2020版高考数学一轮复习教案 第6章_第4节_合情推理与演绎推理(含答案解析)

第四节合情推理与演绎推理

[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．

1．合情推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

[常用结论]

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理，演绎推理是证明结论的推理．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理． ( )

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．

( )

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．

( )

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )

A ．归纳推理

B ．类比推理

C ．演绎推理

D ．以上都不是

B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]

3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )

A ．a n ＝3n －1

B ．a n ＝4n －3

C ．a n ＝n 2

D ．a n ＝3n －1

C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]

4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x

是指数函数(小前提)，所以函数y

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误 B ．小前提错误导致结论错误 C ．推理形式错误导致结论错误 D ．大前提和小前提错误导致结论错误

A [“指数函数y ＝a x 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范

围没有确定，所以导致结论是错误的．]

5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面面积比为1∶4，对应高之比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.]

►考法1

【例1】(1)给出以下数对序列：

(1,1)；

(1,2)(2,1)；

(1,3)(2,2)(3,1)；

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；

…

记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()

A．(m，n－m＋1)B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)

(2)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.

(1)A(2)n2[(1)由已知可得，第i行第j列个数对a ij＝(j，i－j＋1)，因此a nm＝(m，n－m ＋1)，故选A.

(2)由已知中

1＝12，

1＋2＋1＝4＝22，

1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，

…

归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2.] ►考法2 与式子有关的推理

【例2】 (1)(2019·青岛模拟)观察下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 2π3-2＝43×1×2； ⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 4π5-2＝43×2×3；

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2＝43×3×4；⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2＋

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2＋…＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫sin 8π9-2＝43×4×5；

…… 照此规律，

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1-2＋…＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫sin 2n π2n ＋1-2＝________. (2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，归纳得x ＋a x

n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________. (1)43n (n ＋1) (2)n n [(1)根据所给等式知，等式右边是三个数的乘积，第一个数是4

3，第二个数是左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，第三个数比第二个数大1，故所求结果为4

3n (n ＋1)．

(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .]

►考法3 与图形变化有关的推理

【例3】 (2019·成都模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑