函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)

un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .

推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)


例.
求证fn ( x)

1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)

x
lim
n
1

n2
x
2

0, 逐点收敛于f ( x)
0.
fn(x)
f
(x)

x 1 n2 x2

1 2n
2n x 1 n2 x2

1 2n
n sup

n
fn(x) f (x) 2
sup
xI
fn(x)
f (x)

2


lim
n

n
0.
反之，若 lim n
n

0, 则

0, N (
)

0, n

N (
)时
n , x I, fn(x) f (x) n .
{ fn( x)}在I上一致收敛于f ( x).
n sup
x(1, )
fn(x)
f (x)
10 n
一致收敛
当0 x 1时,
而n sup
x( 0 ,1)
fn(x) f (x)
1
11
fn(n) 0

11

, 2
不 0, 故在(0,1)上不一致收敛.

定义. 设 S(x) 为 un (x) 在区间 I 上的和函数, 若对
S(x)

lim Sn (x)
x
1 n
) 1

1 x 1
(0 x )
余项的绝对值:
rn (x)

S(x) Sn (x)
1 1 x n1 n1
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N


1

1
,
则当n
致收敛于f ( x)。
定理 记: n sup fn( x) f ( x) ，则 fn(x)在I上
xI
一致收敛于f ( x)
lim
n

n

0。
证明： 若{ fn( x)}在I上一致收敛于f ( x), 则 0,
N( ) 0, s.t. n N ( )时, 对x I都有,
x( , )
fn(x)
f (x)

1 0. 2n
fn( x)一致收敛于0, x (, ).
例.
判断fn (
x)

1
nx n2
x2
在(0,1)和(1,
)上是否一致收敛？
解： x,
lim
n
fn ( x)

0.
当1 x 时,
nx
nx 1 1
fn ( x) f ( x) 1 n2 x2 n2 x2 nx n
n1
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使
当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
rn (x) S(x) Sn (x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .
显然, 在区间 I 上

un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和
的性质, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点.
例如, 级数
x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 Sn (x) xn ,
在区间 [0, +∞) 上的收敛性.
解:
1
1 1
(x k)(x k 1) x k x k 1
(k 1,2,)

S
n
(x)

(
x
1
1

x
1
) 2

(
x
1
2

x
1
) 3


( 1 1 ) x n x n1
1 1 x 1 x n1
收敛于0。
逆否命题:

若{un ( x)}在I上不一致收敛于0,则 un( x)在I上不一致收敛. n1 例 讨论 nenx在(0, )上的一致收敛性. n1
例1. 研究级数
1

1

1

(x 1)(x 2) (x 2)(x 3)
(x n)(x n 1)
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续
和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆 设 fn(x)是区间I上的函数列,若x0 I,数列 fn(x0 )收敛，则称 fn(x)在I上收敛或逐点收敛.
0,
和函数 S(x) lim Sn (x)
n
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
又如, 函数项级数
因为对任意 x 都有:
sin n2x n2

1 n2
(n 1, 2,)
所以它的收敛域为(, ) , 但逐项求导后的级数
cos x cos 22 x cos n2x