毕业设计说明书-三叉杆(滚子)式万向节的结构设计与传动效率分析

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毕业设计说明书
三叉杆（滚子）式万向节的结构设计与传动效率分析
三叉杆（滚子）式万向节的结构设计与传动效率分析
摘要：前轮驱动的汽车传动系统一般由一个三叉式万向节、一个球笼式万向节及连接它们的中间轴组成。

三叉杆式准等速万向节是一种能够轴向伸缩的万向节。

当三叉杆滚子式万向节以一定的偏转角传递动力时，由于内部零件之间存在相对滑动，会产生摩擦，它的三个滚子球环在运动的过程中将产生强烈的振动。

三叉杆滚子式万向节传动中的效率损失主要为摩擦损失，其中摩擦损失主要是由于球形滚子与三叉杆之间存在相对滑动、球形滚子在导向槽中存在相对滑动。

在三叉杆滚子式万向节尺寸、结构设计的基础上以空间矩阵为工具，对三叉杆式准等速万向节的运动和受力进行分析，得出了三叉杆滚子式等速万向节效率的相关公式，借助MATLAB 软件对公式进行可视化仿真分析，可以找出影响其传动效率的因素，得出传动效率的变化规律。

关键词：万向节；三叉杆；结构设计；传动效率；运动仿真
The Mechanism Design and Transmission efficiency analysis of
Tripod Roller Universal Joints
Abstract:Front-wheel drive car transmission system generally consists of a fork-type universal joint, a CV-type universal joint and the composition of the intermediate shaft connecting them.Tripod Roller universal joint is a quasi-constant velocity joint gimbal capable of axial stretching.When forming activity angle to transmit power angle ,Tripod universal joints, based on the relative sliding internal parts ,resulting in friction. Its three spherical roller will produce more intense vibrations. Efficiency losses in Tripod roller universal joint transmission are mainly friction loss which is mainly manifested in relative sliding between the spherical roller and The Tripod and spherical roller relative sliding in the guide groove. Spatial matrix is used as a tool to analyze and calculate the motion and force of quasi-constant velocity joints and obtain correlation formula of this kind of universal joint based on the size and structural design of The Tripod roller Universal joint. Using MATLAB software simulation analysis to identify factors that affect the efficiency of the transmission and obtain variation of the transmission efficiency in the end.
Key word:Universal joint; The Tripod; Structural Design; Transmission efficiency; Motion Simulation.
目录
1. 前言 (1)
1.1 国内外研究现状 (1)
1.2 万向节分类 (2)
1.3三叉杆滚子式万向节的结构特点 (3)
1.4 课题研究的主要内容和意义 (4)
1.5 本课题的研究方法 (4)
2.三叉杆（滚子）式万向节的结构设计 (7)
2.1 三叉杆滚子式万向节尺寸标准 (7)
2.2万向节设计的性能要求 (7)
2.3三叉杆滚子式万向节组件的结构优化设计 (8)
2.4三叉杆万向节组件的尺寸设计 (9)
2.5三叉杆式万向节零件结构工艺性的改善设计 (12)
3.三叉杆（滚子）式万向节的运动分析 (14)
3.1三叉杆滚子式万向节相对速度分析 (14)
3.2三叉杆式万向节采用调心轴承安装时的运动分析 (19)
3.3输入转角和输出转角的关系 (20)
4.三叉杆（滚子）式万向节的受力分析 (22)
4.1模型分析 (22)
4.2 受力分析 (24)
5.三叉杆（滚子）式万向节的传动效率分析 (28)
5.1三叉杆滚子式万向节于任意输入转角 下的瞬时效率 (28)
5.2三叉杆滚子式万向节的平均效率 (28)
5.3基于MATLAB的传动效率仿真分析 (29)
6. 结论 (31)
参考文献 (32)
致谢 (33)
1. 前言
一个国家汽车工业水平的高低是衡量该国家的工业技术水平高低的重要指标。

在国家大力倡导自主创新今天，汽车工业的很多关键技术已成为我们攻坚的重点对象，近年来万向节等汽车传动系统中关键零部件性能的提高，对于汽车传动效率的提高有重要意义。

正是由于一点一滴的创新才使得汽车产业得以与时俱进并快速发展。

在倡导低碳生活的今天，电动汽车的发展无疑给整个汽车行业带来新的活力，从电池、电机、到传动系统的每个部分都会影响电动汽车行驶里程，电动汽车行驶里程能否显著提高成为制约电动汽车发展的重要指标而传动系统效率的提高可以很大程度减少电能的浪费，从而提高电动汽车行驶里程。

1.1 国内外研究现状
等速万向节作为汽车传动系统的关键部件，越来越引起人们的注意，国外学者将汽车等速万向节作为一个专业技术领域研究已相当成熟，我国在“八五”期间才将等速万向节列为重点扶持项目。

与国外相比，由于我国对于等速万向节的研究起步晚、理论水平有限，无论是从产品的设计、批量生产、还是自主创新研发方面都存在一定的差距。

对汽车等速万向节来讲，优化设计、标准化生产、装配技术和传动效率的提高是关键。

我国现有的可以参考的有关汽车关键技术方面的资料较少，像等速万向节这样的重要部件的资料更是如此，所以通过独立自主的研究、探索、创新，建立相应的等速万向节理论体系显得尤为重要。

在我国的许多大学、企业和研究机构中都已展开了对等速万向节的理论研究工作，其中对于球笼式等速万向节的研究是热点，而三叉杆滚子式万向节是与球笼式等速万向节相配套，是组成前轮驱动汽车传动轴总成的重要部件，因此，对于它的理论研究必不可少。

目前国内对于三叉杆滚子式万向节的研究还处在初步理论研究阶段，常德功、张启先等采用矩阵方法对三叉杆滚子式万向节进行了传动效率分析研究和采用调心轴承时的运动分析研究[1]；江苏大学的张杰、张敏中采用图解法和解析法对三叉杆滚子式万向节进行了系统的受力分析研究为更深一步的了解和研究该种万向节打下了基础[6]；王江中、李利等以方向余弦矩阵为工具，在受力分析的基础上对三叉杆式万向联轴器附加弯矩和传动效率进行了研究[2]。

国外对于等速万向节的研究较成熟，Sobby L Girguis对等速万向节的应用进行了研究[14]、Takeo Yamamoto 对等速万向节传动效率有深入的研究[15]。

本文通过空间坐标系，对等速万向节中的三叉杆式滚子式万向节的运动和受力进行了分析计算，得出了三叉杆式等速万向节效率的相关公式。

通过对三叉杆滚子式万向节主要零件尺寸和结构进行优化设计和MATLAB 软件对公式进行仿真分析，得出影响该种万向节传动效率的因素和传动时的最佳适应角度并通过实验分析得出三叉杆滚子式万向节的传动规律，对于解释汽车传动过程中振动产生的原因、提高三叉杆滚子式万向节传动效率提供了很重要的理论依据。

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1.2 万向节分类
万向节的分类方法有许多种。

如果根据运动学的原理，万向节一般可划分为非等速、准等速和等速万向节三种。

前轮驱动的汽车传动系统一般由一个三叉式万向节、一个球笼式万向节及连接它们的中间轴组成。

三叉式万向节一般在靠近齿轮箱的一侧，在汽车传动系统中的任务就是将马达输出轴的扭矩传递到它后面的球笼式万向节，并最终传递到车轮上，达到驱动汽车行驶的目的。

三叉式万向节的传递元件为滚子球环，滚子式万向节为一种准等速万向节，其中伸缩型结构能够在汽车悬架运动时调节中间轴长度的变化。

球笼式万向节在任何夹角下都是一种等速万向节，其中伸缩型结构也能够在汽车悬架运动时调节中间轴长度的变化，并可以在比三叉式万向节更大的夹角下工作，以完成汽车前轮的转向。

三叉式万向节和球笼式万向节组合运用时其中一个为固定型结构，另一个为伸缩型结构，万向节种类大致可以分为以下几种。

图1.1万向节分类[9]
盐城工学院本科生毕业设计说明书2014
1.3三叉杆滚子式万向节的结构特点
三叉杆式万向节的结构如图1.3所示。

由三个成120°夹角的叉杆臂组成的三叉杆架、三个滚子球环、内部有三个分别成120°夹角的导向槽的槽壳及与其后的球笼式万向节相连的输出轴组成。

叉杆的三个叉杆臂的轴线均布在同一个平面内，三个叉杆臂上套装着三个可绕各自轴线转动的滚子。

导向槽壳为主动件，三叉垂直于输出轴轴线，滚子球环可沿三叉杆臂移动，还由导向槽带动运动。

三叉杆、滚子球环和输出轴的组合体称为三叉杆组件，将其置于导向槽壳内便构成了三叉杆式万向节如图1.3所示。

图1.3 三叉杆滚子式万向节组件
三叉杆滚子式万向节具有结构简单、质量轻、润滑条件好、散热快、传动时扭能力强、可以承载较大扭矩等优点，被广泛地应用于汽车前后驱动轴上。

在一些轻量化设计的电动汽车以及中小排量轿车上应用的较多。

1.3.1三叉杆滚子式万向节的运动简图
在传动过程中，输入轴套筒上三个均布的导向槽通过球形滚子推动三个径向叉杆而使输出轴等速运动。

图1.4三叉杆滚子式万向节运动示意图
三叉杆（滚子）式万向节的结构设计与传动效率分析
三叉杆式准等速万向节是一种能够轴向伸缩的万向节。

当三叉杆滚子式万向节以一定的偏转角传递动力时，由于内部零件之间存在相对滑动，会产生摩擦，它的三个滚子球环在运动的过程中将产生强烈的振动。

可以通过改善润滑方式或减少滑动，增设内部滚动零件等措施进行结构的改进，以此来减少万向节内部摩擦，从而减轻振动。

三叉杆滚子式万向节传动中的效率损失主要为摩擦损失，其中摩擦损失主要是由于球形滚子与三叉杆之间存在相对滑动、球形滚子在导向槽中存在相对滑动。

因此，在研究三叉杆滚子式万向节的效率时，应先求出球形滚子相对于叉杆的相对速度和滚子与导向槽在接触点的相对速度，然后推导三叉杆万向节于任意输入转角下的瞬时效率。

最后经过积分运算求出单联三叉杆滚子式万向节的平均效率。

1.4课题研究的主要内容和意义
本课题来源于江苏省自然科学基金面上研究项目(BK20131221)，课题符合本专业培养目标的要求。

其主要研究内容是：
1.结构设计：通过二维、三维建模设计三叉杆滚子式万向节尺寸，根据现有的三叉杆万向节的尺寸对三叉杆滚子式万向节进行结构优化设计，并绘制结构图。

2.运动分析：在模型分析的基础上建立空间坐标系，对于三叉杆滚子式万向节进行相对速度分析，包括球形滚子相对于叉杆的相对速度和滚子与导向槽在接触点的相对速度速度分析。

3.受力分析：利用数学模型对于三叉杆滚子式万向节的受力情况进行分析，包括滚子的周向力和径向力、三叉杆的受力、导向槽壳的受力。

4.效率分析：由运动分析推导三叉杆万向节于任意输入转角下的瞬时效率，经过积分运算求出三叉杆滚子式万向节的平均效率。

5.在对公式分析的基础上，通过Matlab软件对公式进行可视化仿真，找到影响三叉杆滚子式万向节传递效率的主要因素，求出该种万向节传动时的最佳适应角度。

本文的研究意义在于：
1、国内关于三叉杆准等速万向节的理论研究还较少，本文的研究对于今后三叉杆式万向节传动系统效率的提高有重要作用。

2、为今后搭建相关技术平台、等速万向节行业技术的发展以及等速万向节的改进设计打下了理论基础。

1.5 本课题的研究方法
用图解法和解析法综合分析、相互结合的方法来研究，得到传动效率的理论结果与仿真结果，具体过程如下：
(1) 用三维绘图软件Pro/E绘制改进后的三叉杆滚子式万向节零件组件并装配，然后对其运动仿真。

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(2) 在模型分析的基础上，通过建立适当的受力坐标系和运动坐标系来分析三叉杆滚子式万向节的受力情况和运动特性，求出传动效率的理论公式，用Matlab 软件对公式进行仿真分析，得出相关理论曲线。

表1 本文涉及到的相关参数 i α ρ η
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2.三叉杆（滚子）式万向节的结构设计
2.1 三叉杆滚子式万向节尺寸标准
根据中华人民共和国机械行业标准，汽车用等速万向节及其总成设计标准中所规定的三叉杆滚子式万向节的尺寸设计要求设计三叉杆滚子式万向节的一些基本尺寸参数。

2.1.1TJ 型万向节（图2.1）主要尺寸
图2.1 三叉杆滚子式万向节总成
注：符号及缩略语
A：三叉杆滚子式万向节导向槽壳外套最大外径，mm；
B：回转直径,mm；
d：中间轴公称直径，mm；
g
D：钢球球径或球环球面直径,mm；
R：钢球（球环）中心圆半径,mm。

[17]
基本型号
主要尺寸(mm)
A B d
TJ68 61.5 71.0 17.0
TJ71 65.0 74.0 18.0
TJ75 68.0 78.0 19.0
TJ80 71.4 82.0 20.1
TJ85 74.6 85.8 21.2
TJ87 78.7 90.2 22.2
TJ92 81.6 93.1 23.3
TJ100 89.0 100.5 25.4
TJ105 95.0 106.7 26.5
2.2万向节设计的性能要求
等速万向节及其组件在100N 的轴向力作用下，轴向窜动量不大于0.2mm，
旋转间隙应不大于0.75︒许用工作角度应符合表2-2的规定[17]。

类型许用工作角度
中心固定型等速万向节d为17-28.2mm ≥ 46.5°d>28.2-31.8mm ≥ 42.5°
伸缩型等速万向节23°
等速万向节及其组件相对于许用偏转角度下的许用滑移量图形如图2.2所示[17]。

OO'—伸缩型等速万向节中心；
AA'—在偏转角为0°时的许用滑移量；
BB'—在许用偏转角度下许用滑移量
图2.2 许用偏转角度下的许用滑移量
2.3三叉杆滚子式万向节组件的结构优化设计
三叉杆滚子式万向节是一种可轴向相对伸缩和径向自承式的等速万向节。

为了保证输入输出轴有一定偏转角的复杂工况下，仍能平稳、灵活、可靠和地传递运动和转矩，滚子球环外径必须设计成球面，使其在曹壳内自动调心，且可以在三个叉杆臂上微量移动，使滚子球环不仅在壳体的滚道同时滚动和滑动，还可使传动轴有一定的偏转角。

传统三叉杆滚子式万向节中三个滚子球环在各自的叉杆臂上有一定的伸缩量，为了防止滚针和滚子球环在工作过程中脱落，滚针长度要略大于滚子球环的总宽度，为此需设计三个卡簧分别置于轴顶部的卡簧槽中再相应配装三个冲压挡圈[10]。

此种结构的三叉杆滚子式万向节存在许多不足：
(1)零件多，结构复杂，成本高，装配工序多、装配效率低。

(2)滚针轴承中的滚针直径太小，降低承载能力，极易出现疲劳磨损、剥落
现象，冲击载荷耐力差，易失效。

(3)挡圈易出现裂纹，难以控制热处理硬度，受冲击的情况下，挡圈破损会导致滚针的脱落。

(4)三个叉杆均须磨削，根部和顶部均要车槽，使加工工序过程复杂，质量难以控制。

鉴于以上不足，对其结构进行创新和改进：如取消垫圈、卡簧和冲压挡圈，仅保存三叉杆架、球环和滚针，与改进前的组件相比有如下优点：
(1)结构简单、零件少，制造、装配和检验过程少，利于生产管理。

(2)改进后的三叉杆组件，滚针直径增大，既提高了承载能力又避免了早期疲劳磨损、剥落而失效的问题。

(3)将卡簧与冲压挡圈换成双挡边挡滚针。

工作中球环受三个导向槽滚道径向的限制，本身自挡，滚子球环卡在其滚道内，在工作过程中就不会脱落。

所以，不需任何轴向限位装置。

制造成本大大降低，生产效率提高，更利于标准化生产[10]。

改进后的三叉杆组件如图2.3
图2.3 三叉杆组件改进设计图
1-滚针；2-滚子球环；3三叉杆架；4卡环；5挡圈；6垫圈
2.4三叉杆万向节组件的尺寸设计
三叉杆滚子式万向节组件的核心部位是滚子球环和滚针轴承的设计，三叉杆架的几何结构和之前相比，取消轴顶部三个环，滚子球环采用优化设计可以增大滚针直径，从而提高万向节受力，改进后的滚子球环如图2.4所示[10]。

图2.4滚子球环
图中：
B 为滚子球环宽度，mm ；
1B 为曲率中心至端面的距离，mm ；
2B 为滚道宽度，mm ； a 为挡边宽度，mm ； 1D 为外滚道直径，mm ；
2D 为挡边直径，mm ； W d 为滚针组内径，mm ； g D 滚子球环直径，mm 。

2.4.1材料的选取
滚子球环一般选用15GCr 钢，热处理技术要求应符合/1255JB T ，亦可选择20CrMnTi 钢，表面渗碳淬火。

滚针选用15GCr 钢，技术条件应符合/309GB T ；若采用表面渗碳淬火工艺，亦可选择各项性能不低于20CrMnTi 的其他材料。

2.4.2滚子球环的设计
（以下尺寸计算公式参照
[10]
石宝枢. 三球销式万向节轴承组件的设计改进.）
（1）基本外形尺寸极限偏差
g K D k D =⨯ K D 为导向槽壳最大外径（mm ）此处取86K D mm = ；
0.420.44k ≤≤
所以 36.1237.84g mm D mm ≤≤ 取36.98g D mm =
（2）外滚道直径1D 设计
1PW W D D D =+ 12W D d D =+ 1D 取24.97mm
式中： W D
为滚针直径，mm ； PW D
为滚针节圆的直径，mm 。

（3）球环的宽度B 的设计
1
3
g B D = 取12.33B mm =
（4）球环外球面中心位置设计
滚子球环的曲率中心位置至端面的距离1B 为 11
2
B B = 所以
1 6.16B mm =
（5）滚道宽度2B 设计
20.3W B L =+ 2B 取8.93mm ；2B 的极限偏差可以统一取2
B +0.05
（6）挡边直径D 2的设计
210.8W D D D =- 2D 取22.97mm ； 2D 的取值精度为0.1mm,极限偏差统一
取12H 。

（7）挡边宽a 的确定
2
2
B B a -=
a 取1.7mm ；a 的极限偏差统一取0.05a ±。

2.4.3 滚针直径W D 、长度W L 及数量Z 的设计计算 （1）三叉杆臂直径d 值的设计
(0.52~0.54)g d D =⨯ d 取19.97mm
（1）滚针直径W D 的设计
(D d)W D K =- 一般0.11~0.23K = W D 取2.5mm （2）滚针长度的计算
0.7W L B = W L 取8.63mm ；L 的取值精度为0.1mm ，极限偏差统一取10h 。

（3）滚针数目的确定
pw
w
D Z D π= 式中：pw D 为滚针组节圆直径，pw w D d D =+；pw D 取22.47mm 。

所以滚针数取28。

可以校核 180sin
W
c PW D D Z
πεπ=-︒
总间隙c ε的校核结果为0.44，对照表2-3，满足设计要求。

表2-3 平均间隙f 和总间隙c ε的选取(mm)
[10]
（4）滚针组内径W d 极限偏差的确定
W d 的尺寸等于轴径d ，即19.97W d d mm == W d 的极限偏差取6F 。

表2-4 三叉杆滚子式万向节组件尺寸汇总表
名称 符号 尺寸 单位 极限偏差
三叉杆臂直径 d
19.97 mm 滚子球环宽度 B
12.33 mm B
0-0.1
球面中心位置 1B 6.16 mm 10.05B ±
滚道宽度 2B
8.93 mm 2
B +0.05
挡边直径 2D 22.97 mm 12H
挡边宽度 a
1.7 mm 0.05a ±
滚针直径 W D 2.5 mm
滚针长度 W L 8.63 mm 10h
滚针组节圆直径 pw D
22.47 mm
滚针组内径 W d
19.97 mm 6F
滚针数 Z
28
个
2.5三叉杆式万向节零件结构工艺性的改善设计
三叉杆滚子式万向节零部件的结构工艺性设计除满足其使用性能外，还必须保证在制造、装配、等过程中符合科学性、可行性、和经济性的要求。

2.5.1 三叉杆滚子式万向节冲压加工结构工艺性的改善设计
图2.5是三叉杆式万向节导向槽壳内腔底部出现的凹孔形状。

改进前(图2.5a)
的矩形孔在挤压时易产生金属滞流，不利于加工成形，模具在制造过程中也易损坏。

将孔的形状进行改进设计，增加梯形倒角可以有效解决金属滞流、提高强度，如图2.5所示。

（a ） （b ）
图2.5 导向槽壳凹孔的形状改进设计
2.5.2三叉杆式万向节热处理结构工艺性的设计
万向节零部件的设计要注重热处理工艺，合理的几何形状能避免过量变形、开裂等问题。

图2.6是三叉杆滚子式万向节滚子导向槽的截面形状。

改进前，导向槽壳壁厚不均匀，截面突变处使得淬火、回火、冷却速度不同，从而导致壳体硬度不均匀。

尤其是三个导向槽的侧壁太厚，淬火时冷却速度慢，容易出现裂纹变形，在槽壳的外圆周上增加三个凹槽，使得三个厚壁均匀，这样既可以有效避免热处理时的缺陷也节省材料减轻整个万向节的重量。

图2.6导向槽壳的改进设计
3.三叉杆（滚子）式万向节的运动分析
三叉杆滚子式万向节传动中的效率损失主要为摩擦损失，其中摩擦损失主要表现在球形滚子与三叉杆臂之间的相对滑动和球形滚子在导向槽中的相对滑动。

因此，在研究三叉杆滚子式万向节的效率时，应先求出球形滚子相对于叉杆的相对速度和滚子球环与导向槽在接触点的相对速度，然后推导于任意输入转角下的瞬时效率，最后经过积分运算求出三叉杆滚子式万向节的平均效率。

图3.1 三叉杆滚子式万向节的运动简图
（a）可伸缩式；（b）调心式
图中：
R为球形滚子中心至三叉杆的中心轴线之间的距离，mm；
r为导向槽所在位置的中心线至输入轴中心线之间的距离，mm。

β为输入输出轴偏转角，deg。

3.1三叉杆滚子式万向节相对速度分析
调心轴承安装输出轴时的运动，可采用图3.2所示的坐标系系统分析。

现取
''''，将输出轴转动锥中心线和输入轴轴线分别取两个固定坐标系OXYZ和O X Y Z
为轴OZ和O Z''，轴OY和O Y''取得相重合,而且垂直于面OXZ，OZ和O Z''两轴之间的角度为β。

图3.2 坐标系o x y z ''''中输入轴转过ϕ时的位置示意图 图中：
β为输入输出轴偏转角，deg ；
(i 1,2,3)i l =表示输入轴导向槽中心线； ϕ为输入轴转角，deg ；
当输入轴转过ϕ，偏转角为β时另在三叉杆交点设一辅助坐标系O X Y Z '''''''', 轴O Z ''''与输出轴重合, X O Y ''''''平面为三叉杆所在平面, 而轴O Y ''''则始终垂直于OX 轴。

在初始状态假设导向槽轴线1l 位于X O Z '''平面内,而叉杆1m 位于与固定平面XOZ 重合的动平面X O Y ''''''内。

当输入轴转过任意ϕ时,输出轴上叉杆1m 绕输出轴转过一个相应的角度ϕ'( 图3.2 ) 。

图3.3叉杆中心的运动示意图
图中：
O ''为三叉杆瞬时中心点；
ρ为偏心距，1(1)2cos r ρβ
=-，mm [3]
；
(i 1,2,3)i n =表示三个叉杆臂。

现以输入轴上第一个导向槽中的滚子推动输出轴上第一个叉杆为例进行分
析。

由三叉杆滚子式万向节的运动分析和滚子的受力分析可知，三叉杆滚子式万向节球形滚子中心至三叉杆的中心点之间的距离R 在传动过程中是不断改变的，且与万向节输入输出两轴线偏转角β、导向槽中心线至输入轴中心线之间的距离
r 及输入转角ϕ有下列关系式[1]
：
11=1cos 2cos 2R r r ϕβ⎛
⎫⎛⎫
+-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭ （3-1）
式中：
R 为球形滚子中心至三叉杆的中心点之间的距离，mm ； r 为导向槽中心线至输入轴中心线之间的距离，mm ； ϕ 为输入转角，deg 。

图 3.3中滚子球环对三叉杆的相对滑动速度31r
V 可由式(3-1)对时间求导得
出：
31121sin 2cos r V r ωϕβ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ （3-2）
设球形滚子与导向槽的接触点为K ，球形滚子在接触点K 相对于导向槽的相
对滑动速度为31rk
V ，滚子中心E 相对于导向槽的相对速度为r e V ，球形滚子对导向
槽的三个转动角速度分量为1r ω，2r ω，3r ω，其中2r ω沿着叉杆的方向，3r ω的方向垂直于叉杆，且与输出轴线平行，1r ω的方向垂直于2r ω与3r ω组成的平面。

设滚子
的半径为g r ，则滚子上K 点对滚子中心E 点的相对速度，31rk V 可以表示为
31123()rk r r r r
e g V V r ωωω=+++⨯ （3-3）
为了求与输出轴线平行且垂直于叉杆方向的3r ω，可利用图3.2中叉杆和OE 连线之间夹角ε的变化与转角ϕ之间的关系。

在OO E ''∆中可以计算夹角ε：
22
ε= （3-4）
因此 3r d d dt d εεωωϕ
=
= 即 23
222(1cos )[(1cos )cos 1]
cos sin sin r ββϕωωββϕ
-+-=+ （3-5）
为了求滚子中心E 的相对速度r e V ，在滚子中心取辅助坐标系EX YZ ''''''如图3.4所示，其中EZ '''轴的方向沿导向槽的方向，EX '''的方向平行于线段OA ，这里A 点是输入轴在起始位置转角0ϕ=︒时滚子中心的位置，而转过ϕ角之后滚子中心与导向槽轴线的交点为E 点，滚子中心相对于导向槽的位移量为线段AE ，相对滑动速度的方向沿着导向槽轴线。

在图3.4中，由于输出轴与三叉杆交点O ''与O 点的偏移量对计算相对位移量AE 和r 变化影响极小，所以设置辅助坐标的同时近似认为O ''点与O 点重合[1]。

图3.4 辅助坐标系EX Y Z '''''''''及相对角速度
在图3.4a 中任取坐标轴O Y ''以计量输入轴的转角ϕ，过A 点引O Y ''轴的垂线得B 点。

输入轴转过ϕ角后，滚子中心E 的位移AE 可以通过直角三角形EAB ∆和
ABO '∆求出。

由于tan AE AB β=和sin AB OA ϕ=可得
sin tan AE r ϕβ= （3-6）
因此，
()
cos tan r e d AE V r dt
ωϕβ=
= （3-7） 由
tan sin tan AE
r
νϕβ=
= （3-8） 可得
12
cos tan 1sin tan r d dt νϕβωϕβ
=
=+ （3-9）。