矩阵的初等变换和应用的总结

矩阵的初等变换及应用

内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念

定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵

二矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

1.初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);

(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作

);

(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).

1.初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换

3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

(1) 反身性;

(2) 对称性若,则;

(3) 传递性若,,则.

三矩阵初等变换的应用

1.利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形

2.利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)

即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵

，

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩

阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即

.

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.

同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即

.

3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)

为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后

通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

4.行列式的计算

一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形

5．求线性方程组的解

一般格式:

(1)齐次线性方程组AX=0，A是m×n矩阵

1°对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)。

若r(A)=n，则AX=0，只有零解；若r(A)＜n，则AX=0有非零解，转入2°

2°对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的

线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-k个

未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令

自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：X１，X２，…，Xn-k

3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C １，C２，…，Cn-k为任意常数)就是AX=0的通解。

(2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵

1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)，若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2°

2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷多解，转入3°

3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0

4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１，X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k

5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B 的通解。

6.确定向量组的线性相关性

一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为列构成矩阵A，对A施行

初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r （A ），若r （A ）=m ，

则α1α2……αm 线性无关，若r （A ）

7.确定一向量能否由另一向量线性表出

一般格式：以向量组α1α2……αm 与向量β为列构成矩阵A ，然后对A 施行初等行变换，化为行最简形矩阵B

8.求向量组的秩与极大无关组

一般格式：设向量组α1α2……αm ，以它们为列构成矩阵A B 的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm 中的

向量αi1……αir 构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm 的秩。

结 论

矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。

➢ 计算格式1既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施()B m 行最简形矩阵初等行变换−−−→−=ααα 21A ()B

m 行阶梯形矩阵初等行变换−−−→−=ααα 21A