广东省六校2019届高三第三次联考理科数学(解析版)

16.数列
的前 n 项和为 ，已知
，
，若数列 为等差数列，则
=______．
【答案】666
【解析】
【分析】
求得数列 的前 6 项之和，再由
，
，表示数列
项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和
【详解】解：设数列 为公差 d 的等差数列，
的项的和，结合等差数列的通
由
，
，
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
试题解析：（1）由正弦定理得，
,
即
，
故
，所以 .
（2）设
，则
，于是
.
即.
由余弦定理得
.
所以
.
考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
18.如图， 是以 为直径的圆 上异于 的点，平面
平面 ，
,
，分
别是
的中点，记平面 与平面 的交线为直线 ．
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）直线 上是否存在点 ，使直线 分别与平面 、直线 所成的角互余？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线 l 上存在点 Q 满足题意，|AQ|=1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出 面 ，从而得到 ，再由已知条件推导出 面 ，由此
证明 平面 ．
时有一个最大值 ，所
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
以，要使方程
有四个实数根， 的值一个要在
内，一个在
后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解 的取值范围
【详解】解：
，
当 时，
恒成立，所以 在
当 时，
，
由
，得
，当
时，
当
时，
， 为减函数，
所以函数
的极大值为
，
极小值为：
，
令
，由韦达定理得：
5.在
的展开式中， 的系数是 224，则 的系数是（ ）
A. 14 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 28
C. 56
D. 112
首先求出在
的展开式中的通项，然后根据 的系数是 224，求出次数 n 的值，再根据通项求出 为
第几项，代入通项求出系数即可得到答案
【详解】解：因为在
的展开式中，
，
令
则
，∴
此时若
，则当
此时方程
至多有两个实根，
若
，则当
要使方程
有四个实数根，
则方程
应有两个不等根，
且一个根在
内，一个根在
内，
再令
，
因为
，①
，则
，②
则只需
，即
，
所以
，③
上为增函数； ， 为增函数，
由①②解得：
，④
内，然
由③④得到：
，
，
所以
∴ 故选：A 【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了
【详解】解：∵
是偶函数，
∴ ∴ ∴
∴
，函数为增函数，
∵
，∴
故选：C
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
12.已知函数
，关于 x 的方程
有四个不等实根，
立，则实数 的最大值为（ ）
恒成
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
函数
是分段函数，通过求导分析得到函数 的单调性，并求出当
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
【答案】 【解析】 ∵阴影部分面积为
∴飞镖落在黑色部分的概率为
故答案为
点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何 概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标 系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点， 尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
注意向量法的合理运用．
19.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,
通过抽样,得到 位教师近 年每人手机月平均使用流量 (单位: )的数据,其频率分布直方图如下：
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.
（Ⅱ）以 坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法求出直线 上存在点 ，使直线 分别与平面 、直线 所成的角互余，
【详解】（Ⅰ）证明：∵ 分别是
的中点，
又 平面 ， 不包含于平面 ，
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
∴ 面，
又 面 ，面
面
，
∴，
又
，面
面
，
面
面 ，∴ 面 ,
∴直线 平面 ．．
（Ⅱ） 坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于面
的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
设
，面 的法向量为
则
取
，得
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， ,
|,
依题意，得
∴
∴直线 上存在点 ，使直线 分别与平面 、直线 所成的角互余，
．
【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，
，第二次用“调日
法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即
,第三次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似
值，即
,第四次用“调日法”后得
考点：合情推理.
是 的更为精确的过剩近似值，即
,故选 A.
努力的你，未来可期！
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【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第
B. 1
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到 B 为 CE 的三等分点，在直角三角形 ACB 中，结合正切的定义进 行求解即可 【详解】解：假设 A 在第一象限，
过 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 D，E，
过 A 作 EB 的垂线，垂足为 C，则四边形 为矩形
，则
的值是（ ）
A. 14 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 15
C. 16
D. 17
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
先由等差数列的性质 【详解】解：依题意，由
得 ，再用性质求解
，得
，即
所以
故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础
(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取 人,求这 人中至多有 人月使用流量不超过
A. 3 C. －2 【答案】B 【解析】
B. 2 D. －3
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则
，
，若
过点 A 时
取得最大值 4，则
．此时目标函数为
，即
，平移直线
，当直
线过点 A 时截距最大，此时 z 的最大值为 4，符合题意．若
过点 B 时取到最大值 4，则
判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可
【详解】解：函数
，
，
，
，则函数 为非奇非偶
函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C，D，当
，排除 B，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键
7.已知 x，y 满足约束条件
若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝ ( )
可得
两式相减可得
，
由
，解得
，
则 可得 故答案为：666 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档 题
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 的三个内角 所对的边分别为 ，且
.
（1）求 ；
（2）若
，求角 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】 试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（2）设 b=5t（t＞0），由（I）可求 a=3t，由已知 可求 c=7t，由余弦定理得 cosC 的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．
一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值”的 等于
，那第二次第三次第四次都是用
这个公式计算的.在 2016 年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.
10.设 F 为抛物线
的焦点，斜率为
的直线过 F 交抛物线于 A、B 两点，若
，则直
线 AB 的斜率为（ ）
A.
由抛物线定义可知
,
又∵
，
∴
，即 B 为 的三等分点，
设
即
则
，
即直线 AB 的斜率
努力的你，未来可期！
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故选：D 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关 键
11.已知
是偶函数，则（ ）
A.
且
B.
且
C.
且
D.
且
【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数的偶函数，求出 b，确定函数单调递增，即可得出结论
数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （ ， ， ，
），则 是 的更为精确的不足近似值或过
剩近似值．我们知道
…，若令
，则第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近
似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 的近似分数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即
，
再令
，则 为第 6 项．
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
∴
则 的系数是 14．
故选：A
【点睛】此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求
一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．
6.函数
的大致图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
，此时目标函数为
，即
，平移直线
，当直线过点 A 时截距
最大，此时 z 的最大值为 6，不符合题意．
．
考点：简单的线性规划． 【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决 此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确 画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最 值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 （）
拼搏的你，背影很美！
广东省六校 2018-2019 学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）
（2 月份）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.设集合
,则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合 ，然后根据交集定义求结果
【详解】解：
A. B.
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图知该几何体是 4 个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为 【详解】解：由三视图知该几何体是 4 个面均为直角三角形的三棱锥，
故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为 ．所以表面积为 ． 故选：C 【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题 9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实
则 故选：C 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题
2.若复数
，其中 是虚数单位，则复数 的模为( )
A.
B.
C.
D. 2
【答案】B 【解析】
试题分析：
，所以复数 z 的模为
考点：本题考查复数的运算 点评：解决本题的关键是 会复数的运算，知道复数的模为
3.等差数列 中，若
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
有四个实数根
则
故答案为：-4
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题
14.已知向量
，
且 在 上的投影为 3，则 与 角为______.
【答案】【答案】 .
【解析】
试题解析：
在 上的投影为 3，
，
，
，向量 与 夹角为
考点：平面向量 15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如 图所示的窗棂图案，是将半径为 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以 为半径画圆弧，在圆的内部构 成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概 率是__________．
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程 时 的取值情况，此题属于中档题
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.已知
，则
=______．
【答案】-4 【解析】 【分析】 把已知等式两边平方可得
的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果
4.已知函数
向右平移 个单位后，所得的图像与原函数图像关于 轴对称，则 的最小正值为
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
试题分析：原函数向右平移 个单位后所得函数为
其与原函数关于 轴对称，则必有
，由三角函数诱导公式可知 的最小正值为 ，故本题的正确选项为 D.
考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.