第18章_分析力学基础(动力学普遍方程_拉格朗日方程)

用虚功方程解决过若干问题， 用虚功方程解决过若干问题， Σδ WF = 0
问题：用虚功方程可解几个代数未知量？ 用虚功方程可解几个代数未知量？
看例子——平面平衡自由刚体 平面平衡自由刚体 看例子 给刚体虚位移： 给刚体虚位移： δ x
δϕ δy
y
δy
C
几个自由度？ 几个自由度？
δ x δϕ
r Σδ WF = ΣX ⋅ δ x + ΣY ⋅ δ y + ΣmC ( F ) ⋅ δ ϕ = 0 r ΣX = 0, ΣY = 0, ΣmC ( F ) = 0
A C P O Q B
α
Q
G
欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力， 解除其水平约束， 欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需解除其水平约束，研究 整体，给各运动物体加惯性力 惯性力偶，但有关加速度和角加速度 加惯性力和 整体，给各运动物体加惯性力和惯性力偶，但有关加速度和角加速度 未知； 未知； 欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束） 加惯性力和惯性力偶， 欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束），加惯性力和惯性力偶， 给系统虚位移，应用动力学普遍方程可求。 给系统虚位移，应用动力学普遍方程可求。
(3)
− ( P + FIP ) ⋅ δ r − M IO ⋅ δ ϕ + (Q sin α − FIC ) ⋅ δ rC − M IC ⋅ δ ϕ = 0
式代入方程(3)，解得： ④ 将(1)、(2)式代入方程 ，解得： 、 式代入方程
aC = Q sin α − P g P + 2Q
从而 ε =
ε
aC
ε
MIO
O B
δϕ
A
δϕ
MIC FIC
C
Q a
δrபைடு நூலகம்
P
1Q 2 = r ε 2g
(1)
δrC
α
Q
G
FIP
且
aC = rε
给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系： ② 给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系： δ r = δ rC = rδ ϕ 列动力学普遍方程： ③ 列动力学普遍方程：
(2)
ΣδWF + ΣδWFI = 0
3
5
解2：（几何法）选ϕ1、ϕ2为广义坐标，对应虚位移为δϕ1、δϕ2。 ：（几何法） 为广义坐标， ：（几何法 ）。所 ① 先令δϕ1≠0、δϕ2＝0，如图（a）。所 、 ，如图（ ）。 有力在此虚位移上的虚功为 r r r r r ΣδWF = mO (W1 )δϕ1 + W2 ⋅ δr2 + P ⋅ δr2 l = −W1 1 sin ϕ1δϕ1 − W2δr2 sin ϕ1 + Pδr3 cos ϕ1 2 W = P cos ϕ1 − ( 1 + W2 ) sin ϕ1 l1δϕ1 2 所以， 所以，对应ϕ1的广义力为
Q1 = ΣδWF
δ r1
C1
r
δ rA δ r2
C2 r W2
r
r
r W1
δ r3 r
r
P
(a)
δϕ1
W = P cos ϕ1 − ( 1 + W2 ) sin ϕ1 l1 2
6
② 再令δϕ2≠0、δϕ1＝0，如图 。 所有力在此虚位移上的虚功为： 、 ，如图(b)。 所有力在此虚位移上的虚功为： r r ΣδWF = m A (W2 )δϕ 2 + m A ( P)δϕ 2 l = −W2 2 sin ϕ 2δϕ 2 + Pl2δϕ 2 cos ϕ 2 C1 2 W r r = ( P cos ϕ 2 − 2 sin ϕ 2 )l 2δϕ 2 r δ r2 δ r3 W1 2 r P 所以，对应ϕ2的广义力为 所以， C2
X 1 = W1 , X 2 = W2 , Y3 = P
C1
r W1 r W2
C2
r P
各力作用点坐标为
x1 = l1 l cos ϕ1 , x2 = l1 cos ϕ1 + 2 cos ϕ 2 , 2 2 y3 = l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ 2
代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得 代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得 ），
k
h = 1,2,L , k
2. 几何法 几何法——由虚功求 由虚功求 质点系虚功： 质点系虚功：
Σδ WF =
∑ Q δq
h h =1
h
若只给定第h个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为 ， 若只给定第 个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则 个广义坐标的虚位移
Σδ WF = Qhδqh
9
2.
解：I. 求加速度和角加速度。 ： 求加速度和角加速度。 研究整体（不去约束， ① 研究整体（不去约束，因后面要用 虚位移原理），加惯性力和惯性力偶， ），加惯性力和惯性力偶 虚位移原理），加惯性力和惯性力偶， 如图。其中惯性力和惯性力偶： 如图。其中惯性力和惯性力偶：
P P FIP = a = aC g g Q FIC = aC g M IO M IC 1Q 2 = rε 2g
δ x δ y δϕ
——广义坐标的变分 广义坐标的变分
对应平动 对应转动
x
O
即，一个变分方程可对 应几个独立的代数方程： 应几个独立的代数方程： 独立代数方程数 ＝ 广 义坐标数
r ΣX , ΣY , ΣmC ( F )
——虚功表达式中广义坐标的 虚功表达式中广义坐标的 变分的系数，称为广义力 广义力Q 变分的系数，称为广义力 i
Q2 = Σ δW F
δϕ 2
= ( P cos ϕ 2 −
W2 sin ϕ 2 )l 2 2
r W2 (b)
§18-2 动力学普遍方程 18回到动力学问题上来。 回到动力学问题上来。 达朗贝尔原理 虚位移原理 动力学普遍方程 拉格朗日方程
拉格朗日是分析力学的创始人。 拉格朗日是分析力学的创始人。
分析力学的基础
aC Q sin α − P g = r P + 2Q r
10
II. 求地面水平反力。 求地面水平反力。 研究整体，解除地面的水平约束， ① 研究整体，解除地面的水平约束， 代之以水平反力X； 代之以水平反力 ；加惯性力和惯性 力偶，如图。 力偶，如图。 给系统虚位移，如图。 ② 给系统虚位移，如图。 列动力学普遍方程： ③ 列动力学普遍方程：
∂x ∂y ∂z W Q1 = ∑ X i i + Yi i + Z i i = P cos ϕ1 − ( 1 + W2 ) sin ϕ1 l1 ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ1 2 i =1 1
3
∂xi ∂yi ∂zi W = ( P cos ϕ 2 − 2 sin ϕ 2 )l2 Q2 = ∑ X i + Yi + Zi ∂ϕ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 2 i =1 2
ε
aC
ε
O A
MIO
B
δr
a
MIC FIC
C
Q
δr
δr
G
X
P
δr
FIP
ΣδWF + ΣδWFI = 0
X ⋅ δ r + FIC ⋅ δ r = 0
α
Q
式代入上式，解得： ④ 将(1) 式代入上式，解得：
Qh =
Σδ W F δq h
4
书上例17-10） 例1 （书上例 ） 计算双摆的广义力，已知摆长各为 计算双摆的广义力，已知摆长各为l1、l2， 重量各为W 。（2自由度 重量各为 1、W2，力P。（ 自由度） 。（ 自由度） 解1：（解析法）建立坐标系如图。选ϕ1、 ：（解析法）建立坐标系如图。 ：（解析法 为广义坐标。 ϕ2为广义坐标。 各力在坐标轴上的投影为
h h =1
k
h
3
二、广义力的求法 1. 解析法 解析法——由各力及其作用点求 由各力及其作用点求
r r ∂ri Qh = Fi ⋅ ∂qh i =1
∑
n
h = 1,2,L, k
用直角坐标表示： 用直角坐标表示：
Qh =
∑
i =1
n
(Xi
∂xi ∂y ∂z + Yi i + Z i i ) ∂q h ∂qh ∂q h
可见，虚功方程等价于 Qi = 0 (i = 1, 2, ... , k) 可见，
1
注1： ：
对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系， 对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系， 该组方程不同于平衡方程（见后面例1）。 该组方程不同于平衡方程（见后面例 ）。
注2： ：
8
解题步骤： 一 研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）； 解题步骤： (一)研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）； 研究整体 (二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移； 二 画主动力 并加惯性力（ ），画运动图 给系统虚位移； 画主动力， 画运动图； (三)列解方程。 三 列解方程 列解方程。 例2（补充，由例 （补充，由例12-1改，求反力） 改 求反力） 图示系统。均质滚子 、滑轮B重量和半径 图示系统。均质滚子A、滑轮 重量和半径 均为Q和 ，滚子纯滚动，三角块固定不动， 均为 和r，滚子纯滚动，三角块固定不动， 重量为G，重物重量P。 倾角为α，重量为 ，重物重量 。试用动 力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。 力学普遍方程求地面给三角块的水平反力。 分析：此题已经由动量定理、质心运动 ：此题已经由动量定理、 动量定理 定理和达朗贝尔原理分别求解过 分别求解过。 定理和达朗贝尔原理分别求解过。 1.
n i =1
i =1
(1) (2)
或 或
∑ [( X
i =1
n
i
− m&&i )δ xi + (Yi − m&&i )δ yi + ( Z i − m&&i )δ zi ] = 0 x y z
ΣδWF + ΣδWFI = 0
(3)
即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。 对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。 上式中Σ不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数； 注：①上式中Σ不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数； Σ 当质点系静止时（静平衡）， 退化为虚功方程： ②当质点系静止时（静平衡），δWFI = 0 ，退化为虚功方程： Σδ W F = 0
7
动力学普遍方程的思想是： 动力学普遍方程的思想是： 达朗贝尔原理 动力学问题 n r r ∑ ( Fi + N i ) ≠ 0
i =1
个质点的质点系： 对n个质点的质点系： 个质点的质点系 虚位移原理 动力学普遍方程 n r r r r ∑ ( Fi + N i + FIi ) ⋅ δ ri = 0
∑
k
该质点上的力所作虚功： 该质点上的力所作虚功： r k r r r ∂ri δ Wi = Fi ⋅ δ ri = Fi ⋅ ( δq h ) = ∂q h h =1
∑
∑
r r ∂ri Fi ⋅ δq h ∂q h h =1
i = 1,2,L , n
n
对应第 h 个广义坐 标的广义 标的广义 力
整个质点系上所有（ 整个质点系上所有（主 力所作虚功： 动）力所作虚功：
i =1
形式上的平衡问题 n r r r ∑ ( Fi + N i + FIi ) = 0
i =1
r r 理想约束： 理想约束： ∑ N i ⋅ δ ri = 0
n
r r r ( Fi + FIi ) ⋅ δ ri = 0 ∑
n i =1
r r r ( Fi − mai ) ⋅ δ ri = 0 ∑
2
第18章 动力学普遍方程 拉格朗日方程 18章
§18-1 广义力 18一、广义力的概念 表示： 质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh ( h = 1,2,…,k) 表示： r r ri = ri (q1 , q2 ,L , q k ) i = 1,2,L , n r k r ∂ri 求变分， 求变分，得用广义坐标 δ ri = δq h i = 1,2,L , n 变分表示的虚位移： 变分表示的虚位移： ∂qh h =1
①对应每一个广义坐标，有一个广义力； 对应每一个广义坐标，有一个广义力； ②广义力是代数量而非矢量； 广义力是代数量而非矢量； ③广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。 广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。 在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念， 在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首 先介绍广义力。 先介绍广义力。
r r ∂ri Qh = Fi ⋅ ∂qh i =1
∑
h = 1,2,L, k
r r k n r r ∂ri ∂ri Σδ WF = δ Wi = ( Fi ⋅ δqh ) = ( Fi ⋅ )δq h = ∂qh ∂qh i =1 i =1 h =1 h =1 i =1
∑
n
∑∑
n
k
∑∑
∑ Q δq