浅谈勾股定理在初中教学中的应用( 论 文)

浅谈勾股定理在初中教学中的应用

五德中学曾朋

摘要：勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，他不仅是解直角三角形的重要依据，还揭示了直角三角形三边的关系，也体现了数形结合的思想，而且在初中数学教学中广泛应用。

关键词：初中数学勾股定理应用

一、勾股定理的历史背景

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》，在稍后一点的是《九章算术》。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

二、勾股定理的证明

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.

∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED ，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c ，

∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.

同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.

设多边形GHCBE 的面积为S ，则

,21222ab S b a ⨯+=+

,

∴ 222c b a =+

三、勾股定理的应用

ab S c 2 1 2 2 ⨯ + =

例题1：如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.

解析：先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2

设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x 2+1.52=（ x+0.5）2

解之得x=2. 故水深为2米

例题2： 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1=那么△DEF 是直角三角形吗？为什

么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着

头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我

们也可以开创条件，由AB FB 41=可以设AB=4a ，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。

解：设正方形ABCD 的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2

同理EF2=5a2, DF2=25a2

在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

例题3：如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD

边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，A

B=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD 边是否垂直？

解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

①果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；

②果MN=a≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所

以∠A不是直角。

例4：如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．

证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE 的公共边，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

所以 AF=AB．①

在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以

AG=FG，

AF2=AG2+FG2=2FG2．②

由①，②得： AB2=2FG2．

例5: 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线．

证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．在△BDQ 中，