第二章第5讲 单纯形法的矩阵描述

定理(最优解判别准则）对于可行基B ,若 C -CB B-1A ≤ 0
则对应于基B的基础可行解x就是基础最优解，此时的可 行基就是最优基。 σ=C - CB B-1A为检验数。
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0 C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
检验数σ=C - CB B-1A= （0， CN - CB B-1N ）
非基变量检验数σ= CN - CB B-1N

j m
cj

n
c i a ij , j m 1 , , n
x j , z0 C B b

i1
z z0
jm 1


j
B

j
0
时,达到最优。
初ห้องสมุดไป่ตู้单纯形表
项目 CB XB Cj-zj
迭代单纯形表
b
基变量 XB B CB 基变量 XB B-1B
1
1
单纯形法的矩阵描述 最优基判别定理 设B是(LP)的一个基,若基B满足: (1) B-1b0 (2) CN－CBB-1N 0 则B是(LP)的最优基. 检验数 可证明：CN－CBB-1N 0等价于C－CBB-1A 0
单纯形法的矩阵描述 则线性规划也可表示成：
M a x Z C B B 1b ( C C B B 1 A ) X B 1 A X B 1b S .T . X 0
上式中 X
S
X S 为松弛变量，
( x n1 , x n 2 , , x n m )
I 为 m m 单位矩阵
单纯形法计算时，总选
初始单纯形表
取 I 为初始基，对应基变量
为X S
项目 0 XS Cj-zj b
非基变量 XB XN B N CB CN
基变量 XS I 0
迭代若干步后，基变量为X B , X B在初始单纯形表中的系数矩阵为B.
项目 CB XB B-1b
基变量 XB I=B-1B
非基变量 XN XS B-1N B-1I
Cj-zj
0
CN-CBB-1N
-CBB-1
非基变量 XN N CN 非基变量 XN B-1 N
项目 CB XB Cj-zj B-1 b
CB-CB B-1B CN-CB B-1N
单纯形法的矩阵描述（2）
Max Z CX ( LP ) AX b S .T . X 0
Max Z CX ( LP ) AX IX S b S .T . X , X 0 S
B是A的一个基
则线性规划问题可写成以下形式：
由上述模型可看出，当XB=B-1b,XN=0, 满足AX=b条件 当XB=B-1b≥0XN=0时，B是可行基，X是基本可行解 再当CN－CBB-1N 0时，B是最优基，X是最优解
Max Z CB B b (CN CB B N ) X N 1 1 ( LP) X B B b B NX N S .T . XB, X N 0
CB X B CN X N
BX B NX N b
1
X
B
B
1
1
b B
NX
N
1
Z CBB
b (C N C B B
N )X
N
单纯形法的矩阵描述
Max Z CX 线性规划问题( LP) AX b S .T . X 0
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
Max Z CX 考虑线性规划问题： LP ) ( AX b S .T . X 0
则 A=(B,N)，X＝(XB,XN)T，C＝(CB,CN)
目标函数 约束条件

XB Z CX (C B , C N ) X N XB AX ( B, N ) X N