2020高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和学案5

第1课时 等比数列的前n 项和

学习目标：1.掌握等比数列的前n 项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．等比数列前n 项和公式 等比数列的前n 项和公式

思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n? [提示]可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法

(1)推导等比数列前n 项和的方法

一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为：

S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ①

用公比q 乘①的两边，可得

qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ②

由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n

，

整理得S n ＝a 11－q n

1－q

(q ≠1)．

(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.

思考：等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法吗？ [提示] 根据等比数列的定义，有：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n

a n －1

＝q ， 再由合比定理， 则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n

a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1

＝q ，

即

S n －a 1

S n －a n

＝q ，进而可求S n . [基础自测]

1．思考辨析

(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝

a 11－q n

1－q

来求．( )

(2)若首项为

a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .( )

(3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n

＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *

)，则此数列一定是等比数列．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√

提示：(1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．

(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .

(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 11－q n 1－q (q ≠0且q ≠1)变形为S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且

q ≠1)，若令a ＝

a 1

1－q

，则和式可变形为S n ＝a －aq n

.

2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则S 5＝________.

31 [S 5＝a 11－q 51－q ＝1－2

5

1－2

＝31.]

3．数列12，24，38，4

16

…的前10项的和S 10＝________.

【导学号：91432215】

509256 [S 10＝12＋24＋38＋…929＋10

210， 则12S 10＝14＋28＋…＋9210＋102

11. 两式相减得，12S 10＝12＋14＋18＋…＋1210－10211＝12⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12

－10211，所以S 10＝509

256

.]

4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．

11(1.15

－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12

a,1.13

a,1.14

a,1.15

a .所以1.1a ＋1.12

a ＋1.13

a ＋1.14

a ＋1.15

a ＝a ·1.1－1.16

1－1.1

＝11(1.15

－1)a .]

[合 作 探 究·攻 重 难]

等比数列基本量的运算

在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5

4

，求S 5；

(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . 【导学号：91432216】 [解] (1)由题意知

⎩

⎪⎨⎪⎧

a 11＋q ＝30，a 11＋q ＋q

2

＝155，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝5，q ＝5，或⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 1＝180，q ＝－5

6.

从而S n ＝14×5n ＋1－5

4

或

S n ＝

1 080×⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n

11

.

(2)法一 由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＋a 1q 2

＝10，a 1q 3＋a 1q 5

＝54，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝8，q ＝1

2

，从而S 5＝a 11－q 51－q ＝31

2

.

法二 由(a 1＋a 3)q 3

＝a 4＋a 6， 得q 3

＝18，从而q ＝12.

又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2

)＝10，

所以a 1＝8，从而S 5＝a 11－q 51－q ＝31

2

.

(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，

所以a 1，a n 是方程x 2

－66x ＋128＝0的两根．

从而⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝2，

a n ＝64

或⎩⎪⎨⎪⎧

a n ＝2，

a 1＝64.

又S n ＝

a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12

. [规律方法]

1．在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

1．在等比数列{a n }中，

(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .