t t
t t t t t x ππππππ332
232104sin 104sin 104sin ⨯⨯⨯=⨯=
由于
)
2(
)(ωτ
ττSa t g ⇔，根据傅立叶变换的对称性，有
)
(2)(2)2
(ωπωπτ
τττg g t Sa =-⇔，令3
108⨯=πτ，则有
)(2)104(108310833ωππππ⨯⇔⨯⨯g t Sa ，即
如图A-13（a ）所示。

设3
104⨯=πw ，利用傅立叶变换的频域卷积性质和微积分性质，
以及
)()()()
1(ωεωωεω-==r ，可求得()t x 的频谱()ωj X 为： 频谱图形如图A-13（b ）所示。

（a ） （b ）
A-13
由于抽样间隔s T 410-=，s rad /1024⨯=πω，且信号()t x p 为：())
()(t p t x t x p =，
因此，
()
t x p 的频谱为：
())(*)(21
ωωπωj P j X j X P =
又因为：∑∑∞
-∞=∞
-∞=⨯-⨯=⨯-=n n n n T j P )
102(102)102(12)(44
4πωδππωδπω
因此，
()∑∞
-∞
=⨯-=n P n j X j X )]
10
2([10
4
4
πωω，其图形如图A-14所示。

图A-14
()t y 的频谱()()()ωωωj H j X j Y BP P =，又由于)(ωj H Bp 的下限截止角频率为：
s rad l /10500024⨯=⨯=ππω，上限截止角频率为：
s rad h /1031500024
⨯=⨯=ππω，因此，()t y 的频谱图形如图A-15所示。

图A-15
2． 由图A-15可以看出，()t y 的频谱()ωj Y 是()t x 正弦调制后的频谱，它可以写成
由于：
)]}
(
[
)]
(
[
{
2
1
)
cos(
)(
ω
ω
ω
ω
ω+
+
-
⇔j
Y
j
Y
t
t
y
，因此，有
因此，可用正弦调制的相干解调恢复出()t x
，这个恢复系统的方框图如图A-16（a）所
示，其中的
()ωj
H
L是一个理想低通滤波器，其滤波特性如图A-16（b）所示。

（6分）（a）（b）
图A-16。