二倍角公式及其应用
二倍角公式的理解与应用PPT
03
二倍角公式的应用举例
在三角函数中应 用二倍角公式
理解公式来源 二倍角公式源于对三角函数的观察与总结，如sin2θ=2sinθcosθ。 简化复杂运算 利用二倍角公式可将复杂的三角函数关系简化为易于处理的二次关系。 应用广泛 在物理，工程，计算机图形等领域，二倍角公式的应用十分普遍。 举例说明 例如，求解三角形角度时，可以利用二倍角公式快速求得答案。
二倍角公式的构成元素
二倍角公式的由来 二倍角公式起源于17世纪，由数学家欧拉提出，用以简化三角函数运算。 正弦和余弦的关系 在二倍角公式中，正弦与余弦是一对核心元素，二者的关系为 sin2θ=2sinθcosθ。 二倍角公式的应用广泛 在物理、电气工程等领域，二倍角公式被广泛应用于解决各种复杂的三 角函数问题。 半角公式与二倍角公式的联系 二倍角公式可以看作是半角公式的推广，即当θ=π/2时，二倍角公式就 变成了半角公式sinθ=±1或cosθ=0。
在解方程过程中使用二倍角公式
二倍角公式的简化运算
通过使用二倍角公式，我们可以将复 杂的三角函数运算简化为简单的加减 乘除，如2sinxcosx=sin2x。
二倍角公式在解方程中的有效性
在解决包含正弦、余弦等三角函数的 复杂方程时，利用二倍角公式可以大 大减少计算量，提高解题效率。
二倍角公式的广泛应用
如何处理复杂Βιβλιοθήκη 二倍角公式问题理解二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的重 要工具，它简化了复杂的角度 运算。
掌握公式应用
通过实例演示，如计算 sin36°=2×sin18°等，可以加 深对二倍角公式的理解和应用 。
解决实际问题
利用二倍角公式，我们可以轻 松解决一些涉及复杂角度的数 学和物理问题。
二倍角公式的应用课件
sin 40 cos 40 cos80
1 sin 80 cos 80 2 1 sin160 4 1 sin 20 4
四、小结:
1、本节课重点讲述了二倍角公式的应用， 通过例 题的分析，对二倍角公式有了理深刻的理解；
2、从角特点看，可得到换元的数学思想，从解题过程 中我们又可以学到一种“配凑”的数学方法
注意： “倍”是描述两个数量之间关系的， 1 2 是 的二倍，4 是 2 的二倍， 2 1 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想。 4
二、 逆用
例2.求下列各式的值
(1) sin 15 cos15
2 tan 22.5 (2) 1 tan2 22.5
1 1 1 解： （1） sin 15 cos 15 = ×2 sin 15 cos 15 = sin 30 = ； 2 2 4
；
注：本题也蕴含了一种“配凑”的数学思想。
(2)
2 tan 22.5 tan 45 1 2 1 tan 22.5
三、活用
例3 化简
(1)
（2）
解： (1)
1 1 sin cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 2
解（2）：2sin 20 cos 20 cos 40 cos80
2
2
k
k Z 4
一、正用
公式应用
分析：已知条件给出了2α的正弦值， 由于4α是2α的二倍角，即4α=2*2α， 因此可以考虑用二倍角公式
解：由于 〈 〈 ，得 〈 2 〈 5 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 〈 2 〈 2 22 = 4 又 sin2 2 〈2 〈 〈 ，得 2 2 解：由于 〈 解：由于 〈 〈 ，得 2 13 5 5 4 2 2 5 5 5 4 又 sin2 = 〈 2 〈 又 sin2 = 又 sin2 又 sin2 又 sin2 = = 13 5 = 13 2 13= 13 又 sin2 〈2 〈 13 5 2 12 2 〈 2 〈 2 13 5 所以 cos 2 1 ( 5 ) 12 . 2 1 sin2 2 又 sin2 = 5 22 13 12 5 22 25 12 5 12 13 5 12 2 2 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 13 又 sin2 = 2 2 所以 cos 2 5 1 sin sin 2 1 1 ( () ) .12 所以 cos 2 1 2 1 ) . 所以 cos 2 1 sin 22 ( ) . 所以 cos 2 1 sin 1 ( . 5 13 2 13 13 13 13 又所以 sin2 =2 1 sin 2 2 13 13 13 cos 1 ( 13 ) . 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×(2 )] 13 1312 513 5 2 2 12 2 2 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 sin4 =sin[2 × (2 )] 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) . 于是 =sin[2 × (2 =2sin2 )] 于是sin4 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 13 5 13 12 13 13 于是=2sin2 sin4 =sin[2 × (2 )] cos2 =2sin2 cos2 2 2 =2sin2 cos2 =2sin2 cos2 2120 =2sin2 cos2 所以 cos 2 5 1 sin 1 ( ) . 12 于是 sin4 =sin[2 × (2 =2sin2 cos2 )] 13 12 120 5 12 120 5 于是 sin4 =2 =sin[2 × (2 )] 13 12 120 5 12 120 5 12 120 5 × × = ; 12 120 5 =2 × × = ; =2 × × = ; =2 × ×（ ） = ; ; ; 120 cos2 == =2 ×× × = ; =2 × =2sin2 =2 × × 12 5 169 13 13 169 13 13 169 13 13 13 169 13 =2sin2 cos2 13 169 13 169 13 12 ; 120 =2 × × = 169 13 13 于是 sin4 =sin[2 ×13 (2 )] 5 13 13 cos4 =cos[2 × (2 )] =2 × × 169= ; =cos[2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] cos4 =cos[2 × (2 )] 12 120 5 cos4 × (2 cos4 =cos[2 × (2 )] cos4=2 =cos[2 × (2 )]13 × = 169 13 =2sin2 × ; 2 cos2 22 2 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 ×(2169 )] (2 )] × =1-2sin 2 2 =1-2sin 2 13 13 =1-2sin 2 =1-2sin 2 cos4 =cos[2 =1-2sin 2 5 2 12 2 120 119 5 =1-2sin 2 ; =2 × × =2 119 5 2 119 5 =1-2sin cos4 =cos[2 × (2 )] 2 2 119 5 2 =1-2 × ( ) = 119 5 2 =1-2 × (( )) = =1-2 × ( = 2) 13 169 119 13 =1-2 × ( ) = 2 =1-2 × = =1-2 × ( ) = 119 5 169 13 5 2 2 169 13 169 13 =1-2sin 2 169 13 =1-2 × ( ) = =1-2 × ( ) = 169 13 169 13 cos4 =cos[2 × (2 )] 169 13 sin 4 120 169 120 169 13 sin 4 120 169 120 sin 4 120 169 120 119 5 2 sin 4 120 169 120 2 . 169 tan4 =4 = × = sin 4 120 169 120 tan4 = = × = .. tan4 = = × = =1-2sin 2 sin 120 169 120 sin 4 120 120 =1-2 × ( ) = tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . sin 4 120 169 120 tan4 = = × = . cos 4 169 119 119 cos 4 169 119 119 tan4 = = × = . 169 13 cos 4 169 119 119 tan4 = = 4119 = 119 . 119 4 cos 169 119 cos 169 119 5 ×
二倍角公式及辅助角公式综合应用
2
x 2 x (2) cos sin ; 8 8
2
(4)1 2sin x.
2
2
sin 2 2 sin cos
公式从右向左用即为：
2 sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
1 sin cos sin 2 2
课堂小结
2 2 y A sin x B sin x cos x C cos x 类问题的步骤： D 解
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
1 1 cos 2 2 sin cos sin 2 sin 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2.再利用辅助角公式将y化成 y a 2 b2 sin 2 x 形式 c
1 ）, (12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 2
b=(
sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求3 f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值.
2
(2)当x [0, ]时，(2x－ ) [ , 5 ] ②,…………………8分
例4、 求函数y sin x +2sinx cosx+ 3 cos x的最值.
2 2
11
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
(1)2sin x 2 3 cos x (2) 6 cos 2 x 2 sin 2 x 1 1 (2) sin x cos x 2 2 1 1 (3)5sin x 12cox x 2 2
第16讲二倍角公式及其应用
一、基础知识考点1二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦公式： αα=αcos sin 22sin二倍角的余弦公式：α-α=α22sin cos 2cos1cos 22cos 2-α=α α-=α2sin 212cos二倍角的正切公式： α-α=α2tan 1tan 22tan考点2二倍角正弦、余弦和正切公式的应用三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程．在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出角的倍、半关系，从中找到解题的突破口．对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：α2是α的倍角，而α是2α的倍角等． 在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用．例如θθ=θsin 22sin cos ，)2cos 1(21sin 2θ-=θ等等．二、例题精析【例题1】（1）求值=-10cos 310sin 1（ ） （2）求值=π⋅π12cos 12sin （ ） （3）求值 =︒⋅︒72cos 36cos （ ） （4）求值=-︒115cos 22（ ）A ．2B ．41C ．23D ．4【例题２】计算：︒⋅︒︒⋅︒80cos 60cos 40cos 20cos ．【例题３】化简：1cos 2cos sin 2sin +θ+θθ+θ．【例题４】（1）已知215sin -=x ，则=π-)4(2sin x ．（2）已知103cos sin =x x ，则=+π-π)4sin()4sin(4x x ．【例题５】 已知21tan -=x ，求x 2sin ，x 2cos ．三、课堂运用【基础】1. （1）求值=-π18cos 22（ ） （2）求值=π-π8cos 8sin 22（ ） （3）求值 =︒⋅︒5.22cos 5.22sin 2（ ） （4）求值=-π112cos 22（ ） A ．22- B ．23 C ．22 D ．21【巩固】2. 计算：94cos 93cos 92cos 9cos π⋅π⋅π⋅π．3. 若312tan =x ，则=+2cos 1sin x x ． A ．3 B ．31 C ．3- D ．31-【拔高】4. 若31cos -=α，)23,(ππ∈α，求α2sin ，α2cos ．四、课程小结1. 注意公式推导过程中角的变换及与公式的关系；2．注意公式的结构特点准确记忆，并注意条件角作为单角应用；3．注意公式应用中角的范围与三角函数值符号确定方法；4．注意公式逆向应用及其特点．5．证明三角恒等式通常从复杂端化向简单端；化倍角为单角；注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用．五、课后作业【基础】1. 不查表，求值=+ 15cos 15sin ( )A. 32B. 23C. 26D. 232. 若332sin =α，则=αcos ( ) A. 32- B. 31- C. 32 D. 313. 下列各式中,值为23的是( ) A 2sin15°cos15° B cos 215°－sin 215°C 2sin 215°－1D sin 215°＋cos 24. 已知322cos =α，则=α-α44cos sin （ ） A. 32 B. 32- C. 1811 D. 92-5. 已知53cos =θ，则=θ+θ2sin 2cos （ ） A. 259 B. 2518 C. 2523 D. 2534【巩固】 6. =ππ52cos 5cosA. 21B. 31 C. 41 D. 27. 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．8. 证明θ=θ+θ+θ-θ+tan 2cos 2sin 12cos 2sin 1． 9. 已知21cos sin cos sin =α-αα+α ，求α2tan ． 10. 等腰三角形底角的正弦是54，则顶角的余弦是______．【拔高】11. 已知α2sin =135，4π<α<2π，求α4sin ，α4cos ，α4tan 的值． 12. 已知2cos 3)2(cos +=x x f ，则=π)8(sin f _________．。
三角函数二倍角公式
三角函数二倍角公式三角函数的二倍角公式是计算角的两倍时，三角函数所满足的关系式。
这些公式在解决各种三角函数问题和证明中非常有用。
接下来，将讨论三角函数的二倍角公式及其应用。
1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式可以用来计算两倍角的正弦值。
例如，如果知道一个角的正弦值，可以使用这个公式来计算两倍角的正弦值，从而解决一些三角函数问题。
2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ= 2cos²θ - 1= 1 - 2sin²θ这个公式可以用来计算两倍角的余弦值。
同样地，如果知道一个角的余弦值，可以使用这个公式来计算两倍角的余弦值。
3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式可以用来计算两倍角的正切值。
如果已知一个角的正切值，可以利用这个公式计算两倍角的正切值。
以上是三角函数的二倍角公式的基本形式。
除此之外，它们还可以通过其他公式进行推导和变形，来满足特定问题的需要。
应用：1. 证明恒等式：通过二倍角公式，可以证明一些三角函数的恒等式。
例如，可以通过cos(2θ) =cos²θ - sin²θ，证明cos(θ + π/4) =1/√22.角的加倍：通过二倍角公式，可以将一个角的两倍表示为已知角度的函数。
这在解决一些三角函数问题时非常有用。
3. 根据两个角的三角函数值，确定角度关系：通过二倍角公式，可以根据已知的三角函数的值来确定两个角之间的关系。
例如，如果sinθ = 1/2，可以使用sin(2θ) = 2sinθcosθ计算sin(2θ) = 14. 解决三角函数方程：通过二倍角公式，可以将三角函数方程转化为初等代数方程，从而解决该方程。
例如，如果需要求解s in(2θ) = 1，可以使用sin(2θ) = 2sinθcosθ，将方程转化为2sinθcosθ = 1，然后继续用代数方法解决这个方程。
二倍角公式的应用
∴ 2sin(α + 4 ) sin(α − 4
π π
4 4 ) = − cos 2α ,
∴ 1 4 3 3 ∴f (α ) = (1 + 2 ) × 5 − 5 = 5 .
1.已知 1.已知
1 π sin( + x) sin( − x) = , x ∈ ( , π ), 4 4 6 2
cos 2α
π
π
2 =− , 求 cos α + sin α 的值. 的值 2.已知 2.已知 π 2 sin(α − ) 4 cos 2α cos 2 α − sin 2 α = 解析: sin(α − π ) (sin α cos π − cos α sin π ) 解析 4 4 4 cos 2 α − sin 2 α 2 = =− , 2 2 (sin α − cos α ) 2 (cos α − sin α )(cos α + sin α ) 2 =− , 即 2 2 (sin α − cos α ) 2
解析： 解析： 因为 f ( x) = sin 2 x − (1 − cos 2 x) (I)因为 (I)
= sin 2 x + cos 2 x − 1 π = 2 sin(2 x + ) − 1 4 2π = π. 所以函数 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T =
(II)由(I)知 当 (II)由(I)知,当2 x + = 2kπ + , 即 4 2 π f x = kπ + ( k ∈ Z )时， ( x ) 取最大值
π
π
求sin 4 x.
3.已知函数 3.已知函数 f ( x) = sin 2 x − 2sin x. 的最小正周期; (I)求函数 (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期 (II)求函数 (II)求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x )
二倍角公式
复数的除法： (a1+b1i)/(a2+ b2i)=(a1*a2+ b1*b2)/(a2^2 +b2^2)+(b1* a2a1*b2)/(a2^2
+0b2^2)i 4
微积分中的实例
导数的计算：利 用二倍角公式简 化导数的计算过 程
积分的计算：利 用二倍角公式将 积分转化为更容 易计算的形式
级数的求和：利 用二倍角公式求 解某些级数的和
级数：利用二倍 角公式进行级数 展开，方便求解
微分方程：利用 二倍角公式求解 微分方程，提高 求解速度
04
二倍角公式的应用方法
利用二倍角公式化简表达式
引入二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
举例说明：化简表达式 cos(2x) + cos(x)
应用二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， cos(x) = cos^2(x) sin^2(x)
求解sin(π/3)和cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解 sin(2π/3)的值
利用二倍角公式证明等式
引入二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
设定等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) 利用二倍角公式证明等式：将等式两边同时除以2，得到sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) 得出结论：等式成立，证明完毕。
单击此处输入你的智能图形项 正文
步骤： a. 利用二倍角公式将sin(2π/3) 转化为sin(π/3)和cos(π/3) b. 利用
三角函数值表或计算器求解sin(π/3)和 cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解
2倍角公式大全
2倍角公式大全2倍角公式是数学中的重要概念，它可以用来求解正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数在角度为两倍的情况下的值。
下面是2倍角公式的大全，供大家参考：一、正弦函数的2倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ即正弦函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时正弦函数和余弦函数值之积的2倍。
二、余弦函数的2倍角公式cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ即余弦函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时余弦函数的平方与正弦函数的平方之差，或者等于2倍角的余弦函数的平方减去1，或者等于1减去2倍角的正弦函数的平方。
三、正切函数的2倍角公式tan2θ = 2tanθ / (1-tan²θ)即正切函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时正切函数的值的2倍除以1减去角度为θ时正切函数的平方。
四、余切函数的2倍角公式cot2θ = (cot²θ - 1) / 2cotθ即余切函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时余切函数的平方减去1的商与2倍角的余切函数的值的一半之商。
五、正割函数的2倍角公式sec2θ = (sec²θ + 1) / (2secθ)即正割函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时正割函数的平方加1的商与2倍角的正割函数的值的一半之商。
六、余割函数的2倍角公式csc2θ = (csc²θ + 1) / (2cscθ)即余割函数在角度为2θ时的值等于角度为θ时余割函数的平方加1的商与2倍角的余割函数的值的一半之商。
以上就是2倍角公式的大全，它们在数学中的应用十分广泛，可以帮助我们轻松求解三角函数在角度为两倍的情况下的值，对于学习三角函数的人来说是必须掌握的知识点。
二倍角公式的应用
二倍角公式的应用一．复习两角和（差）的三角公式()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±二．二倍角公式的推导1.余弦二倍角推导由()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，其中αβ=令：得ααα22sin cos 2cos -=利用公式1cos sin 22=+αα可变形得：αααα22sin 212cos 1cos 22cos -=-=2.正弦二倍角推导()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，其中αβ=令：得αααcos sin 22sin =3.正切二倍角推导()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，αβ=令：ααα2tan 1tan 22tan -=注：ππαk +≠2且()Z k k ∈+≠ππα4三．二倍角公式的应用1.公式的直接应用（注意角的取值范围） 例1：已知),2(,135sin ππαα∈=求sin2α，cos2α，tan2α的值。
解：∵),2(,135sin ππαα∈=∴1312sin 1cos 2-=--=αα∴sin2α = 2sin αcos α = 169120-cos2α = 169119sin 212=-αtan2α =1191202cos 2sin -=a a2.公式的逆用例2：求下列各式的值：（1）15cos 15sin（2）5.22tan 15.22tan 22-（2）22tan 22.5tan 4511tan 22.5=︒=-3.公式的活用 例3：化简（1）sincos22θθ（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒解：（1）11sincos2sin cos sin 222222θθθθθ=⨯=（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒=sin 40cos 40cos80︒︒︒=1sin 80cos802︒︒=1sin1604︒=1sin 204︒注：（2）可以推广为11sin 2sin cos cos 2...cos 22n nn ααααα++=4.降幂公式（二倍角公式的变形）（1）21cos 2sin 2αα-=（2）21cos 2cos 2ββ-=以下列举几个例子：1）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 （A ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解：直接用降幂公式得cos(2)sin 22y x xπ=-=，故选A 。
数学二倍角公式有哪些
数学二倍角公式有哪些数学中的二倍角公式是指将一个角度的度数加倍后得到的角度，可以用于简化求解三角函数、三角方程等各种数学问题。
以下是数学中常用的二倍角公式及其推导过程。
1. 正弦函数的二倍角公式sin 2θ = 2 sin θ cos θ该公式表示一个角度的正弦值的二倍等于该角度的正弦值的两倍角（即sin 2θ），等于该角度的正弦值与余弦值的积的两倍（即2 sin θ cos θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据正弦函数的定义，sin θ = 对边 / 斜边，即 sin θ = a / c。
则有：sin 2θ = sin (θ + θ)用三角恒等式sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β，将sin 2θ 分解成两个角度的正弦值乘积之和，即: sin 2θ = sin (θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ2. 余弦函数的二倍角公式cos 2θ = cos² θ - sin² θ该公式表示一个角度的余弦值的二倍等于该角度的余弦值的平方减去正弦值的平方（即cos 2θ），等于1减去2倍该角度正弦值的平方（即cos 2θ=1-2sin² θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据余弦函数的定义，cos θ = 邻边 / 斜边，即 cos θ = b / c。
则有：cos 2θ = cos (θ + θ)用三角恒等式cos (α + β) = cos α cos β - sin αsin β，将cos 2θ 分解成两个角度的余弦值乘积之差，即：cos 2θ = cos (θ + θ) = cos ²θ − sin ²θ3. 正切函数的二倍角公式tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)该公式表示一个角度的正切值的二倍等于2倍该角度的正切值除以1减去该角度的正切值的平方（即tan 2θ=2tanθ / (1-tan² θ)）。
10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】； 【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系； 【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式； 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系； 【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点； 【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ； 【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ； 【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式） 【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。
常用三角函数二倍角公式
常用三角函数二倍角公式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
其中，常用三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
在解决三角函数问题时，我们经常需要用到二倍角公式。
正弦函数二倍角公式正弦函数的二倍角公式为：sin2θ = 2sinθcosθ其中，θ为角度。
这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如： 1. 求sin120°的值。
根据正弦函数二倍角公式，我们可以将120°拆分成60°的两倍角，即：sin120° = 2sin60°cos60°由于sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，代入公式得：sin120° = 2×√3/2×1/2 = √3因此，sin120°的值为√3。
2. 求sin15°的值。
由于15°无法拆分成已知角度的两倍角，我们需要用到半角公式：sin(θ/2) = ±√(1-cosθ)/2将θ=30°代入公式得：sin15° = ±√(1-cos30°)/2由于cos30° = √3/2，代入公式得：sin15° = ±√(1-√3/2)/2因为15°是第一象限角，所以sin15°为正数，代入公式得：sin15° = √(2-√3)/2余弦函数二倍角公式余弦函数的二倍角公式为：cos2θ = cos²θ - sin²θ这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如：1. 求cos150°的值。
根据余弦函数二倍角公式，我们可以将150°拆分成75°的两倍角，即：cos150° = cos²75° - sin²75°由于cos75° = (1+√3)/2√2，sin75° = (√6-√2)/4，代入公式得：cos150° = ((1+√3)/2√2)² - ((√6-√2)/4)²化简得：cos150° = (√2-√6)/4因此，cos150°的值为(√2-√6)/4。
二倍角公式
二倍角公式
二倍角公式，也叫做双角公式，是数学中一个重要的公式，可以用来求解复杂的几何问题。
二倍角公式就是两个角之和等于180°，也就是说，任何一个角加上它的二倍，都等于180°。
这句公式可以简写为：A + 2A = 180°。
这个公式有很多应用。
首先，二倍角公式可以用来求解三角形的角度。
比如，如果你知道一个三角形的两个角，你可以用二倍角公式来求出第三个角度。
如果你知道三角形的三个角度，你可以用二倍角公式来验证它们是否满足三角形的要求。
另外，这个公式也可以用来求解四边形的角度。
如果你知道四边形的三个角度，你可以用二倍角公式求出第四个角度。
此外，二倍角公式还可以用来求解更多复杂的几何问题。
比如，如果你想知道两条直线之间的夹角，你可以先求出它们的垂直平分线的夹角，然后用二倍角公式求出它们之间的夹角。
总之，二倍角公式是一个重要的数学公式，它可以用来求解复杂的几何问题。
它的应用也非常广泛，不仅在三角形和四边形中有用，还可以用来求解更多复杂的几何问题。
二倍角公式及应用课件-2024届高考数学一轮复习
＝4 3sinsin1428°°－60°＝－4 3.
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求值：1＋2sicno2s02°0°－sin10°tan15°－tan5°.
【解析】 原式＝14＋si2nc1o0s°2c1o0s°1－0°1－sin10°csoins55°°－csoins55°° ＝2csoisn1100°°－sin10°·cossi2n55°°－cossin52°5° ＝2csoisn1100°°－2cos10°＝cos10°－2s4isni1n01°0°cos10° ＝cos102°s－in120s°in20°＝cos10°－22ssinin103°0°－10°
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【解析】 (1) 由④式，得 sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝122＋122 ＋12×12＝34.
(2) 由(1)的计算结果可得推广的三角恒等式为 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34. 证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°) ＝1－c2os2α＋1＋cos22α＋60°＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
所以 sin2α＋1π2＝sin2α＋3π－π4
＝sin2β－π4＝sin2βcosπ4－cos2βsinπ4＝1750
2 .
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思考3►►► 如何利用给定三角函数值求未知三角函数的值？关键是什么？
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给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数 值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
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题组二 给角求值 2 求值：sin123°t4anco1s22°1－2°3－2.
【解析】 原式＝22cocs32os1si2n1°21－2°°1－s3in12°＝2si3ns1in21°c2o°s－123°ccooss1224°°
二倍角的公式
二倍角的公式二倍角的公式是数学中的一种重要公式，它在解决三角函数问题时非常有用。
本文将详细介绍二倍角的公式及其应用。
二倍角的公式可以帮助我们简化三角函数的计算。
在数学中，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
而二倍角的公式适用于这些三角函数的二倍角，即对于角度θ，二倍角的公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θtan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)我们来看正弦函数的二倍角公式。
根据公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，我们可以得出sin(2θ)的值等于2sinθ乘以cosθ。
这个公式在解决正弦函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算sin(60°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为30°，然后代入公式计算得到sin(60°) = 2sin(30°)cos(30°) = 2 * 0.5 * √3 / 2 = √3 / 2。
接下来，我们来看余弦函数的二倍角公式。
根据公式cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，我们可以得出co s(2θ)的值等于cos^2θ减去sin^2θ。
这个公式在解决余弦函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算cos(120°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为60°，然后代入公式计算得到cos(120°) = cos^2(60°) -sin^2(60°) = (1/2)^2 - (√3/2)^2 = 1/4 - 3/4 = -1/2。
我们来看正切函数的二倍角公式。
根据公式tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)，我们可以得出tan(2θ)的值等于2tanθ除以1减去tan^2θ。
这个公式在解决正切函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算tan(45°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为22.5°，然后代入公式计算得到tan(45°) = 2tan(22.5°) / (1 - tan^2(22.5°)) = 2 * (2 - √2) / (1 - (2 - √2)^2) = 1。
《高二数学二倍角》课件
对后续学习的展望与建议
展望
在后续的学习中，我们将进一步学习三 角函数的和差公式、积化和差与和差化 积公式等，这些公式与二倍角公式有着 密切的联系。通过深入学习这些公式， 我们可以更好地理解和应用二倍角公式 ，提高解决复杂问题的能力。
VS
建议
为了更好地掌握和应用二倍角公式，建议 同学们多做练习题，通过实践来加深对公 式的理解和掌握。同时，也需要注重培养 自己的数学思维和解决问题的能力，以便 更好地应对各种复杂的数学问题。
题目一解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 2π/3)转化为cos[π/2 + (α - 2π/3)]，再利用已知条件计算结果为-1/3 。
题目二解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(2sin^2α + cos^2α)转化为(cos^2α)/(2sin^2α + cos^2α)，再利 用已知条件计算结果为3/5。
题目六
已知sin(π/4 - α) = 1/3，求cos(5π/4 + α)的值。
题目四解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 5π/6)转化为cos[π/2 + (α - 5π/6)]，再利用已知条件计算结果为-4/5 。
题目五解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(sin^2α - cos^2α) 转化为(cos^2α)/(sin^2α - cos^2α)，再利用已知条件 计算结果为-3/4。
题目九
已知sin(π/6 + α) = √5/5，求cos(7π/6 - α)的值。
题目七解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(5π/6 + α)转化为cos[π/2 + (5π/6 + α)]，再利用已知条件计算结果为7/8。
二倍角公式的应用
二倍角公式的应用一、二倍角的定义sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ (这是最常见的二倍角公式)tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)1.计算一些特殊角的值使用二倍角公式可以帮助我们计算一些特殊角的值。
例如，sin(60°)可以使用sin(2×30°)来表示，然后利用二倍角公式sin(2θ) =2sinθcosθ，可以得到sin(60°) = 2sin(30°)cos(30°) =2×1/2×√3/2 = √3/2同样地，我们可以利用二倍角公式计算cos(75°) =cos(2×37.5°)，然后使用cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ得到cos(75°) = cos^2(37.5°) - sin^2(37.5°) = (cos(37.5°) +sin(37.5°)) × (cos(37.5°) - sin(37.5°))。
2.解决三角方程二倍角公式在解决三角方程时也起着重要的作用。
例如，我们想要解决方程sin(2θ) = 1/2，可以先将sin(2θ)用二倍角公式表示为2sinθcosθ，得到2sinθcosθ = 1/2、然后我们可以分别考虑sinθ = 1/2和cosθ = 1/2的情况，找到满足条件的角度。
3.简化复杂的三角函数表达式通过二倍角公式，我们可以将复杂的三角函数表达式简化为更简洁的形式。
例如，我们想要简化sin^4θ，可以利用sin^2θ = (1 - cos2θ) / 2的二倍角公式，得到sin^4θ = (1 - cos(4θ)) / 2 × (1 -cos(4θ)) / 2 = (1 - cos(4θ))^2 / 4同样地，我们可以利用cos^2θ = (1 +cos2θ) / 2的二倍角公式，将cos^6θ简化为(1 + cos(6θ))^3 / 84.求解三角形的边长和角度在解决三角形相关问题时，我们常常需要利用二倍角公式计算三角形的边长和角度。
二倍角的全部公式
二倍角的全部公式
二倍角公式是数学中的一种重要的公式，它可以用来计算角度的大小。
它的公式如下：
2θ=2cosθ+2sinθ
二倍角公式也被称为正弦定理，它是一个比较常见的数学定理，可以用来计算三角形的角度和边长。
它的使用范围很广，不仅可以用来计算三角形的角度，还可以用来计算圆的周长和面积。
二倍角公式的应用非常广泛，它可以帮助我们更好地理解三角形的结构。
它可以用来计算三角形的面积和周长，还可以用来计算圆周长和面积。
它可以帮助我们计算出多边形的面积和周长。
此外，二倍角公式还可以用来计算曲线上特定点的位置，还可以用来计算椭圆的面积和周长，甚至可以用来计算三维空间中的位置、距离等等。
总之，二倍角公式的应用非常广泛，它不仅能够帮助我们计算出三角形的角度和面积，还可以用来计算出圆形、多边形、曲线以及椭圆的面积和周长。
它可以帮助我们更好地理解数学中的各种几何概念，使我们在学习数学方面更加轻松。
二倍角公式的应用
二倍角公式的应用二倍角公式是在和角的三角公式的基础上推导出来的，它反映了倍角与单角的函数关系，它在三角函数的化简、求值、证明中有着广泛的应用．二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法．1．正用公式直接正面利用二倍角公式：sin2α=2sin αcos α，cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α，tan2α=αα2tan 1tan 2-．二倍角公式中的倍角是相对的，要熟悉多种形式下的两个角的倍数关系． 例1．已知tan （4π+α）=21，（1）求tan α的值；（2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值． 分析：通过已知直接由二倍角的正切公式求得tan α的值；从而与ααα2cos 1cos 2sin 2+-取得联系求值． 解析：（1）∵tan （4π+α）=ααtan 1tan 1-+=21，∴tan α=－31； （2）ααα2cos 1cos 2sin 2+-=1cos 21cos cos sin 222-+-αααα=αααcos 2cos sin 2-=2tan α－21=－65． 点评：这是一种三角求值中“给值求值”的一种形式，通过多次倍角公式的正用，来建立所求式与已知条件的关系．变形练习1：计算：41log （tan15º+cot15º）2．答案：由于tan15º+cot15º=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22=︒30sin 211=4， 则41log （tan15º+cot15º）2=41log 42＝－2．2．逆用公式注意二倍角公式的右边向左边的逆用应用，通过把对应的二倍角公式从右边向左边的利用，达到三角函数式的化简、求值和证明等目的．例2．已知sin （4π+2α）sin （4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α－cot α+tan α－1的值． 分析：如何建立与知角与所求角的三角函数的关系，才是解决问题的突破口．解析：由于sin （4π+2α）sin （4π－2α）=sin （4π+2α）cos （4π+2α） =21sin （2π+4α）=21cos4α=41， 可得cos4α=21，又α∈（4π，2π），则4α∈（π，2π），∴4α=35π，即α=125π， 则2sin 2α－cot α+tan α－1=－cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=－cos2α+αα2sin 2cos 2- =－（cos2α+2cot2α）=－（cos 65π+2cot 125π）=－（－23－23）=235．点评：由于半角公式不再要求掌握，此题通过化切为弦，四次逆用倍角公式使已知角4π±2α与α联系起来是解题的关键．同时要明确二倍角不仅限于2α的形式，只要两个角之间具有二倍角的关系即可，如2π+4α是4π+2α的二倍等．变形练习2：求cos5πcos 52π的值． 答案：原式=5sin5sinππcos 5πcos 52π=5sin 52cos 52sin 21πππ=5sin 54sin 41ππ=5sin 4)5sin(πππ-=41． 3．变用公式 若将倍角公式适当地变形，如：sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+（降幂公式），在解题中更能体现出它的灵活性．例3．已知cos （4π+x ）=53，x ∈（1217π，47π），试求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值． 分析：利用倍角的降幂公式不仅变化次数又变化了角，有着双重功效．正确运用上述公式，可以达到出奇制胜之效．解析：∵x ∈（1217π，47π），∴（x+4π）∈（35π，2π）， 则由cos （4π+x ）=53，可得sin （4π+x ）=－54，tan （4π+x ）=－34， 而sin2x=sin （2π+2x －2π）=－cos （2π+2x ）=－[2cos 2（4π+x ）－1]=257， 于是x x x tan 1sin 22sin 2-+=xx x x x x tan 1cos sin cos sin 22sin -⨯+=x x x x tan 1tan 2sin 2sin -+ =x x x tan 1)tan 1(2sin -+=sin2xtan （4π+x ）=－7528． 点评：对于三角函数的化简通常是从它的“角”、“形”、“名”、“幂”四个方面入手分析；而对变用二倍角公式使之化为一个三角函数的形式，在以后的三角函数的学习尤为显的重要．变形练习3：化简：53sin 2α+3cos 2α+2sin2α．答案：原式=53×22cos 1α-+3×22cos 1α++2sin2α =2sin2α－23cos2α+33=4（21sin2α－23cos2α）+33=4sin （2α－3π）+33． 在实际应用中，应用倍角公式时还应注意公式的多种形式、灵活变形、公式的逆用等．只有熟练地掌握二倍角公式及其变形公式，才能灵活地运用公式．在实施解题过程中，关键是抓住三角函数式中角的变化、形的结构、名的关系，运用化归统一的思想方法，灵活变用倍角公式．。
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二倍角公式及其应用
郴州综合职业中专
张文汉
教学目的：
引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用
教学重点：
二倍角的正弦、余弦以及正切公式
教学难点：
二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式
引入：
回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：
()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
()βαβ
αβαtan tan 1tan tan tan -+=+
要求：
掌握三个公式的形式与结构并熟记公式
新授：
一、 二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出
在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中
,cos sin 22sin ααααβ=弦以及正切公式如下：
”得二倍角的正弦、余”代“以“
,sin cos cos222ααα-=
,tan 1tan 22tan 2αα
α-=
外两个公式：可得二倍角的余弦的另另外、根据1cos sin 22=+αα
,1cos 22cos 2-=αα
.sin 212cos 2αα-=
二、应用训练
㈠、公式的正用：
().2cos 2sin ,270,180,43
cos 00的值、求已知ϕϕϕϕ∈-=
()
,
413431cos 1sin ,270,180,43cos 2200-
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--=∈-=ϕϕϕϕ所以，解：因为
.
8
514321cos 22cos ,
8
39
43
4132cos sin 22sin 22-=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-
⨯=-==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⨯==ϕϕϕϕϕ所以，
㈡公式的反用：求下列各式的值
()005.22cos 5.22sin 21 ()0015cos 15sin 2
()15.22cos 2302- ()125sin 2142π
-
().22
45sin )5.222sin(100==⨯=原式解
()()41
212130sin 2115cos 15sin 221
2000=⨯===原式解
().22
45cos )5.222cos(300==⨯=原式解
().
43
23
216cos 216cos 2165cos 21125sin 212142-=⨯-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=ππππ
π原式解
㈢公式的灵活运用：化简或求值
();8cos 228sin 121+++化简： ().
178cos 174cos 172cos 17cos 2π
π
ππ求值：
()().4cos 21
2sin 2sin ,0222tan 32的值，求，且已知⎪⎭
⎫
⎝⎛--+∈=θπθ
θπθθ
()()14cos 2224cos 4sin 21212-+++=原式解 ()4cos 44cos 4sin 222++=
()().4cos 4sin .4cos 24sin 24cos 24cos 4sin 2皆为负与因为，+-=-+-=
()17
sin 2178cos 174cos 172cos 17cos 17sin 2244πππππ
π=原式解 17sin 2178cos 174cos 172cos 172sin 243πππππ=17
sin 2178cos 174cos 174sin 242ππππ= 17sin 2178cos 178sin 24πππ=17sin 21716sin 4ππ=.16117
sin 217sin 17sin 2)17sin(44==-=πππππ (),22tan 1tan 2,222tan 32=-=θθθ所以：因为解 ,02tan tan 22=-+θθ整理得：,2tan 2
2tan -==θθ或解之，得 ;32212
21221tan 1tan sin cos cos sin 22tan 2,0-=+-==+-=+-==⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈θθθθθθθπθ原式，此时，则若 ，此时，则若2tan ,2-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈θππθ .22312121tan 1tan +=+---=+-=θθ原式 三、课堂练习
求下列各式的值：();5.67cos 5.67sin 100 ().15cos 75sin 200
四、课堂小结：
1、二倍角公式的导出；
2、二倍角公式的熟练应用；
3、二倍角公式的灵活应用.
五、作业：
.
,6.0角的正弦、余弦值求这个等腰三角形的顶底角的正弦值等于已知等腰三角形的一个六、课后思考训练
.cos sin ,2,4,tan 12sin sin 23;tan ,,2,2cos sin 2;78sin 66sin 42sin 6sin 120000的值表示试用、已知求、已知、求值：ααππαααααππααα-⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=++⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=k k。