曲线拟合的理解和研究

曲线拟合的理解和应用

曹明轩精仪学院1014202029

曲线拟合

在我们的实验测试中，都会得到海量的数据。为了更好地了解这些数据或者从数据中，做出预测、判断，给实验者提供重要的参考。我们必须对得到的数据做拟合，得到能充分反映数据的内在规律的函数。

在所有的拟合方法之中，曲线拟合具有重要的应用前景。曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把既有数据通过数学方法代入一个数学表达式的方法。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。曲线拟合主要是可以分为三步：

确定曲线拟合的函数模型

在科学实验和社会实践中,我们常常需要观测很多数据的规律, 通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（x i，y i）(i=1,2, …，N),其中x i是彼此不同的。我们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x 与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据f(x,c)。常称作拟合模型，当c在和x满足中线性关系时，称为线性模型，否则称为非线性模型。线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，有时很难确定参数之间存在着何种关系，是线性还是非线性，如果是非线性，那是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数等，甚至是它们的复合函数，有时还需要分段分析，因此在整个拟合过程中，拟合曲线函数模型的确定是最困难的。

对于拟合函数的模型确定，一般来说，主要有观察法，近似法以及计算法。目前使用比较多的是观察法。观察法是利用数学工具对已有的数据点的分布，初步确定其最可能的函数关系，这种方法最大的特点是简单直观。

确定法方程求解参数

实际上确定法方程求解参数就是对对误差平方和最小值的求解，假设已知数据点（x i ，y i ）（i=0,1，...，m ），Ф为所有的次数不超过m 的多项式构成的函数类，现求

φ∈-=∑=m

i i i k y x f xi fk 0])([)(，

使得 min )(])([0

2

=-=-=∑∑∑===n i n

k k i k m

i i i k yi x a y x f I

由于上式为多元函数，其最小值存在的必要条件是其对应偏导等于零，由此可得，

0)(200

=-=∂∂∑∑==m i j i i k i n

i k j x y x a a I

j=0,1，...，n

即

∑∑∑===+=m

i i j i n k k m

i k

j i

y x a x

)( j=0,1，...，n

上式称为法方程，通过该方程可求出唯一解a k （k=0,1，...，n ），从而确定拟合函数。

关于∑==n

k k i k i k x a x f 0)(，当k=1时，为线性拟合；当k>1，为多项式拟合。

如果函数模型为其他非线性函数，在整个求解过程中应当先将非线性函数转化为

线性函数，再根据上面的过程计算。

此外，上述过程也可以通过Matlab自带的函数polyfit自动计算。这为广大工程技术人员的设计大大的减小了计算量。

曲线拟合性能检验

最后，当拟合曲线模型很难通过一般方法确定时，往往需要通过分析若干可能的函数模型后，经过实际计算后再进行比对，最终选定较好的模型。替班来说，最小误差平方和越小说明曲线拟合越好，有些文献也通过相关系数R的值来判断拟合的优劣。

使用举例

在摩擦试验中，当量电压为-285V时，伺服电机开启后，时间与速度的实际测试结果如表中所示，

表中的数据量足够大，可以利用这些数据来进行拟合。得到拟合曲线后的好处是我们可以将物理问题数学化，如果模型选的好，该数学模型就可以指导我们的工作，为我们的设计提出指导依据。

现在我们就利用MATLAB对现有的数据进行曲线拟合，首先将数据输入到matlab中，并去掉其中的坏点（明显不符合规律的点，这些点是由于一起的误

差产生的），的数据点的图像：

根据力学物理知识，当加速度一定时，时间和速度是成一定比例的，问题是不知道加速度如何变化，所以时间和速度并不一定是线性关系，另外从上图中看不出明显的数学关系，所以对本体进行了线性，多项式二次，三次，五次，幂函数，对函数曲线拟合，并比较最优拟合。下面是各种拟合的结果：

1.线性拟合

得到线性拟合函数：y=1.352x+0.0753

误差平方和e=0.0393

2.多项式二次拟合

得到线性拟合函数：ｙ＝-0.2054x2+2.386x-0.0103

差平方和e=0.003

3.多项式三次拟合

得到线性拟合函数：ｙ＝0.8401x3+2.386x2-2.5048x+0.0155差平方和e=0.0029

4.对数函数拟合，

得到的模型函数为y=0.2028logx+0.7539

误差平方和e=0.0885

5.幂函数拟合

得到的模型函数为1.3647x0.8339

误差平方和e=0.0273

最后经过比对发现，二次拟合和三次拟合误差平方和最小，因此这种拟合为这几种当中最佳的方案。但是多项式拟合的拟合次数越高，计算量则越大，所以二次拟合更为合适。

总结

物理模型的建立离不开数学工具，物理过程的数学化是对整个研究过程的深化，数学模型的建立将是整个物理过程清晰化，完整化。曲线拟合则是一种对现有数据进行进一步分析的方法，可以帮助我们更好地了解物理过程。利用最小二乘法对已知数据进行线性及非线性拟合，借助MATLAB这个强大的计算机工具快捷实现目标，整个过程详细、准确，为进一步研究曲线拟合打下基础。