二次型的标准型和规范型

5.2 over
1 , 2 , , n为A的n个特征值.
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 .
问题 : 设A为实对称矩阵 , 求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . 方法 : (1)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ Q 1 AQ为对角矩阵 . 令P Q即可. (2)求一正交变换 x wenku.baidu.comQy(Q为正交矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为标准形 . 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换 x Py( P为可逆矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
d2
dn
将二次型化为标准形: 1. 配方法
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 . 例2 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 . 注 : 无平方项(仅含交叉项)时, 令... Th5.3(1)任一(实)二次型都可经有限次可 逆的线性变换化为标准 形. (2)实对称矩阵A, 可逆矩阵P, 使PT AP为对角矩阵 .
2. 正交变换法
. 正交变换：x Qy, 其中Q为正交矩阵
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q, 使QT AQ为对角矩阵 . (2)任一二次型都可经正交 变换化为标准形 ,即 二次型f ( x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
2 2 将其化为标准形 g ( y1 , y2 , , yn ) 1 y12 2 y2 n yn , 其中
对角矩阵 方法： A 对等的初等行、列变换 E 同样的初等列变换 C C T AC为对角矩阵 . 作线性变换x Cy, 则可将二次型 f ( x) xT Ax化为标准形 g ( y ) y T (C T AC) y.
2 2 例4 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3化为标准形 .
5.2 二次型的标准形与规范形 二次型的标准形:
Cy 二次型f ( x) xT Ax 可逆的线性变换 x 2 2 标准形 : g ( y ) y T (C T AC) y d1 y12 d 2 y2 d n yn .
d1 标准形的矩阵: B C T AC
小结 : 设A为实对称矩阵 , (1)求一可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角矩阵 . (2)求一正交矩阵 Q, 使Q 1 AQ为对角矩阵 . (3)求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . (4)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ为对角矩阵 .
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f ( x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵 . (2)任一方阵均可利用对等 的初等行、列变换化为 对角矩阵. 这里, " 对等" 指的是作一次初等行变 换后, 立即再作一次同种的初 等列变换.
例5 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 .
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 g ( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d p y 2 p d p 1 y p 1 d r y r ,
秩： r
其中p r n, d i 0, i 1, , r.
正惯性指数： p
负惯性指数： r p 符号差： p (r p) 2 p r 矩阵 A 的正、负惯性指数
定理5.4（惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为
规范形，且规范性唯一.
Ep 推论1任一实对称矩阵 A合同于对角矩阵 E . r p O 推论2设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵 , 则A与B合同 二者有相同的 秩和正惯性指数 . 推论3设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵 , 则A与B合同 二者的正、负 特征值的个数分别相同 .