2021年中考数学单元重点专题3-开放型问题

解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B. ∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE.∴△ABE∽△ECM.
(2)能构成等腰三角形．理由如下： ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM. 当 AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝1. 当 AM＝EM 时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA.
2020年中考数学单元重点
专题三 开放型问题
开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
(1)求证：△ABE∽△ECM； (2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构 成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明 理由； (3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积．
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【点拨】(1)利用全等三角形的对应角相等确定相 似的条件；(2)分情况讨论，显然 AE，AM 不能作腰， 讨论当 AE，EM 作腰时，求得 BE＝1；当 AM，EM 作 腰时，利用△CAE∽△CBA 求得 CE，进而求出 BE 的 值；(3)设 BE 为 x，通过相似用 x 表示出 CM，进而表 示出 AM，通过二次函数顶点确定 AM 的最小值，进而 确定重叠部分的面积．
2020年中考数学单元重点
3．判断型开放题：称判定几何图形的形状大小、 图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种 性质的数学对象是否存在的开放型问题为判断型开放 题，又称存在型探索题．解题的基本思路是：先假设 结论“存在”，然后从条件出发进行计算或推理论证， 直接找出或证得符合条件的结论，若推理所得的结论 与已知条件或相关定理相一致，则说明其存在；否则， 说明其不存在．
考点一 条件开放型 例 1 (2013·青海)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添 加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件 是_________________________ (不添加任何辅助线)．
【点拨】由∠1＝∠2，可得∠ACB＝∠DCE，又 BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，可添加∠B＝∠E，由 “ASA”得证；添加∠A＝∠D，由“AAS”得证；添加 AC ＝DC，由“SAS”得证．
1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件．
2．结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的 开放型问题为结论开放题．给出问题的条件，让解题 者根据给出的条件探索相应的结论，而符合条件的结 论往往呈现多样性，解题时需由因导果，由已知条件 导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地使用题 目给出的全部条件．
【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由 勾股定理，可得 AC＝4 cm，所以 AB＝8 cm.因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值．
∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA. ∴CAEC＝ACCB. ∴CE＝ACCB2＝265. ∴BE＝6－265＝161. 综上所述，当 BE＝1 或161时，重叠部分能构成等 腰三角形．
(3)设 BE＝x，∵△ABE∽△ECM，∴CBME ＝CAEB. ∴CxM＝6－5 x. ∴CM＝－x52＋65x＝－15(x－3)2＋95. ∴AM＝5－CM＝15(x－3)2＋156. ∴当 x＝3 时，AM 最短为156.
【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
方法总结 解答结论开放型问题，要熟练掌握常见图形的性 质、函数的性质等，然后由因导果添加适当的结论.
考点三 判断型开放题 例 3 (2012·宜宾)如图，在△ABC 中，已知 AB ＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF 与 △ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满 足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动．且 DE 始 终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点．
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 20 分) 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上，若点 C 也在网格 格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形的面积为 2，则 满足条件的点 C 的个数是( C )
又∵BE＝x＝3＝12BC， ∴点 E 为 BC 的中点． ∴AE⊥BC，∴AE＝ AB2－BE2＝4. 此时，EF⊥AC，∴EM＝ CE2－CM2＝152. ∴S△ AEM＝12AM ·EM＝ 12×156×152＝9265.
方法总结 先假设问题的结论正确，然后再根据条件进行推 理 ，若得出 正确的结 论，则假设成立，否则 就不成立 .
【答案】 不唯一，如∠B＝∠E(或∠A＝∠D 或 AC ＝DC)
方法总结 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按照 三角形全等的判定方法确定缺少的条件.
考点二 结论开放型 例 2 (2013·吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．