高中物理中常用的三角函数数学模型(强烈推荐)
高中三角函数解题模型及技巧
高中三角函数解题模型及技巧
见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.
sin(kπ+α)=(-1)inα(k∈Z)；
cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；
tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；
cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z)。
扩展资料
见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的`区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内。
见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。
“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.
人教版高中数学必修第一册5.7三角函数的应用 1课时 三角函数模型在物理中的应用【课件】
三角函数
5.7
三角函数的应用
课时1 三角函数模型在物理中的应用
教学目标
1. 了解“简谐运动”的函数模型y=Asin(ωt+φ)(t≥0,A,ω>0)中参数
A,ω,φ的物理意义,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质.
2. 能根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式,进一步
≈24.82(cm),所以,要使沙漏摆动
×.
又g=9.8
的周期是1s,线的长度应当是24.82 cm.
m/s2=980
cm/s2,所以l=
【方法规律】
在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如:
气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的
即 sin 2 +
π
4
π
π
5π
4
2
8
π
8
, 3 ;当 h=-3,
=-1 时,下降到最低点,2t+ =- +2kπ(k∈N),得 t= +kπ(k∈N).
5π
第一次到最低点时,t= 8 ,此时最低点的位置为
5π
8
, −3 .
【方法规律】
已知三角函数解析式，一般情况下，可直接得出角速度、振幅，进一步求出周期
可以利用怎样的函数模型刻画交变电流的周期性变化呢？
【问题6】求电流i随时间t变化的函数解析式．
【问题7】根据上述解析式，当t＝0， ， ， ， 时，求
电流i.
三角函数模型
三角函数模型三角函数模型是数学中的一种重要工具，它是用来描述三角形内角与边之间关系的函数模型。
三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别描述了三角形内角的相对值与三角形边长之间的关系。
正弦函数是指三角形内角的正弦值与三角形斜边长之间的比值。
正弦函数在三角形中的应用非常广泛，它可以用来计算三角形内角、边长以及高度等相关参数。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期是360度或2π弧度。
余弦函数是指三角形内角的余弦值与三角形斜边长之间的比值。
余弦函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形的面积、角度以及边长等参数。
余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期与正弦函数相同，都是360度或2π弧度。
正切函数是指三角形内角的正切值与三角形斜边长之间的比值。
正切函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形边长、高度以及角度等相关参数。
正切函数的图像也是一个周期性的波形，它的周期是180度或π弧度，它的值域是从负无穷到正无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，还有许多其他的三角函数模型，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们也都是用来描述三角形内角与边长之间的关系，但是它们的定义和图像与正弦函数、余弦函数和正切函数有所不同。
三角函数模型在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，三角函数模型被用来描述波动和振动的运动规律；在工程学中，三角函数模型被用来计算机械运动和结构强度等参数；在数学中，三角函数模型则被用来解决各种三角形问题和微积分问题等。
三角函数模型是数学中的一种重要工具，它们可以用来描述三角形内角与边长之间的关系，从而解决各种与三角形相关的问题。
掌握好三角函数模型的定义和应用，对于学习数学和应用数学都是非常重要的。
常用三角函数值表高中
常用三角函数值表高中三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
在高中数学课程中，学生需要掌握常用三角函数的数值表，以便在解题过程中能够准确地使用三角函数的数值。
本文将介绍常用的正弦、余弦和正切函数在零到360度范围内的数值表，帮助高中生更好地掌握这一重要知识点。
正弦函数值表正弦函数是三角函数中的一种重要函数，通常用符号$\\sin$表示。
在零到360度范围内，正弦函数的数值表如下：角度（度）03045609182736正弦值00.5$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$10-10从上表可以看出，当角度为0度时，正弦值为0；当角度为90度时，正弦值达到最大值1；当角度为180度时，正弦值再次回到0；当角度为270度时，正弦值达到最小值-1；当角度为360度时，正弦值再次回到0。
余弦函数值表余弦函数是三角函数中的另一种重要函数，通常用符号$\\cos$表示。
在零到360度范围内，余弦函数的数值表如下：角度（度）0304569182736余弦1$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$0.50-101值从上表可以看出，当角度为0度时，余弦值为1；当角度为90度时，余弦值为0；当角度为180度时，余弦值为-1；当角度为270度时，余弦值再次回到0；当角度为360度时，余弦值再次回到1。
正切函数值表正切函数是三角函数中的另一种重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
在零到360度范围内，正切函数的数值表如下：角度（度）03045609182736正切值0$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$1$\\sqrt{3}$不存在0不存在从上表可以看出，当角度为0度时，正切值为0；当角度为45度时，正切值为1；当角度为90度时，正切值不存在（因为在90度和270度时，余弦值为0）；当角度为180度时，正切值为0；当角度为360度时，正切值再次回到0。
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
三角函数的模型及应用
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
三角函数与数学模型
三角函数与数学模型三角函数是数学中的重要概念，广泛应用在物理、工程、计算机科学等各个领域的数学模型中。
本文将介绍三角函数的定义与性质，并解释三角函数在数学模型中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sine function）正弦函数是以单位圆上一点的y坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
正弦函数可以表示为y = sin(x)的形式，其中x为角度。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是以单位圆上一点的x坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
余弦函数可以表示为y = cos(x)的形式，其中x为角度。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是正弦函数与余弦函数的商，可以表示为y = tan(x)的形式。
正切函数在某些特定角度上可能会无定义，例如在x = (2n+1)π/2时，其中n为整数。
4. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内函数值重复。
例如，正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也为2π。
5. 奇偶性正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 平移与缩放三角函数函数图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移指的是将函数图像沿x轴或y轴方向移动，而缩放则是改变函数图像的振幅和周期。
二、三角函数在数学模型中的应用1. 波动模型三角函数的周期性特点使其在波动模型中经常被使用。
例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述光、声、电磁波等的震荡特性。
2. 周期性变化三角函数的周期性特点还可以用来描述一些周期性变化的数据。
在经济学中，三角函数可以用来分析股票价格、季节性销售等数据的周期性波动。
3. 几何建模三角函数在几何建模中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数可以用来表示曲线、曲面的参数方程，实现三维图像的生成与变换。
三角函数三角函数模型的简单应用
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。 它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切 公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三角函 数的反函数。
反三角函数的应用场景
01
三角函数方程的求 解
当需要求解三角函数方程时，可 以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
三角测量
在地理学和工程学中，余弦函数被广泛应用于三角测量。通过测量两个物体之间的角度， 可以确定它们之间的距离或位置。余弦函数在这一过程中扮演了关键角色。
振动分析
在物理学和工程学中，余弦函数也被用来描述振动。例如，弹簧振子的位移可以表示为时 间的余弦函数。通过分析位移随时间的变化，可以得出振动的频率、幅度等参数。
物理学的应用
01
正弦函数在物理学中有广泛的应用，如振动、波动、交流电等
。
工程学中的应用
02
在工程学中，正弦函数被广泛应用于信号处理、图像处理等领
域。
经济学中的应用
03
在经济学中，正弦函数被用于分析周期性现象，如商业周期、
市场波动等。
03
CATALOGUE
余弦函数及其应用
余弦函数的定义与性质
余弦函数的定义
02
CATALOGUE
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
正弦函数的定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中一个角的对边与斜边的比值，即 $sin(x) = \frac{y}{r}$。
正弦函数的性质
正弦函数具有周期性、单调性、有界性等性质。其最小正周期为 $2\pi$，在区间 $[0,2\pi]$ 上，$sin(x)$ 的值 域为 $[0,1]$。
三角函数12345模型
三角函数12345模型三角函数是高中数学中的一个重要概念，通过它可以描述数学中的各种周期性现象。
在三角函数中常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
接下来，我将详细介绍这些三角函数及其模型。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = sin(x)。
其中，x表示自变量，y表示因变量。
正弦函数的最值在[-1, 1]之间，当自变量x自增时，正弦函数值会在[-1, 1]之间变化。
正弦函数的图像呈现一种波浪形状，可表示许多自然现象，如波浪、声音和光的传播等。
例如，在机械振动中，质点做周期性的振动，其位移与正弦函数呈正相关关系。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = cos(x)。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，但在水平方向上平移了π/2、余弦函数的最值也在[-1, 1]之间。
余弦函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
在三角函数的应用中，余弦函数通常用于描述旋转、波动等周期性现象，比如天体运动和电路中的交流电信号。
3. 正切函数（tan）：正切函数是一个以π为周期的函数，数学表达式为y = tan(x)。
正切函数的图像在π/2, 3π/2, 5π/2等位置上有无穷大的间断点。
正切函数的值可以取任意实数，它的变化具有较大幅度的剧烈性。
正切函数在物理学、工程学等方面的应用也很广泛。
例如，在房屋设计中，正切函数可以用来计算房顶的坡度；在电子学中，正切函数可以描述电流和电压的关系。
4. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数是正弦函数的反函数，数学表达式为y = arcsin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
它表示对于一个给定的y值，通过反函数可以找到对应的x值。
反正弦函数在解三角形的问题中经常被使用。
例如，已知一个直角三角形的斜边和一个角度，可以使用反正弦函数来计算其他两个边的长度。
5. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数是余弦函数的反函数，数学表达式为y = arccos(x)。
高中物理计算常用的三角函数值
高中物理计算常用的三角函数值在高中物理学习中，三角函数是一个十分重要且常用的数学工具。
在物理学中，经常需要用到三角函数来描述物理量之间的关系或计算相关数值。
本文将介绍高中物理中常用的三角函数值及其计算方法。
正弦函数正弦函数是三角函数中的一个重要概念，通常用符号sss表示。
在物理学中，正弦函数常用于描述角度和长度之间的关系。
例如，在抛体运动中，物体在任意时刻s的竖直方向速度s s与初速度s ss和重力加速度s之间的关系可用正弦函数表示：$$ V_y = V_{yo} \\cdot sin(\\theta)-g \\cdot t $$其中，$\\theta$为初速度和水平方向所成角度。
为求解上述公式，需要事先计算出$\\theta$对应的正弦值。
余弦函数余弦函数通常用符号sss表示，是三角函数中的另一个重要概念。
在物理学中，余弦函数常用于描述角度和长度之间的关系。
例如，当物体做匀速圆周运动时，其加速度与半径s和角速度$\\omega$之间的关系可用余弦函数表示：$$ a = - r \\cdot \\omega^2 \\cdot cos(\\theta) $$其中，$\\theta$为物体当前位置与s轴正方向所成的角度。
为求解上述公式，需要知晓$\\theta$对应的余弦值。
正切函数正切函数用符号sss表示，也是物理学中常用的三角函数之一。
在物理学中，正切函数常用于描述两个参量之间的比例关系。
例如，在光学中，光线经过单一介质到达另一介质时，入射角$\\theta_1$和折射角$\\theta_2$之间的关系可用正切函数表示：$$ n_1 \\cdot sin(\\theta_1) = n_2 \\cdot sin(\\theta_2) $$其中，s1和s2分别为两个介质的折射率。
为了计算光线的折射情况，需要了解$\\theta_1$和$\\theta_2$对应的正切值。
综上所述，正弦、余弦和正切函数在高中物理中具有重要的应用价值。
高一数学人必修课件三角函数模型的简单应用
例题2
三角函数图像的变换。根据给定 的三角函数图像变换规律，绘制 出相应的函数图像，并分析其性
质。
例题3
三角函数在实际问题中的应用。 结合实际问题背景，建立三角函 数模型，利用三角函数性质解决
问题。
拓展延伸：复杂情境下三角函数模型应用
复杂振动问题
对于复杂的振动现象，如弹簧振子、单摆等，通过建立三 角函数模型，分析其振动规律，求解相关物理量。
万有引力定律的应用
万有引力定律不仅适用于天体运动，还可以应用于其他领域，如地球重力场中的物体运动 、人造卫星的轨道设计等。在这些应用中，同样需要运用三角函数模型来处理角度问题。
05
三角函数在经济学中的应用
复利计算与投资策略分析
利用三角函数表达复利公式
通过三角函数的周期性和振幅特性，将复利公式转化为三角函数形式，方便计算和分析 。
交流电信号表示
交流电信号可以用三角函数表示为时 间的周期函数，通过振幅、频率和相 位等参数，可以描述交流电信号的基 本特征。
信号合成与分解
利用三角函数的和差化积公式，可以 将复杂的交流电信号分解为简单的正 弦或余弦函数，方便进行信号方程
简谐振动是一种特殊的振动形式，其振动过程可以用三角函 数描述。通过建立简谐振动方程，可以求解振动的振幅、周 期、频率等参数。
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数 都具有周期性，即函数在某个特
定周期内重复出现。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数，满 足$f(-x) = -f(x)$；余弦函数是偶 函数，满足$f(-x) = f(x)$。
对称性
正弦函数和余弦函数图像关于原点 对称，正切函数图像关于原点对称 且具有周期性对称轴。
物理中常用的三角函数公式
物理中常用的三角函数公式在物理学中，三角函数是非常重要的数学工具，它们在描述各种物理现象和过程中起着关键作用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在物理学中经常被应用于描述波动、振动、力的分解以及各种角度的计算等方面。
下面将介绍物理中常用的三角函数公式。
正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，通常表示为sin，它在物理学中广泛用于描述振动和波动现象。
正弦函数的公式如下：$$sin(θ) = \\frac{对边}{斜边}$$其中，θ代表角度，对边指的是以该角为顶点的直角三角形中与该角相对的边的长度，斜边指的是三角形的斜边长度。
正弦函数在物理学中被广泛用于描述波的振幅、声音的频率等情况。
余弦函数（cos）余弦函数是另一个常用的三角函数，通常表示为cos，它在物理学中常用于力的分解、振动系统的分析等。
余弦函数的公式如下：$$cos(θ) = \\frac{邻边}{斜边}$$余弦函数与正弦函数有一定的关系，通常在力的分解中使用余弦函数来求解分力的大小。
余弦函数在物理学中广泛用于描述摆动系统、质点的轨迹等情况。
正切函数（tan）正切函数是另一个重要的三角函数，通常表示为tan，它在物理学中常用于求解角度、力的方向等问题。
正切函数的公式如下：$$tan(θ) = \\frac{对边}{邻边}$$正切函数常用于求解角度为θ的物体在某个方向上的分力大小。
在物理学中，正切函数被广泛用于描述斜面上的物体受力情况、矢量的分解等情况。
总的来说，在物理学中，三角函数是不可或缺的数学工具，它们在解决各种物理问题中起着至关重要的作用。
掌握三角函数的基本公式，能够帮助我们更好地理解和分析物理现象，为物理学习提供强有力的数学支持。
希望本文对读者有所帮助！。
高中物理需要的三角函数知识
高中物理需要的三角函数知识(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一. 定义：r y=θsinrx=θcosθtan =x y =θθcos sin (θtan 也曾写为θtg )θθθsin cos cot ==y x =θtan 1 (θcot 也曾写为θctg ) 平方关系：1cos sin 22=+θθ三．常用公式：1．正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2. 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc*A cosbca cb A 2cos 222-+=3. 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且ab tg =ϕ）cabBC A4诱导公试: 三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限；三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6. 二倍角公式：(含万能公式)：①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7. 半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±=④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg。
第讲三角函数模型及应用PPT课件
第二步:计算BN.由正弦定理得BN= d sin 1 ;
sin(2 1)
第三步:计算MN.由余弦定理得
MN= BM 2 BN 2 2BM BN cos(2 2) .
33
学例2 (2009·辽宁卷)如图，A,B,C,D都在同
一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上 的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B 点和D点的仰角分别为７５°，３０°，于水 面C处测得B点和D点
问题转化为与三角函数有关的问题的常
见形式有：求出三角函数的解析式；画
出函数的图象以及利用函数的性质进行
解题.
30
走进高考
学例1 (2009·宁夏/海南卷)如图，为了测量
两 山 顶 M,N 间 的 距 离 ， 飞 机 沿 水 平 方 向 在 A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平 面内（如图所示）,飞机能够测量的数据有俯 角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括： ①指出需要测量的数
20
分析 本题主要考查解三角形的知识及函
数最值的求法.在△ABC中，已知c,b的关系， 再结合余弦定理，可得BC=a的函数表达式， 然后利用基本不等式可求其最值.
设BC=a(a＞1),AB=c,AC=b,b-c= 1 ,
2
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°，
将c=b- 1 代入得：(b- 1 )2=a2+b2-ab，
6
一次所需的时间为( D ) A.2πs B. π s C.0.5 s D.1 s
T= 2 =1，故选D. 2
6
3.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔 顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔 高为( A)
A. 400 米
三角函数模型及其应用
三角函数符号
三角函数包括正弦（sin）、余弦 （cos）、正切（tan）等，每个 函数都有特定的符号和表示方法。
三角函数的性质
奇偶性
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）都是偶函 数，正切函数（tan）是奇函数。
周期计算
通过三角函数的周期性，可以计算出任意角 度的三角函数值。
02
三角函数模型
正弦函数模型
定义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为360°或2π弧度。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
图像
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形曲线。
阻尼振动
阻尼振动是指振动物体受到阻力作用而逐渐减小的振 动，其振动幅度可以用三角函数表示。
交流电
正弦交流电
交流电的电压和电流随时间变化，其变化规律可以用正弦 函数和余弦函数表示。
01
相位差
在交流电系统中，两个不同频率的交流 电信号之间存在相位差，可以用三角函 数表示。
02
03
交流电的合成
多个不同频率和幅值的交流电信号可 以合成一个新的交流电信号，其合成 结果可以用三角函数表示。
通信系统
载波调制
01
通过三角函数调制信号的载波，实现信号的远距离传输和抗干
扰能力。
扩频通信
02
利用三角函数（如伪随机序列）实现扩频通信，提高通信系统
的抗干扰和保密性能。
信道均衡
03
在数字通信中，利用三角函数（如最小均方误差算法）对信道
三角函数在物理模型中的应用
三角函数在物理模型中的应用物理模型是对真实世界的抽象和描述，通过使用数学工具来解决和预测各种物理问题。
其中，三角函数是物理模型中广泛应用的重要数学工具之一。
本文将探讨三角函数在物理模型中的应用，并以实际案例来说明其重要性。
一、三角函数的定义与性质在讨论三角函数在物理模型中的应用之前，我们首先需要了解三角函数的定义与性质。
1. 正弦函数（Sine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正弦函数的值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。
记为sin(x)。
2. 余弦函数（Cosine function）：在直角三角形中，对于某一锐角，余弦函数的值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
记为cos(x)。
3. 正切函数（Tangent function）：在直角三角形中，对于某一锐角，正切函数的值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。
记为tan(x)。
二、力学模型中的三角函数应用力学是物理的一个重要分支，描述了物体的运动和受力。
在力学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 周期性运动的描述周期性运动是指在一定时间间隔内反复重复的运动，如振动、波动等。
这类运动可以使用正弦函数或余弦函数来进行描述。
例如，在描述弹簧振子的运动时，可以使用正弦函数来描述其位移随时间变化的规律。
2. 分解力的分析在一个斜面被一个力施加的情况下，可以使用三角函数来分解该力的大小和方向。
通过将该力分解成沿斜面和垂直斜面的分力，可以更好地进行力的分析和计算。
3. 动量和速度的分析在动量和速度的分析中，三角函数可以用来描述物体的速度方向。
例如，在一个斜面上下滑动的物体，其速度可以分解为沿斜面和垂直斜面的分量，这些分量与斜面的角度有关，可以通过三角函数来计算。
三、电磁学模型中的三角函数应用电磁学是研究电荷与电荷之间、电流与电流之间、电荷与电流之间相互作用的学科。
在电磁学模型中，三角函数可以应用于以下几个方面：1. 交流电路中的振荡交流电路中电流和电压的变化具有周期性，可以使用正弦函数或余弦函数来表示电流和电压随时间变化的规律。
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高中物理中常用的三角函数数学模型
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具。
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。
可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程。
高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。
一、三角函数的基本应用
在进行力的分解时，我们经常用到三角函数的运算.虽然三角函数学生初中已经学过，但笔者在多年的教学过程中发现，有相当一部分学生经常在这里出问题，还有一部分学生一直到高三都没把这部分搞清楚.为此，本人将自己的一些体会写出来，仅供大家参考. （一）三角函数的定义式
斜边对边正弦= 邻边对边正切=
斜边邻边余弦=
对边
邻边余切=
（二）探寻规律
1．涉及斜边与直角边的关系为“弦”类，涉及两直角边的关系为“切”类； 2．涉及“对边”为“正”类，涉及“邻边”为“余”类；
3．运算符：由直角边求斜边用“除以”，由斜边求直角边用“乘以”，为更具规律性，两直角边之间互求我们都用“乘以”.
（三）速写
第一步：判断运算符是用“乘以”还是“除以”； 第二步：判断用“正”还是用“余”； 第三步：判断用“弦”还是用“切”. 即 （边）=（边）（运算符）（正/余）（弦/切） 1、由直角边求斜边
正弦
对边斜边=
余弦邻边斜边=
2、由斜边求直角边
正弦斜边对边⨯= 余弦斜边邻边⨯= 3、两直角边互求
正切邻边对边⨯= 余切对边邻边⨯=
（四）典例分析
经典例题1 如图1所示，质量为m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？
θtan 1⨯=mg F
θ
cos 2mg
F =
经典例题2 如图3所示，质量为m 的小球静止于斜面与挡板之间，斜面倾角为θ，挡板与斜面垂直，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？
【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧 挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图4所示。
θsin 1⨯=mg F
图 3
图2
图 4
θcos 2⨯=mg F
二、三角函数求物理极值
因正弦函数和余弦函数都有最大值（为1），如果我们整理出来的物理量的表达式为正弦函数或余弦函数，我们可直接求其极值；若物理量的表达式不是正弦（或余弦）函数的基本形式，那么我们可以通过三角函数公式整理出正弦（或余弦）函数的基本形式，然后在确定极值。
现将两种三角函数求极值的常用模型归纳如下：
1．利用二倍角公式求极值
正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin =
如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2
A
y = 当 0
45=θ时，y 有最大值 2
max A y =
经典例题 1 一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图5所示四种情况中符合要求的是（ ）
【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S =
有θθsin gt 21cos 2L 2⋅=，解得θ
θθ2sin gL 2cos sin gL
t =
⋅=，当0
45=θ时，t 有最小值．
【答案】C
经典例题2 如图6所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。
一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则小车运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？
【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有
2
2
1cos mv mgR =⋅θ ①
R
v m mg N 2
cos =-θ ②
由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为
θθθθ2sin 2
3
cos sin 3sin mg mg N N x =
⋅=⋅= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2
3
mg N f x =
= 从f 的表达式可以看出，当θ=450时，sin2θ=1有最大值，则此时静摩擦力的最大值
图5
图6
mg f 2
3max =
2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为
θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为
)cos sin (
2
2
2
2
22θθb
a b b
a a
b a y ++++=
令
φcos 2
2
=+b
a a ，
φsin 2
2=+b
a b
则 )sin(22φθ++=
b a y
当 0
90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y +=
经典例题1 重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
【解析】木块受四个力的作用，即重力G ，地面的支持力F N ，摩擦力f F 和施加的外力F ，受力分析如图7所示，设力F 与x 轴夹角为θ，由于物体在水平面上做匀速直线运动，处于平衡状态，所以在x 轴和y 轴分别列平衡方程：
f F F =θcos ①
G F F N =+θsin ② 且有
N f F F μ= ③
联立①②③式，θ
μθμsin cos +=
G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
当1)sin(=+φθ 时，F 具有极小值 2
min 1μμ+=
G
F F 与x 轴正方向间夹角μθ1
-=tg
若变形为 )
cos(12
φθμμ-+=
G
F （其中μφ=tg ）
当1)cos(=-φθ 时，F 具有极小值 2
min 1μμ+=
G
F F 与x 轴正方向间夹角μθ1
-=tg
由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
经典例题2 用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图8所示位置起沿水平面向左做匀速运动。
若物块与地面间的动摩擦因数为1<μ，绳与滑轮质量不计。
试分析运动过程中绳拉力的变化情况。
【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F ，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。
θ
μθμsin cos +=G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
∵1<μ，1>φtg ∴ 900≥φ≥450 而随物块向左运动， 450≤θ≤900
则 1800≥>+)(φθ900 随θ增大，)sin(φθ+减小，F 增大， 若变形为 )
cos(12φθμμ-+=
G
F （其中μφ=tg ）则0
45<φ，据前面所述，
φθ- 在第一象限，随θ增大，)cos(φθ-减小，F 增大。
由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
图8。