第5讲 指数函数及其图像(教师版)

第五讲指数函数及其图像1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m
n＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分
数指数幂的意义是a
m
n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负
分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质
y＝a x a>10<a<1图象
定义域(1)R
值域(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
(5)当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是
减函数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)n
a n＝(
n
a)n＝a.(×)
(2)分数指数幂a m
n可以理解为
m
n个a相乘．(×)
(3)(－1)2
4＝(－1)
1
2＝－1.(×)
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)
(5)函数y＝a21＋
x(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×) (6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)
1．若a ＝(2＋3)－
1，b ＝(2－3)－
1，则(a ＋1)－
2＋(b ＋1)－2
的值是( )
A ．1 B.14 C.22 D.2
3
答案 D
解析 ∵a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2 ＝
112－63＋112＋63＝23
.
2．函数f (x )＝a x －1
a
(a >0，a ≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象D 适合．
3．(教材改编)已知0.2m <0.2n ，到m ________n (填“>”或“<”)． 答案 >
解析 设f (x )＝0.2x ，f (x )为减函数， 由已知f (m )<f (n )，∴m >n .
4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.
5．函数y ＝8－23－
x (x ≥0)的值域是________． 答案 [0,8)
解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．
题型一 指数幂的运算
例1 化简：(1)
a 3
b 23
ab 2
(a 14
b 12
)4a
13
-b
13
(a >0，b >0)；
(2)()2
1
103227()0.00210(52)(23).8
--－－＋－－＋－
解 (1)原式＝(a 3b 2a 13
b 23
)12
ab 2a
13
-
b 1
3
＝a 3111263+-+b 11
1233
+--＝ab －1. (2)原式＝12
2
3
271()850052--⎛⎫ ⎪⎝⎭
－＋－
1－ ＝12
2
3
81()527500⎛⎫ ⎪⎝⎭
－＋－10(+2)
＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679
. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
(1)[(0.064
15
)
－
2.5]
23
－
3
33
8
－π0＝_______________________________. (2) (14
)1
2-·
(4ab －
1)3
(0.1)－1·(a 3·b －
3)1
2
＝________.
答案 (1)0 (2)8
5
解析 (1)原式＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛
⎭⎫641 0001552-
23－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－3
2－1＝
0.
(2)原式＝2×432
×a 32
b
32
-
10a 32
b
3
2
-＝8
5
. 题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)函数f (x )＝a x －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论
正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0
(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[－1,1]
解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0，故选D. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(1)如图，面积为8的平行
四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝a x (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a等于()
A. 2
B.3
C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是() A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案(1)A(2)D
解析(1)设点E(t，a t)，则点B坐标为(2t,2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝ 2.故选A.
(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知
0<f(a)<1，a<0，c>0，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0<c<1.
∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
题型三 指数函数的图象和性质
命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－
1>0.62 C ．0.8
－0.1
>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1
(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫352
5，b ＝⎝⎛⎭⎫253
5，c ＝⎝⎛⎭⎫252
5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 (1)B (2)a >c >b
解析 (1)A 中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；
B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；
C 中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x
为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫253
5<⎝⎛⎭⎫252
5 即b <c ，
又a c ＝⎝⎛⎭
⎫35 2
5
⎝⎛⎭
⎫25 25＝
⎝⎛⎭⎫322
5>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，
x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a
－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.
命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质
例5 设函数f (x )＝ka x －a －
x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；
(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －
2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．
解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，
所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1
a >0，
又a >0且a ≠1，所以a >1.
因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，
所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.
所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝3
2
，
即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－1
2(舍去)．
所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.
令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝3
2，
所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，
所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．
即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
(1)已知函数f (x )＝2|2x
－m |
(m 为常数)，若f (x )
在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．
(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.1
3 B ．1 C ．3
D.13
或3 答案 (1)(－∞，4] (2)D
解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m
2]上单
调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m
2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.
当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1
a ，a ]，
又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤
1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a ]，
又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1
a ]上单调递增，
则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝1
3(负值舍去)．
综上知a ＝3或a ＝1
3
.
4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用
典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x
＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221－＋＋x x 的单调减区间为________________________________． 思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．
(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋3
4
. 当t ＝12时，y min ＝3
4；当t ＝8时，y max ＝57.
故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤3
4，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u
在R 上为减函数，
∴函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫12221－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．
又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]
温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．
[方法与技巧]
1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.
3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
[失误与防范]
1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．
2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
A组专项基础训练
(时间：35分钟)
1．函数f (x )＝2|x －
1|的图象是( )
答案 B
解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选项B 正确． 2．函数f (x )＝a x －
2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)
答案 D
解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．
3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(1
2)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．c >a >b
C ．b >a >c
D ．a >b >c 答案 D
解析 a >20＝1，b ＝1，c <(1
2
)0＝1，∴a >b >c .
4．若函数f (x )＝a |2x －
4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2] 答案 B
解析 由f (1)＝19得a 2＝1
9
，
所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(1
3
)|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.
5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭
⎫0，12 答案 D
解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <1
2
.
②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．
综上，0<a <1
2
.
6．计算：12
104334
372()()82()263
-⨯--＋＝________.
答案 2
解析 原式＝⎝⎛⎭⎫23×1＋23
4×21
4
－⎝⎛⎭
⎫231
3＝2. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 答案 m >n
解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .
8．已知函数f (x )＝2x －1
2x ，函数g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数
g (x )的最小值是________．
答案 0
解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －1
2x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝
f (－x )＝2－x －1
2－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.
9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243
－－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，
由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，
由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎨⎧
a >0，3a －4
a ＝－1，
解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
10．已知函数f (x )＝e x －e －
x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x
， ∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，
∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．
∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．
(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，
⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－1
4对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋1
4＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－1
2
. ∴存在t ＝－1
2
，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
11．函数f (x )＝a |x ＋
1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定
答案 A
解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．
12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b
，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B
解析 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2
＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b
得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a
5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫－23，3
4 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x
<1， 从而0<2＋3a 5－a
<1，解得－23<a <34.
14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)
解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x
， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，
当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x
恒成立等价于m 2
－m <2，解得－1<m <2.
15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.
(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)， f (－x )＝2－x
4－x ＋1＝2x
4x ＋1
＝－f (x )，
∴f (x )＝－2
x 4x
＋1
，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x
4x ＋1
，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，
2x 4x
＋1，x ∈(0，1).
(2)设0<x 1<x 2<1，
f (x 1)－f (x 2)＝
121212(22)(12)
,
(41)(41)
x x x x x x +--=++1212211222(22)(22)
(41)(41)x x x x x x x x ++-+-++
高三·数学（理）
∵0<x 1<x 2<1，
∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数， ∴2141＋1<f (x )<20
40＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－2
5. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12
，－25∪⎝⎛⎭⎫25，1
2， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.
1212022221
＋，＝，x x x x ∴<>。