两接触粗糙表面的弹塑性模型

Pe 作用下产生法向变形量 w，使弹性球体的形状由虚线变为实线。实际接触区是以 a 为半径的圆，而不是以 e 为半
P
p2
o2 点A2 子午面 z2 z1
变形后单峰
P
R p2
R
o2
o
Rp
1
点A1 o1
w1 w2
A1 z1
变形前单峰
Pe
w Rp
a a
w
w
A
Rp
E′
Rp
z2
e
1
o1 A2 2a 接触带
College of Mechanical and Material Engineering, China Three Gorges University, Yichang, China 443002 # Email:thl19732003@yahoo.com.cn Abstract
The individual asperity spherical platform volume is conserved and its shape is not distorted during plastic deformation. A plastic universal solution was derived based on spherical platform volume conservation when two asperities plastically contact. GW dry contact elastic model and the surface microgeometry model of purely plastic contact are two limiting cases of the plastic general solution. The plastic ordinary solution depends not only the total interference but also on the interference history-critical elastic interference, which is in accordance with Levy-Mises equation. GW dry contact model underestimates the contact area. The plasticity index was given here that distinguishes from that of GW dry contact elastic model. Key words: GW Dry Contact Model; Levy-Mises Equation; Interference History; Spherical Platform Volume Conservation Model
固定刚性平面
(a) 两球体单峰接触无变形 弹性干涉量、接触圆的半径
[18-19]
(b) 两球体单峰接触有变形 图1
(c) 等效球体单峰与刚性平面的接触
两球体单峰的弹性接触
2 π 2 q0
分别为
w=
4 E ′2
Rp
(1) (2)
a = Rp w
单峰的弹性接触面积、载荷分别为
Ae = π Rp w
Pe =
1 GW 干接触模型的 6 个缺陷
粗糙接触体间的接触研究是当前国际摩擦学界的热点研究问题之一， 接触问题的求解对于科学研究和工程应用具有重要的
*
基金项目：国家自然科学基金(51275273)和三峡大学博士科研启动基金(KJ2012B013)资助 - 13 http://www.jma-journal.org/
的形状不改变。单元体在应力偏量作用下，υ V = 0 ，单元体的体积不改变； = υd
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故仅当
σ = σ = σz x y
时，
σ σz = = υd = 0 ，单元体的形状不改变。塑性变形仅由应力偏量所引起。当 σ x y 时，两单峰塑性接
O
d
d + wc + wp z d + wc w = wc + wp
图3 单元体的体积改变能密度、形状改变能密度分别为
峰高的概率密度
= υV = υd
1 − 2µ (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 6E
(8) (9) ，σ3 =
1+ µ [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 6E
触时球台体积守恒模型见图 4。单峰在载荷 P 作用下在 E 点开始产生弹性变形，保持弹性变形到临界弹性线 BcCc 处，在弹性 变形过程中，单峰的体积变小了，单峰的形状由球冠 AED 改变为球台 ABcCcD；以后单峰在载荷作用下开始产生塑性变形， 保持塑性变形到任意线 BC 处，在塑性变形过程中，单峰的球台体积不改变，球台形状不改变。ac 为当开始出现塑性变形时接 触圆的临界半径；a 为任意塑性接触时接触圆的待求半径。
受主应力 σ x ， σ y ， σ z 的单元体可分解为受平均应力 σ 1 = 应 力 偏 量 σ1 =
σx +σ y +σz
3 2σ z − σ x − σ y 3
，σ2 =
σx +σ y +σz
3
σx +σ y +σz
3
和受
2σ x − σ y − σ z 3
， σ2 =
2σ y − σ z − σ x 3
意义，其数值解是摩擦、磨损和润滑问题分析的基础 [11-12] 。实际表面在一定区域里是凹凸不平的，1966 年 Greenwood 和 Williamson[13]针对这种凹凸表面基于半球赫兹正应力首次开创性地里程碑式地提出了概率统计的接触模型，史称 GW 干接触 模型。GW 干接触模型作了 5 个假设：①粗糙表面各向同性；②粗糙峰在峰顶附近是球体；③所有粗糙峰顶的半径都相等但高 度随机变化；④各粗糙峰彼此远离，相互之间无作用力；⑤粗糙峰无大变形，仅当接触时粗糙峰小变形。但 GW 干接触模型存 在 6 个缺陷：①参数 s 没有清晰的物理意义；②没有给出
引言
经典机械结合面方法使用弹簧阻尼模型， 该模型可直观地仿真结合面两侧零件的相对运动， 但弹簧阻尼模型具有一个缺陷： 弹簧阻尼的理论计算数据与试验结果相差较大。 为解决弹簧阻尼模型的缺陷， 进一步提高整机的建模精度与节约试验成本， Tian 和 Li 等[1]利用固体 1 维表面微观形貌首次 提出一种基于虚拟材料的机床固定结合面动力学参数化建模方法，将固定结合面等效为虚拟材料与两结合表面零件的固定连 接，以结合面积、结合力、结合面粗糙度、结合零件的弹性模量和泊松比等为参数，建立固定结合面动力学解析模型。后来田 红亮和朱大林等[2-10]对文献[1]的一系列相关问题进行了拓展分析。 文献[1-10]采用的粗糙峰模型都是球体，本文将讨论粗糙峰的一般形状。
φ *( s ) 与 φ ( z ) 间的关系；③使用积分 2 阶变系数微分方程渐近展开
式法、蒙特卡洛法(Monte Carlo method)求解抛物柱面函数都会引入工程上无法接受的误差，直接导致了原文图 2(a)量纲一的间 距-载荷曲线误成为凸弧、 原文图 2(b)接触面积-载荷 2 条曲线过于接近、 原文图 3 接触压应力-载荷曲线误成为凹弧的 3 个缺陷； ④最大的缺陷是没有考虑单峰的塑性变形，这是因为渐近展开式法[14]会引入误差，蒙特卡洛法不适合计算小概率问题[15]。 莱维-米泽斯方程[16]反映了塑性变形过程的体积不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性。塑性应力应 变关系的重要特点是它的非线性和不惟一性， 非线性是指应力应变关系不是线性关系， 不惟一性是指应变不能由应力惟一确定。 在弹性阶段，应变可由应力直接用胡克定律求出。在塑性阶段，应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的应力历史， 应变是应力和应力历史的函数。本文考虑了单峰的塑性变形和根据两单峰塑性接触时球台体积守恒推导了塑性通解，塑性通解 不仅与总干涉量有关，而且与干涉量历史——临界弹性干涉量有关，给出了与 GW 干接触弹性模型不相同的塑性指数表达式。
根据图 1(c)由勾股定理得
(3) (4)
4 E ′ Rp w1.5 3
w = Rp
e 2 =(2 Rp − w) w ≈ 2 Rp w
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(5)
等效球形粗糙表面与光滑表面的接触见图 2。
光滑刚性表面2 等效球形单峰 P
z
w d
ys
表面1的峰高中线 表面1的表高中线
2
两表面的弹性接触
粗糙峰模型除用球体之外，常见的模型还有圆柱体和圆锥体。球体模型接触区压应力分布为椭圆体[17]。圆柱体模型的压
应力分布出现不定值区域，在边缘区域压应力趋于无限；圆锥体模型的压应力分布也出现不定值区域，在中心区域压应力趋于 无限，后二种模型弹性变形的计算困难。圆柱体模型的实际接触面积保持不变，这与粗糙表面的接触情况不符。圆锥体模型比 较接近实际，可用于摩擦磨损计算。本文采用球体粗糙峰模型，两球体单峰的接触见图 1。在图 1(c)中，当两个粗糙峰相接触 时，在载荷 径的圆。
π 2K 2H 2
4 E ′2
Rp
(7)
Baidu Nhomakorabea
1 E′
2 1 − µ12 1 − µ 2 不同于文献[17]的式(2-13)。 + E1 E2
峰高 d、临界弹性干涉量 wc 、塑性干涉量 wp 、总干涉量 w、峰高的概率密度 φ ( z ) 间的关系[20]见图 3。
φ ( z)
弹性接触区域 不接触区域
塑性接触区域
hc + wc = Rp
(11)
b2 = (2 Rp − hc − wc )(hc + wc )
球台 ABcCcD 的体积[21]为
≈
2 Rp ( K1 w + wc )
(12)
Vc =
将式(10)~式(12)代入式(13)得
π
6
hc (3ac2 + 3b 2 + hc2 )
(13)
= Vc
π
6
K1 w[3Rp wc + 6 Rp ( K1 w + wc ) + K12 w2 ]
， σ3 =
两种单元体的叠加。在平均应力作用下，
= υV
1 − 2µ (σ x + σ y + σ z ) 2 ≥ 0 ，当 σ x + σ y + σ z ≠ 0 时单元体的弹性体积改变，而不会产生塑性体积改变； υd = 0 ，单元体 6E 1+ µ [(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 ] ， 6E
2b 2a 2ac Cc
E Bc 点B
P
wc wp
A
点C D O R Rc 球心Oc Op
Rp
等效球体单峰
图4 按照式(2)可得球台 ABcCcD 上底圆半径的平方为
球台体积守恒模型
ac2 = Rp wc
若球台 ABcCcD 的高与总干涉量成正比，即
h hc
刚性平面
w
(10)
hc = K1 w
式中， K1 ≥ 1 为待定常数。 等效球体的弦半径 b 满足勾股定理
图2
等效粗糙表面与光滑表面的接触
3
两表面的塑性接触
出现初始屈服的条件是
q0 = KH
式中， = K 0.454 + 0.41µ 为最大接触压应力系数； µ 为较软材料的泊松比；H 为较软材料的硬度。 将式(6)代入式(1)，可得当开始出现塑性变形时临界弹性干涉量为
h
(6)
wc =
式中， E ′ 为两接触材料的当量弹性模量，且 =
Journal of Modern Agriculture January 2013, Volume 2, Issue 1, PP.13-20
An Elastic-Plastic Model for Two Contact Rough Surfaces
Hongliang Tian#, Dalin Zhu, Hongling Qin
两接触粗糙表面的弹塑性模型
田红亮，朱大林，秦红玲
三峡大学机械与材料学院，湖北 摘 宜昌 443002
*
要：在塑性变形过程中，单峰的球台体积不改变，球台形状不改变。根据两单峰塑性接触时球台体积守恒推导了塑
性通解。 GW 干接触弹性模型、 完全塑性接触表面微几何模型是塑性通解的两种极限情况。 塑性通解不仅与总干涉量有关， 而且与干涉量历史——临界弹性干涉量有关，这符合莱维-米泽斯方程。GW 干接触模型低估了接触面积。给出了与 GW 干接触弹性模型不相同的塑性指数表达式。 关键词：GW 干接触模型；莱维-米泽斯方程；干涉量历史；球台体积守恒模型