高维Hardy算子交换子的加权估计

￣ ｆｘ ： （）ｌ（） ｌ ｂ（） －ｆｘ ： （） ｆｘ 一 （６ ｂ （）＝ｂ ７ｆｘ 一Ｔ（ ） ，ｔ （）＝６ （） ．） ） ｘ－ ｆ ｘ ？￣ 厂（ 他们同时得到若ｂ ＭＯ Ｒ ）则 ６ ∈Ｃ （ ， 在 （ ） Ｒ 上有界． 此外也得到在齐次Ｈ ｒ空间 ， ｅｚ ｐ 的 有界性． 另外，５ ［证明了 在Ｌ （ 上有界，其中６ ｉ。０ ＜１．自 ］ ＰＲ ） ∈Ｌｐ （ ＜ ） 然要问， 这类交换子
当Ｐ＝∞或ｑ＝∞作通常的修改．
易 当 ＝， 知 ０
１２ ＝ ， １ ２ 而当 １ ｕ ＝１ ，） 砖 Ｐ ，） ＝ ２ ， ０ ２ （ ． Ｗ
Ｍ
定义 １４ 对 于１ Ｐ ∞， ＜ １ ．［ ］ ０＜ 且 ∈ ｏ．局部 可积 函数ｔ 于加权Ｌｐｃ ｉ 空 。 厂 属 ｉｓｈｔ ｚ
基金项 目： 国家 自 然科学基金（０ ３ ０ １ １９ １０ １
高贵连等：高￣ Ｈ ｒｙ ｛ ａｄ 算子 交换子的加权估计 ｉ
１５ ０
最近， 】 ［定义佗 ａｄ 算子交换子如下． ４ 维Ｈ ｒｙ
定 义 １１ 设ｂ ． 为Ｒ 上的局部可积 函数． 维Ｈ ｒ ｙ ｎ ａｄ 算子交换子定义为
．
，
０ ＜ ＜ １ ∈ Ａ １ ０ ＜ ｐｌ ｐ２ ＜ Ｏ １ ＜ ｑ ， ２ ＜ ∞ ， ， Ｏ， １ｑ
Ｊ．ｉ＝ １ 一 ． ３１ －
（ 若 ＜￣ ／ｌ￣Ｕ ，Ｒ ， （，） ｉ ） ａｑ， Ｊ ｂ ， ｇ 到 ９ ， ｐ
（） ｉ 若 ＞ 一 ６ｑ，『￣ｂ＾ ， 到 ｉ ｎ ／２ ｆ１ ＇ ｌ （ ） Ｉ＿ ／ ｑ ａ，， ｐ ＩＬＬ ， ｌ Ｚ ，
高校应用数学学报
２ １， ７１： ０一ｉ ０２ ２ （） １４ｉｉ
高 维Ｈ ｒｙ 子交 换子 的加（ 江大学 数学 系，杭 州 ３０２） 浙 １０ ７
摘 要：得到 了由加权Ｌｐｃｉ 函数（ ｉ ｈｚ ｓ ｔ 或加权ｃ 函数） 维Ｈ ｒｙ Ｍ０ 和ｎ ａ 算子生成的交换 ｄ
间
，２定义为： ｕ）
』
其中
（１ ２＝｛ ｑ（ ”｛｝ ２ ：ｆＭ ， ） ，∈ ０ Ｒ ＼０， ） Ｉｌ 。 ｌｌ
， ，‰
，） 。， ＜。） ：
、吉
ｌｌ 瓣 Ｉｌ ，Ｍ
ｓｐ ｕ ｚ
∽ 会 ∽ ｌ 。‘ 广（ ， ） ＼ ｘ
（１０ ） ｕ ，） ＝Ｋｐ （ ） － ２ ，Ｒ ． ｑ
１７ ０
且 ∈ ｌ 则 ６ ， 与 都是从 ） 到 卜 有界． ） 推论２２ ． 设６ ＭＯ ｘ ’｝ ）１＜ ｑ＜ ∞ ， ∈Ａｌ￣ ∈Ｃ ｐ ｛ｑ 口 Ｊ Ｏ＜ ｐ ｐ ｌ ２＜ ∞
，
（若 ｎ／， 从砖， ，） 砑胁 一 有 ； ｉ ＜ Ｓ ６ 到 ） ｑ则 ， ａ 界 ） （ 若 ＞一Ｓ ， 从 ｉ ｎ／ 则 ｉ ） ｑ 西 ， 到 砖 ， 一 有 ． ） ａ 界 ） § 主要 证 明 ３
珲 ２ １ ．．
注２３ 若 ＝ １ 则 得到６＝ １Ｌｐ ． ， ， ｐ
定 理 ２３ 设 ．
６∈ Ｌｉ
ｕ ，
＝
Ｌｐ ， ） ｑ ）Ｋ ２ （， ＝ ｉ卢 玄ｑｍ（， ＝ ｌ （ ， ｑ ） ‘，
，
，
ｌ
。 ． （ ） 因此本定理包含［ 中的部分结果． Ｒ ５ ］
在 证 明主 要 结 果 之 前 ，先 介 绍 以 Ｆ 个 基 本 引理 ． 三
引理 ３１ ］ 设 ∈ Ａ ， 存 在 仅依 赖 于 的 常数 ， 及０ ＜ ＜ １ 使 得 对 所 有可 测 ．［ 。 １则 ，
集Ｅ 有 ｃＢ
／ ，
＼ＢＩ ］ Ｉ
注３１ 据 引理３１ 得， ． ．易 若 ∈ ＡＩ 则存 在 常 数 及 ０＜ ＜ １使 得 当 ＞ ＪｗＢ ， （ ） ，（
。 ， 。 有界； （ ｕ 一。 ）
。 ０ －２有界． （ ． ｑ） ， ｌ ）
注２１ 定理２ 及 以下定理所出现的 ． ． ２ 均为§ 引理３１ ３ ．中所定义 的． ０ 得到 定 注２２ 在 定理２ 中若取 ＝ ０ １＜Ｐ ． ． ２ ， ｌ＝ ｑ ｌ＝Ｐ＜ ∞且 １＜ Ｐ ２＝ ｑ ｑ＜ Ｏ ， ２
在加权Ｌ ｂ ｓｕ 空 间是否有 同样的有界性．回答是肯定 的． ｅ ｅｇ ｅ 本文 目的就是推广上述结果， 得到这 类算子在加权Ｈ ｒ型空间的有界性． ｅｚ
首先给 出空间的定义． 简单起见， 下文记 （ ，） ａ ）令 Ｅ ＝ ｗｘｄ ，Ｅｌ 。 为 ， （ ） （）ｘ Ｉ 表 Ｒ 示Ｅ的Ｌ ｂｓｕ ｅｅｇ ｅ测度， 这里 为权函数． ｐＲ”（ Ｐ ｏ） （ ）１ ｃ￣Ｍｕｋｎ ｏｐ类 ． 的共轭指 ｃｅｈ ｕｔ ｐ为Ｐ 标． 对于 ∈ｚ 设Ｂ ＝｛ Ｒｎ： ， ｋ ∈ ２ ）Ｃ ＝Ｂ ＼ ｋ１ Ｘ （ ∈ｚ 为 的特征函数． ｋ ， ｋ ｋＢ 一 ， ｋｋ ） 定 义１２ 】 设Ｏ ∈Ｒ， ．【 。 Ｌ ０＜Ｐ ｑ ∞且 １ ２ ， 和 是权 函数．齐次加权Ｈ ｒ空间 ， １ ） ｅｚ ｐ ， 定 ２
（ ． ）
显 ， ： ２ ， ， １ ２＝ Ｐ 而当 ０ ＝ ，口（ ， ） （ ） 然 当 １ ＝１ ， ） 砖，Ｒ ） ＝ ， ｑ￣， ｌ ２＝ ． ０ ２ （ ． Ｐ ｏ Ｗ ｔ Ｐ ２
００＜ Ｐ ｑ 。且 １ ２ ， ， 。 和 是权 函数．齐 次加 权ＭｏｒｙＨｅｚ ＿ ｒｅ － ｒ￣
，
§ 主要结果 ２
以下为本文主要结果 ： 定理２ １ 设 ．
， ， ｑ 。 ｂ∈ Ｌｉ １ｕ ， ０ ＜ ＜ １ ∈ Ａ １ １ ＜ Ｐ， ＜ 。 ｐｆ
．
且 ＝ １一 生， ｎ
则 ｂ 与 都是从 （）ｌ 一 ） ｗ ￣Ｌ Ｊ 。有界
定 理 ２２ 设 ．
ｂ∈ Ｌｉ ｕ ｐ
） ） ２ 一）； Ｊ ｗ Ｂ Ｃ２（一Ｊｍ （ Ｊ 当尼 ， （ｊ
．
ｊ ）
引理 ３２ ．
设 ∈Ａｌ ｂ∈Ｌｐ 则存在常数Ｃ使得当 ＞ｋ Ｊ ｔ ｉ臼 ，
－６ ＜ｃ（ ） Ｉ ＢＩ － ｊ一 Ｌ Ｌ Ｉ ｉ
） 鲁
．
引理３３ 设 ∈Ａ１ ｂ∈Ｃ ｐ ）则存在常数Ｃ使得 当 ＞ｋ ． ＿ Ｋ ＭＯ ， ，
而， Ｂ＝ 厩
（ （，） Ｂ ０ｒ）
ｉ ｘ －ｆ ｚＸ １ｐｘ ｆ ） ＢＰ （） ｄ （ Ｊ ｃ －
＜∞，
＞。
（ ） （） ． ｏ ｘｄ ｆ ｘ 。．当ｕ＝ １Ｃ （） ＭＯ Ｒ ， ＭＯ 。ｕ ：Ｃ （ ） 易得 ， ＭＯ加（ ） Ｃ ｕ （ ｐ＜ｑ＜ｏ） Ｃ ＭＯ （）１
定理 ２４ 设６ ＭＯ 州 ’ ） ∈ Ａ１ １＜ ｑ＜ 。 ， ． ∈Ｃ ’ 。 ， 。 ０＜ Ｐ Ｐ １ ２＜ ∞ 且
，
０ ．
（ 若 ＜ｎ ／ ， ｉ ） ６ｑ＋ 则 从Ｍ
（ ， 到Ｍ ｕ ）
（， １ｑ有界； ０ －） ３
（若 ｉ ＞一 ６ｑ ， 从Ｍ （，） Ｍ 乌ｕｏ－） ｉ ） ｎ／＋ 则 到 （，ｌ 有界． ｊｑ
定理１１ ［） 厂 ． ３ 若ｔ （ 】 是Ｒ 上的局部可积函数， ＜Ｐ＜。， １ 。 则
Ｉ ｌ Ｒ） Ｉ ｌ ｎ ￣ｆ ｌＩ ＩＩ ，
且常￣Ｐ ｎ （ Ｙ／ Ｐ一１是最佳 的， ＝７ ／／ （ ＋佗 ２． ） ｒ ｒ １ ／）
收 稿 日期 ： ０ １１ — ８ ２ １ －０ １ 修 回 日期 ： ０ １１ —０ ２ １ －２３
子 在 一 些 函 数 空 间 的有 界 性 ， 例如 加 权 Ｌ ｂ ｓｕ ￣ 间 ， 权 Ｈ ｒ型 空 间． ｅ ｅｇ ｅ 加 ｅｚ
关键词： Ｈａｄ 算子； ｒｙ 加权Ｌｐ ｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数； 交换子； 加权Ｈ ｒ￣间 ｅｚ 中图分类号： ７ ． Ｏ１５２
文献标识码： Ａ
文章编号： ００４２（０２０—１４０８ １０—４４２ １）１００—０
义为：
（１ ２＝｛ ∈Ｌ 。 ＼０，２ ：ｆ／，（ 。＜。） ， ） ． Ｔ（ ｛）０） ］ｌ３ ） 。， 厂 ｏ ２ ｌｌ ， ￣
其中
／ 。 。 、 １
蔚
当Ｐ＝Ｃ 或ｑ：∞作通常的修改． Ｘ ３ 定 义１３ ］ 设Ｑ ∈Ｒ， ．［
＝ ∑ （）ｎ （ １ ｏ ｔ ｐ ／
一
（一尼１ ） １
。（ （ ｋ ） Ｂ） ｗ
证
证 明是标准的， 略去证明．
注３２ 引理３ ． ． ４ ３是［中引理２ 的一般化． 】 ． ６ 定理２２ ．的证明 仅证（，ｉ可类似证明． ＜ｎ ／＇有 ｉ （） ） ｉ 当 Ｓｑ， ￣
， ，
Ｉ ｌｉ ｌ ｌｐ ｆＬ口
，
．
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ７ 期
首先给 出加权Ｃ ） 间的定义． ０ 。 空
定义 １５ 设ｌ ｐ＜∞且 ∈Ａ 。 局部可积 函数ｔ ． 。， 厂 属于加权 中心Ｂ Ｍ０空间ｃ 指 Ｏ （）
ｆｌＩ ｐ 厂 ｓｐ ｌ￣ （ ｃｉ ０ ｕ
注 ２４ 在 定理２ ． ． ４中若 取 ＝ ０ ＝ Ｏ ， Ｋ１＜ ｐ １＝ ｐ ２＝ ｑ＜ Ｏ ， 到 以下推 论２１ Ｏ得 ．．若 取Ａ＝０ 得 到推论２２ ， ．． 推 论２１ 设 ．
６∈Ｃ ａ ） １ ＜ ｑ ＜ ＭＯ ｍ ｘ （）
，
。 。
高贵连 等：高维Ｈａｄ 算子 交换子 的加权估计 ｒｙ
．
ｉ￣ｉｚ Ｐ ｐ Ｌ
＝
Ｌｉ ｐ
，
．
，
显
为 经典的 ｉｃｔ 空间 ． ∈ （ ， ａ ｆＣ ｅ ａ】 Ｌ ｓｉ ｐ ｈｚ Ｌ 若 １ ）Ｇ ｒａ ｕｒ ［ Ｒ ｃ－ ｖ 证明了 ｉ ， Ｌ ；重 ｐ
一
合， 且对于１ Ｐ ｏ ，Ｉｆｉ 等价， Ｐｌｌｉ 。 Ｉｌｐ ．Ｌ ￣ｌ ｌｐ ｆＬ
７ 赤 ． ）州（＝Ｉｆｄ∈ｎ） － ＝ ｔ Ｒ｛ ／ ｆ （ ＜ ＞ （ ＼ ｔｘ 。 ）
易得 与 满足
Ｊ琏ｎ
｜ ｇ ）ｆ ） ＝ ｜ ｆ ） （ ｄ （Ｔ （ ｄ ｘ ｌ ｘ ｘ （７ ｇ ） ｘ－ ｘ ｘ ｌ
ｔＲ ｎ ，
１９ ９ ５年， ｈｉ ￥ Ｇｒｆｋ ｓ 到： Ｃ ｒ ｔ［ ａａｏ得 ｓ １
间 Ｌ ｉ 指
１［ ｌ ｆ １ （
然ｕ ＝ １ Ｌ ｐ ， ｉｚ
，
叫吉 ｏ ＜， 。
．
其中 ｕ是 ｓｐ 对所有的 取上确界，Ｂ＝由 ｆｘｄ． 球Ｂｃ ｆ （ ｘ ）
满足 上 述 条 件 的 最 小 的 为， 此 空 间 的 范数，ｉ １ ｌｉ 在 ￣ ］ ［ｐ ｆＬ
§ 引 言 １
设． 厂 是Ｒ＋ 上的非负可积 函数， 经典￣Ｈ ｒｙ 子定义为 ａｄ 算
７ ）・ ） ＞ － ：／ （， 。 ／ ＝ ｏ ｆ １ ，ｔ （ ｄ
最为经典的Ｈ ｒ 不等式【是： ａｙ ｄ １ ］ Ｉ １ｐ ＋ １ １（ ） ￣／ Ｒ Ｌ 在【 中， ａ ｓ ２ Ｆｒ 定义ｎ ａｄ ］ ｉ 维Ｈ ｒｙ算子为 ＿ ｌｐ 十ｊ ＜ｐ＜ｏ Ｉｌ （ ） ， Ｒ １ Ｌ 。
ｑ １ ２ ｐ ＜ ∞ ， ２ １＜ ｑ ， ２＜ ∞ ， １ｑ 一 ｑ 一 一 １ ｌ ｔ 臼
０ ＜ ＜ １ ｗ ∈ １ ０ ＜ ｐ１ ， ，
，
且 Ａ ０．
（ 若 ＜ｎ ／ ， ｉ ） ６ｑ ＋ 则 从Ｍ （， 到Ｍ ） （ ， 卜 。 有界； ｕ ｕ ） （） ｉ 若 ＞一 ａｑ ＋ ， ； ｉ ｎ ／２ 则 从Ｍ （， 到Ｍ ｕ ） （ ，卜。 有界． ｕ ）